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UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO RECINTO DE GUAYAMA PROF. FEDERICO A. MEJIA PARDO RAZONAMIENTO CUANTITATIVO: GEMA 1000 PROYECTO TITULO V COOPERATIVO.

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1 UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICO RECINTO DE GUAYAMA PROF. FEDERICO A. MEJIA PARDO RAZONAMIENTO CUANTITATIVO: GEMA 1000 PROYECTO TITULO V COOPERATIVO MODULO: RAZONES Y PROPORCIONES

2 BOTONES DE ACCION Página anterior. Próxima página. Página de contenido. Importante: para completar una página, haz click en el lado izquierdo del mouse.

3 OBJETIVOS 1. Expresar la razón de dos cantidades como un cociente en los términos mas simples. 2. Expresar la razón de dos cantidades con las mismas unidades. 3. Expresar la razón de dos cantidades con diferentes unidades. 4. Resolver problemas sobre razones.

4 OBJETIVOS 5. Encontrar los extremos y los medios en una proporción. 6. Determinar cuándo un par de razones forman una proporción. 7. Aplicar la propiedad fundamental para resolver una proporción. 8. Resolver problemas sobre proporciones.

5 PRE-PRUEBA 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples. 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples. 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón. VER RESPUESTASRESPUESTAS

6 PRE-PRUEBA 4. Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples. 5.Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción: VER RESPUESTASRESPUESTAS

7 PRE-PRUEBA 6. Determine si el par de razones forman una proporción: 7. Resuelva la proporción: 8. Un pedazo de cable de 90 ft cuesta $60. ¿Cuánto cuesta 300 ft del mismo cable? VER RESPUESTASRESPUESTAS

8 PRE-PRUEBA 9. Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720 millas? 10. Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $120,000? VER RESPUESTASRESPUESTAS

9 PRE-PRUEBA 11. Un estudiante contestó 60 preguntas correctas de un total de 80. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente? 12. Pedro compró un carro por $14,000. Si Pedro pagó $2,100 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto? VER RESPUESTASRESPUESTAS

10 CONTENIDO RAZONES ACTIVIDAD I PROPORCIONES TERMINOS DE LA PROPORCION PROPIEDAD FUNDAMENTAL ACTIVIDAD II PROBLEMAS VERBALES ACTIVIDAD III

11 RAZONES El concepto de razón se utiliza para comparar dos cantidades a y b. La razón de la cantidad a a la cantidad b es el cociente de a sobre b, el cual puede ser escrito de dos formas diferentes: también

12 RAZONES Ejemplo 1: exprese la razón de 18 a 27 en los términos más simples. Solución: primero escribimos la razón en forma de cociente y luego lo simplificamos:

13 RAZONES Ejemplo 2: exprese la razón de 5 pies a 25 pies en los términos más simples. Solución: primero escribimos la razón en forma de cociente y luego lo simplificamos: Otra forma de la respuesta es 1:7

14 RAZONES Si las cantidades a ser comparadas incluyen unidades, en lo posible deben ser expresadas en la misma forma. Ejemplo 3: exprese la razón de 2 pies a 30 pulgadas en los términos más simples. Solución: primero efectuamos la conversión de pies a pulgadas y luego escribimos la razón como un cociente y lo simplificamos: Como 1 pie = 12 pulgadas, entonces 2 pies = 24 pulgadas

15 RAZONES Ejemplo 3 (Continuación) Podemos observar cómo se cancelan las mismas unidades(pulgadas) en la respuesta final. Otra forma de la respuesta es 4:5

16 RAZONES Ejemplo 4: exprese la razón de 50 cm (centímetros) a 2 m (metros) en los términos más simples. Solución: primero efectuamos la conversión de metros (m) a centímetros (cm) y luego expresamos la razón como un cociente y lo simplificamos: Como 1 m = 100 cm, entonces 2 m = 200 cm

17 RAZONES Ejemplo 4 (Continuación) Podemos observar cómo se cancelan las mismas unidades (cm) en la respuesta final Otra forma de la respuesta es 1:4

18 RAZONES Ejemplo 5: Juan conduce su carro 150 millas y usa 6 galones de gasolina. Exprese la razón de millas a galones en los términos más simples. Solución: podemos observar que las unidades de millas y galones no son compatibles, y por lo tanto no se pueden simplificar. Por otro lado, expresamos la razón como un cociente y lo simplificamos:

19 RAZONES Ejemplo 5 (Continuación) Podemos observar que el carro de Juan rinde 25 millas por galón. Otra forma de la respuesta es 25 millas :1 galón

20 RAZONES Ejemplo 6: Supongamos que 160 galones de agua fluyen por una tubería en 5 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples. Solución: podemos observar que las unidades de galones y minutos no son compatibles, y por lo tanto, estas unidades no se pueden simplificar. Por otro lado, expresamos la razón como un cociente y lo simplificamos:

21 RAZONES Ejemplo 6 (Continuación) Podemos observar que por la tubería fluyen 32 galones por minuto. Otra forma de la respuesta es 32 galones : 1 minuto

22 ACTIVIDAD I 1. Exprese la razón de 20 a 28 en los terminos más simples. 2.Exprese la razón de 9 metros a 36 metros en los términos más simples. 3. Exprese la razón de 15 pulgadas a 3 pies en los términos más simples.

