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SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís.

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Presentación del tema: "SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís."— Transcripción de la presentación:

1 SISTEMAS LINEALES DE INECUACIONES Alejandro Camblor Fernández Departamento de Matemáticas IES Rey Pelayo Cangas de Onís

2 ÍNDICE Inecuaciones lineales de dos incógnitas Sistemas de inecuaciones lineales Problemas textuales de sistemas de inecuaciones (1º bachillerato) de programación lineal (2º bachillerato)

3 La solución de una inecuación de dos incógnitas es un semiplano. Los pasos a seguir para resolverla son: 1 er paso : representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual) 2º paso : elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación. 3 er paso : colorear el semiplano solución. 1 / 4

4 Resuelve la inecuación: Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: xy Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está es la solución. 2 / 4

5 Algunas inecuaciones son sencillas: Si la inecuación tiene una sola variable, la recta es paralela a alguno de los ejes. Asocia cada inecuación con su solución b a c d e 3 / 4

6 Resuelve las inecuaciones: Asocia cada inecuación con su solución b a cd 4 / 4

7 La solución de un sistema de inecuaciones de dos incógnitas es una región (si existe). Los pasos a seguir para resolverla son: 1 er paso : representar la recta (cambiamos el símbolo por un igual) 2º paso : elegir un punto del plano (que no esté en la recta anterior) y estudiar cómo responde a la inecuación. 3 er paso : colorear el semiplano solución. 1 / 5

8 Resuelve el sistema de inecuaciones: Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: xy Elijo el punto (2,2), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (2,2) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN. 1 er paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación 2 / 5

9 Resuelve el sistema de inecuaciones: Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: xy Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) NO RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está NO ES LA SOLUCIÓN. 2º paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación 1 er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación 3 / 5

10 Resuelve el sistema de inecuaciones: 2º paso: Tengo el semiplano solución de la segunda inecuación 1 er paso: Tengo el semiplano solución de la primera inecuación 3 er paso: Busco la intersección de los dos semiplanos anteriores 4 / 5

11 Resuelve los sistemas de inecuaciones: Asocia cada sistema con su solución b a c d 5 / 5

12 Problemas de texto con inecuaciones Los pasos a seguir para resolverlo son: 1 er paso : plantear el sistema de inecuaciones. 2º paso : resolver el sistema dibujando la región solución. 3 er paso : resolver el problema, dando la solución con una frase si es posible. 1 / 9

13 Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos ; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se pueden elaborar? 1 er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones Tarta CantidadAzúcar (kg)Huevos (u.) Chocolatex05x5x Manzanay1y6y Disponible960 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: xy Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN. 2 / 9

14 3 er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: xy Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN. 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones 3 / 9

15 5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores La solución del sistema y del problema está representado en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas) 4 / 9

16 a)Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo? b)Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar? c)Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo? d)ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar? Resuelve los problemas: Asocia cada problema con su solución c ba d 5 / 9

17 Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas puede fabricar de cada tipo? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 6 / 9

18 Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo puede elaborar? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 7 / 9

19 Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. ¿Cuántas puede fabricar de cada tipo? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 8 / 9

20 ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. ¿Cuántos vehículos de cada tipo puede utilizar? Definimos las incógnitas: Planteamos las inecuaciones: Hallamos y representamos los semiplanos solución de cada inecuación, y la región solución del sistema: 9 / 9

21 Problemas de programación lineal Los pasos a seguir para resolverlo son: 1 er paso : plantear el sistema de inecuaciones e identificar la función objetivo. 2º paso : resolver el sistema de inecuaciones dibujando la región solución. 3 er paso : dibujar el vector de la función objetivo, y buscar el punto de la región solución que la optimiza. 4º paso : escribir la solución con una frase si es posible. 1 / 6

