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@ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema V Programación Lineal.

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1 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.1 MATEMÁTICAS A. CS II Tema V Programación Lineal

2 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.2 DIETÉTICA ANIMAL Y HUMANA TEMA 5.5 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.3 La dieta humana Un médico recomienda a un paciente una dieta en la que deben aparecer al menos DOCE unidades de hierro, DOCE de fósforo y OCHO de calcio. En las farmacias existen dos productos para ello, cuya composición por cada diez gramos de producto es: HIERRO FOSFORO CALCIO PRODUCTO A PRODUCTO B El precio de una caja de 100 gr del producto A es de 5, y el de una caja de 200 gr del producto B es de 8. ¿Cuántas cajas conviene comprar de cada tipo de producto para tener el mínimo coste, teniendo en cuenta que el tratamiento debe durar 20 días?

4 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.4 Resolución: Sea x = Número de cajas de 100 gr del producto A a comprar. Sea y = Número de cajas de 200 gr del producto B a comprar. FUNCIÓN OBJETIVO La función objetivo será:f(x,y) = 5.x + 8.y CÁLCULOS PREVIOS Las unidades necesarias en los 20 días de dieta son: 12x20 = 240 u. de hierro 12x20 = 240 u de fósforo 8x20 = 160 u de calcio Las unidades que contiene cada caja A y B son proporcionales a su peso real, y por tanto son: HierroFósforoCalcio PRODUCTO A6x10 = 604x10 = 402x10 = 20 PRODUCTO B2x20 = 403x20 = 604x20 = 80

5 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.5 RESTRICCIONES Las restricciones del problema serán: 60.x + 40.y >= x + 60.y >= x + 80.y >= 160 x >=0 y >=0 Dibujamos las rectas correspondientes, para lo cual las expresamos de forma explícita ( despejando la y y, si se puede, simplificando ) y >= 6 – 1,5.x y >= 4 – 0,66.x y >= 2 – 0,25.x x >= 0 y >= Región Factible A B C D

6 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.6 SOLUCIÓN A.- MODO GRÁFICO La función objetivo es: F(x,y) = 5.x + 8.y Dibujamos la recta: 5.x + 8.y = 0 y = – 5.x / 8 y = – 0,625.x Tabla: x = 0 y = 0 x = 4 y = – 2,5 Llevamos paralelas por cada vértice y miramos aquella que nos de el menor valor en el corte con el eje OY: Solución: Vértice C(5, 1) x= 5 cajas de A, y = 1 caja de B Región Factible A B C D

7 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.7 SOLUCIÓN B.- MODO ANALÍTICO Vértice B y = 6 – 1,5.x y = 4 – 0,66.x 6 – 1,5.x = 4 – 0,6666.x 2 = 0,8333.x x = 2,4 y = 2,4 Vértice B y = 4 – 0,6666.x y = 2 – 0,25.x 2 – 0,25.x = 4 – 0,66.x 0,4166.x = 2 x = 4,8 y = 0,8 Los valores de x e y deben ser enteros, por lo que se debe buscar el punto más próximo a ambos vértices con coordenadas enteras: B(3, 3) y C(5, 1) Región Factible A(0, 6) B(2,4, 2,4) C(4,8, 0,8) D C(5, 1) B(3, 3)

8 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.8 La región factible en abierta. Los vértices válidos son: A(0,6), B(3, 3), C(5, 1), D( 8,0) F (A) = = 0+48 = 48 F(B) = = = 39 F(C) = = = 33 F(D) = = 40 El mínimo coste será de 33, adquiriendo 5 cajas de A y 1 de B COMENTARIO IMPORTANTE Tendremos que comprar: 60.x + 40.y = = 340, cien unidades más de las x + 60.y = = 260, veinte unidades más de las x + 80.y = = 180, veinte unidades más de las 160. Si el vértice C hubiera sido válido, al menos en uno de los tres productos hubiéramos adquirido la cantidad exacta.

9 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.9 La dieta animal Un veterinario recomienda a un perro una dieta en la que deben aparecer al menos CINCO unidades de hidratos de carbono, DIECISEIS de proteínas y SIETE de grasas. A la venta existen dos productos para ello, cuya composición por cada diez gramos de producto es: HIDRATOS PROTEINAS GRASAS PRODUCTO A462 PRODUCTO B543 El precio de una caja de 100 gr del producto A es de 5, y el de una caja de 200 gr del producto B es de 7. ¿Cuántas cajas conviene comprar de cada tipo de producto para tener el mínimo coste, teniendo en cuenta que el tratamiento debe durar 20 días?. Resolución: La función objetivo será:f(x,y) = 5.x + 7.y Siendo x e y las unidades vendidas de cada tipo.

10 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.10 Las unidades necesarias en los 20 días de dieta son: 5x20 = 100 u. de hidratos de carbono 16x20 = 320 u de proteínas 7x20 = 140 u de grasa Las unidades que contiene cada caja A y B son proporcionales a su peso real, y por tanto son: HIDRATOSPROTEINASGRASAS PRODUCTO A4x10 = 406x10 = 602x10 = 20 PRODUCTO B5x20 = 1004x20 = 803x20 =60 Las restricciones del problema serán: 40.x y >= x + 80.y >= x + 60.y >= 140 x >=0 y >=0 De forma explícita ( despejando la y ) y >= 1 – 0,4.x y >= 4 – 0,75.x y >= 2,33 – 0,33.x x >= 0,, y >= 0

11 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.11 RESTRICCIONES: y >= 1 – 0,4.x y >= 4 – 0,75.x y >= 2,33 – 0,33.x x = 0,, y = 0 A(0, 4) B(4, 1) C(7, 0) Calculamos el vértice B: Por el M. de Igualación: y = 4 – 0,75.x y = 2,33 – 0,33.x 4 – 0,75.x = = 2,33 – 0,33.x 1,66 = 0,4166.x x = 4 y = 4 – 0,75.4 y = 1 B(4, 1) Región factible

12 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.12 A(0, 4) B(4, 1)C(7, 0) Representamos la Función objetivo: F(x,y) = 5x+7y 5x+7y = 0 Tabla: x y ,14 Y llevamos las paralelas que pasan por cada vértice. La paralela que pasa por el vértice B es la que presenta la menor ordenada en el origen, por lo que el vértice B será el mínimo. Región factible

13 @ Angel Prieto BenitoApuntes 2º Bachillerato C.S.13 Calculamos el valor de la función objetivo en los vértices. La región factible en abierta. Los vértices son A(0,4), B(4,1), C(7,0) F(x,y) = 5.x + 7.y F (A) = = 0+28 = 28 F(B) = = = 27 F(C) = = = 35 El mínimo coste será de 27, adquiriendo 4 cajas de A y 1 de B CONSECUENCIA DE LO ANTERIOR Tendremos que comprar: = = 260 u, 160 unidades más de las = = 320 u, las estrictamente necesarias = = 140 u, las estrictamente necesarias. No compraremos más cajas de las necesarias, malgastando 160 u. que tendremos que comprar pero no consumir.


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