23 ACTIVIDAD I 4. Exprese la razón de 40 centímetros a 3 metros en los términos más simples. 5. Juan conduce su carro 240 millas y usa 8 galones de gasolina. Exprese la razón de millas a galones en los términos más simples. 6. Supongamos que 220 galones de aceite fluyen por una tubería en 20 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples.

24 PROPORCIONES Decimos que una proporción es la igualdad de dos razones. Por ejemplo, son proporciones:

25 TERMINOS DE LA PROPORCION En la proporción: a es el primer término, b es el segundo término, c es el tercer término, d es el cuarto término. a y d se llaman los extremos de la proporción. b y c se llaman los medios de la proporción.

26 TERMINOS DE LA PROPORCION Ejemplo 1: en la proporción: 14 es el primer término, 28 es el segundo término, 1 es el tercer término, 2 es el cuarto término. 14 y 2 son los extremos de la proporción. 1 y 28 son los medios de la proporción.

27 TERMINOS DE LA PROPORCION En el ejemplo anterior, podemos observar que si entonces Por lo que podemos concluir que los extremos de la primera proporción ( 14 y 2 ) son los medios de la segunda proporción ( 2 y 14 ) y viceversa.

28 PROPIEDAD FUNDAMENTAL En toda proporción, el producto de extremos es igual al producto de medios. En la proporción: Tenemos que:

29 PROPIEDAD FUNDAMENTAL Ejemplo 2: en la proporción: Por la propiedad fundamental tenemos que:

30 PROPIEDAD FUNDAMENTAL Podemos aplicar la propiedad fundamental para determinar si un par de razones forman una proporción. Ejemplo 3: determine si el par de razones forman una proporción: Forman una proporción ya que:

31 PROPIEDAD FUNDAMENTAL Ejemplo 4: determine si el par de razones forman una proporción: No forman una proporción, ya que:

32 PROPIEDAD FUNDAMENTAL También podemos aplicar la propiedad fundamental para resolver una proporción, es decir, encontrar el término desconocido de la proporción (encontrar x). Ejemplo 5: resuelva la proporción:

33 PROPIEDAD FUNDAMENTAL Solución: aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones y resolvemos la ecuación resultante: Solución:

34 PROPIEDAD FUNDAMENTAL Ejemplo 6: resuelva la proporcción: Aplicamos la propiedad fundamental de las proporciones y resolvemos la ecuación resultante: Solución:

35 ACTIVIDAD II 1. Determine si el par de razones forman una proporción: 2. Determine si el par de razones forman una proporción: 3. Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción:

36 ACTIVIDAD II 4. Resuelva la proporción: 5. Resuelva la proporción:

37 PROBLEMAS VERBALES Ejemplo 1: Un pedazo de cable de 180 ft cuesta $63. ¿Cuánto cuesta 450 ft del mismo cable? Solución: organizamos la información como una proporción donde x representa la cantidad desconocida. Luego resolvemos la proporción.

38 PROBLEMAS VERBALES Ejemplo 1 (Continuación) Al resolver la proporción obtenemos x = $ Un pedazo de cable de 450 ft cuesta $157.50

39 PROBLEMAS VERBALES Ejemplo 2: Una propiedad cuyo valor es de $32,000 paga $600 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $96,000? Solución: organizamos la información como una proporción donde x representa la cantidad desconocida. Luego resolvemos la proporción.

40 PROBLEMAS VERBALES Ejemplo 2 (Continuación) Al resolver la proporción obtenemos x = $1,800 La propiedad cuyo valor es de $96,000 paga $1,800 de impuesto.

41 PROBLEMAS VERBALES Ejemplo 3: Juan recorre 150 millas con 5 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 750 millas? Solución: organizamos la información como una proporción donde x representa la cantidad desconocida. Luego resolvemos la proporción.

42 PROBLEMAS VERBALES Ejemplo 3 (Continuación) Al resolver la proporción obtenemos x = 25 galones Juan necesitará 25 galones para recorrer 750 millas

43 PROBLEMAS VERBALES Ejemplo 4: Un estudiante contestó 27 preguntas correctas de un total de 30. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente? Solución: organizamos la información como una proporción donde representa el por ciento de preguntas que el estudiante contestó correctamente.