22 Para fabricar una tarta de chocolate necesitamos medio kilo de azúcar y 5 huevos ; para fabricar la de manzana necesitamos un kilo de azúcar y 6 huevos. La tarta de chocolate se vende a 12 y la de manzana a 15. Si en total tenemos 60 huevos y 9 kilos de azúcar, ¿qué cantidad de cada tipo de tarta se debe elaborar para que la venta sea máxima? 1 er paso: Organizamos los datos en una tabla y hallamos las inecuaciones Tarta CantidadAzúcar (kg)Huevos (u.) Chocolatex05x5x Manzanay1y6y Disponible960 2 / 6 La función objetivo es la que queremos optimizar. En este caso queremos que la venta sea la mayor posible:

23 2º paso: Busco el semiplano solución de la primera inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: xy Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN. 3 / 6 3 er paso: Busco el semiplano solución de la segunda inecuación Represento la recta: Despejo la variable y: Tabla de valores: xy Elijo el punto (0,0), que no está en la recta, y estudio cómo responde la inecuación: Como el punto (0,0) RESPONDE BIEN a la inecuación, el semiplano en el que está ES LA SOLUCIÓN.

24 4º paso: Busco los semiplano solución de las últimas inecuaciones 4 / 6 6º paso: Dibujo el vector de la función objetivo 5º paso: Busco la región solución del sistema como intersección de los semiplanos anteriores La solución del problema está en esta región. Realmente, sólo valen los valores x e y no decimales (los puntos de intersección de las cuadrículas). El vector de la función objetivo es: Se dibuja desde el origen (0,0) hasta el punto (-5,4).

25 5 / 6 7º paso: Trazo paralelas al vector de la función objetivo, sobre la región factible, y observo cuál está más alejado. Los puntos (x,y) de cada recta paralela dan el mismo valor a la función objetivo. Con cada recta paralela cambia el valor de la función objetivo: paralelas hacia un lado aumentan la función objetivo, y hacia el otro lado la disminuyen. En los punto de la región factible más alejados están los valores óptimos: máximo y mínimo. Se observa que el punto (6,5) es el que maximiza la función objetivo. Recuerda que los valores decimales de x e y no tienen sentido en este problema. SOLUCIÓN : Si se elaboran 6 tartas de chocolate y 5 de manzana, las ventas son mayores y se obtienen 147.

26 a)Una empresa fabrica neveras normales (cada una lleva 3 horas de montaje y 3 de acabado), y neveras de lujo (cada una lleva 3 h de montaje y 6 de acabado). Los beneficios son de 180 en la normal y de 240 en la de lujo. Si en total dispone de 120 h de montaje y 180 h de acabado, ¿cuántas debe fabricar de cada tipo para maximizar el beneficio? b)Una panadería fabrica dos tipos de bollos: el tipo A tiene 500 g de masa y 250 g de crema; mientras que el tipo B tiene 250 g de masa y 250 g de crema. Se vende a 119 el tipo A y a 089 el tipo B. Si se dispone de 20 kg de masa y 15 kg de crema, ¿cuántos bollos de cada tipo se deben elaborar para maximizar la venta? c)Un herrero tiene 80 kg de acero y 120 kg de aluminio para fabricar bicicletas. Las de montaña llevan 2 kg de cada material, mientras que las de paseo llevan 1 kg de acero y 3 kg de aluminio. La de paseo la vende a 120 y la de montaña a 90. ¿Cuántas debe fabricar de cada tipo? d)ALSA organiza un viaje para al menos 200 personas. Dispone de 5 microbuses de 25 plazas y de 4 autobuses de 50, y sólo tiene 6 conductores. El microbús se alquila a 250 y el autobús a 375. ¿Cuántos vehículos de cada tipo debe utilizar? Resuelve los problemas: 6 / 6 a) 20 neveras normales y 20 de lujo, que reportan de beneficio de b) 20 bollos tipo A y 40 bollos tipo B, que reportan de beneficio de c) 20 bicis de paseo y 30 de montaña, que reportan de beneficio de d) 2 microbuses y 4 autobuses, que reportan de beneficio de


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