44 PROBLEMAS VERBALES Ejemplo 4 (Continuación) Al resolver la proporción obtenemos x = 90 El estudiante contestó correctamente el 90% de las preguntas

45 PROBLEMAS VERBALES Ejemplo 5: Pedro compró un carro por $12,000. Si Pedro pagó $1,800 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto? Solución: organizamos la información como una proporción donde representa el por ciento que Pedro pagó de pronto.

46 PROBLEMAS VERBALES Ejemplo 5 (Continuación) Al resolver la proporción obtenemos x = 15 Pedro pagó el 15% de pronto.

47 ACTIVIDAD III 1.Un pedazo de cable de 120 metros cuesta $45. ¿Cuánto cuesta 360 metros del mismo cable? 2.Un carro cuyo valor es de $18,000 paga $1,600 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otro carro cuyo valor es de $40,000?

48 ACTIVIDAD III 3. María recorre 140 kilómetros con 8 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará María para recorrer 700 kilómetros? 4. Un equipo ganó 12 juegos de pelota de un total de 20. ¿Qué por ciento de juegos ganó el equipo? 5. Carlos compró una computadora por $1,200. Si Carlos pagó $300 de pronto, ¿qué por ciento pagó Carlos de pronto?

49 POST-PRUEBA 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples. 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples. 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón. VER RESPUESTASRESPUESTAS

50 POST-PRUEBA 4. Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples. 5.Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción: VER RESPUESTASRESPUESTAS

51 POST-PRUEBA 6. Determine si el par de razones forman una proporción: 7. Resuelva la proporción: 8. Un pedazo de cable de 90 ft cuesta $60. ¿Cuánto cuesta 300 ft del mismo cable? VER RESPUESTASRESPUESTAS

52 POST-PRUEBA 9. Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720 millas? 10. Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $120,000? VER RESPUESTASRESPUESTAS

53 POST-PRUEBA 11. Un estudiante contestó 60 preguntas correctas de un total de 80. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente? 12. Pedro compró un carro por $14,000. Si Pedro pagó $2,100 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto? VER RESPUESTASRESPUESTAS

54 POST-PRUEBA:RESPUESTAS 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples. Resp: 1:4 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples. Resp: 1:6 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón. Resp: 25 millas : 1 galón

55 POST-PRUEBA:RESPUESTAS 4. Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples. Resp: 28 galones : 1 minuto 5.Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción: Resp: extremos: 12 y 240 medios: 60 y 48

56 POST-PRUEBA:RESPUESTAS 6. Determine si el par de razones forman una proporción: Resp: NO 7. Resuelva la proporción: Resp: x = Un pedazo de cable de 90 ft cuesta $60. ¿Cuánto cuesta 300 ft del mismo cable? Resp: $200

57 POST-PRUEBA:RESPUESTAS 9. Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720 millas? Resp: 18 galones 10. Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $120,000? Resp: $2,000

58 POST-PRUEBA:RESPUESTAS 11. Un estudiante contestó 60 preguntas correctas de un total de 80. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente? Resp: 75% 12. Pedro compró un carro por $14,000. Si Pedro pagó $2,100 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto? Resp: 15%

59 PRE-PRUEBA:RESPUESTAS 1. Exprese la razón de 16 metros a 64 metros en los términos más simples. Resp: 1:4 2. Exprese la razón de 6 pulgadas a 3 pies en los términos más simples. Resp: 1:6 3. Juan conduce su carro 75 millas y usa 3 galones de gasolina. Exprese lo anterior como una razón. Resp: 25 millas:1galon

60 PRE-PRUEBA:RESPUESTAS 4. Supongamos que 420 galones de agua fluyen por una tubería en 15 minutos. Exprese la razón de galones a minutos en los términos más simples. Resp: 28 galones: 1 minuto 5.Encuentre los extremos y los medios en la siguiente proporción Resp: extremos: 12 y 240 medios: 60 y 48

61 PRE-PRUEBA:RESPUESTAS 6. Determine si el par de razones forman una proporción: Resp: NO 7. Resuelva la proporción: Resp: x = Un pedazo de cable de 90 ft cuesta $60. ¿Cuánto cuesta 300 ft del mismo cable? Resp: $200

62 PRE-PRUEBA:RESPUESTAS 9. Juan recorre 120 millas con 3 galones de gasolina. ¿Cuántos galones necesitará Juan para recorrer 720 millas? Resp: 18 galones 10. Una propiedad cuyo valor es de $48,000 paga $800 de impuesto. ¿Cuánto paga de impuesto otra propiedad cuyo valor es de $120,000? Resp: $2,000

63 PRE-PRUEBA:RESPUESTAS 11. Un estudiante contestó 60 preguntas correctas de un total de 80. ¿Qué por ciento de preguntas contestó correctamente? Resp: 75% 12. Pedro compró un carro por $14,000. Si Pedro pagó $2,100 de pronto, ¿qué por ciento pagó Pedro de pronto? Resp: 15%


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