@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 FUNCIONES ELEMENTALES U. D. 11 * 4º ESO E. AC.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.1 FUNCIONES ELEMENTALES U. D. 11 * 4º ESO E. AC.

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.2 FUNCIÓN DE PROPORCIONALIDAD INVERSA U. D. 11.4 * 4º ESO E. AC.

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.3 DEFINICIÓN La Función de Proporcionalidad Inversa Viene dada por f(x) = k / x A veces también viene en forma implícita como x.y = k Se llama así porque a doble, triple, etc valor de x le corresponde la mitad, tercera parte, etc al valor de y. Es decir: La imagen es inversamente proporcional al valor que toma la variable. Gráficamente la forma que tiene es la de una HIPÉRBOLA. También son funciones de proporcionalidad inversa todas aquella funciones raciones de la forma f(x) = P(x) / Q(x) que tras efectuar la división de polinomios indicada quede de la forma: P(x) k f(x) = ------ = b + ---------, siendo el punto C(a, b) el centro de la hipérbola. Q(x) x – a

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Ejemplo_1 f (x) = 4 / x Tabla de valores x y - 4-1 - 3 - 4/3 - 2- 2 -1- 4 0NO EXISTE 14 22 3 4/3 41 Ejemplo 1

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x y -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 Ejemplo_2 f (x) = - 4 / x Tabla de valores x y - 41 - 3 4/3 - 22 -14 0NO EXISTE 1- 4 2- 2 3 - 4/3 4- 1 Ejemplo 2

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.6 CARACTERÍSTICAS DOMINIO Será Dom f(x) =R – {0}, pues si x=0 la función no existe. RECORRIDO Será Img f(x) =R – {0}, pues y = f(x) nunca puede ser 0. CRECIMIENTO Si k > 0  La función es DECRECIENTE en todo su dominio. Si k < 0  La función es CRECIENTE en todo su dominio. CONTINUIDAD Es continua en todo su dominio. En x = 0 no existe, por lo que no podemos hablar de que sea continua o no. SIMETRÍA Tanto si k > 0 como si k < 0, vemos que es simétrica respecto del origen O(0,0), pues se cumple: f (x) = - f (- x) ASÍNTOTAS Tanto si k > 0 como si k < 0, vemos que los ejes de abscisas y de ordenadas son siempre dos rectas asíntotas.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.7 Sea f(x) = k / x ASÍNTOTA VERTICAL En x=0 la función no existe. Sin embargo si damos a x valores muy pequeños, f(x) toma valores muy grandes y la la gráfica tiende a pegarse con el eje de ordenadas. Decimos entonces que x=0 es una asíntota vertical. Para k= 4 Tabla de valores xy 14 0,140 0,01400 0,0014000 0,000140000 ASÍNTOTAS x=0 y=0

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.8 Sea f(x) = k / x ASÍNTOTA HORIZONTAL Para valores muy grandes de x el valor de f (x) tiende a cero. Gráficamente la curva de la función tiende a pegarse con el eje de abscisas y = 0 Decimos entonces que y=0 es una asíntota horizontal. Para k = 4 Tabla de valores xy 0NO EXISTE 1000,04 10000,004 100000,0004 1000000,00004  oo  0 ASÍNTOTAS x=0 y=0

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.9 TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS TRASLACIÓN HORIZONTAL Sea una función de la forma y = k / x Si deseamos trasladar su gráfica horizontalmente “a” unidades, la función se convertirá en: k y = ---------- x – a Si a > 0 La hipérbola se desplaza a unidades a la DERECHA. La asíntota vertical será x = a y el centro el punto (a, 0) Si a < 0 La hipérbola se desplaza a unidades a la IZQUIERDA. La asíntota vertical será x = - a y el centro el punto (- a, 0) Nota importante: No confundir el que “a” sea un número negativo con el signo “ – “ de (x – a).

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.10 Sea f(x) = 4 /( x + 2) Partimos de la función: f(x) = 4 / x Al convertirse x en x+2 se ha producido un desplazamiento horizontal de y=4/x de 2 unidades a la izquierda. Vemos que la asíntota vertical es ahora x=-2 Pues a=2 El centro es (- 2, 0) -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 x y (-2, 0) Ejemplo de traslación horizontal

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.11 TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS TRASLACIÓN VERTICAL Sea una función de la forma y = k / x Si deseamos trasladar su gráfica verticalmente “b” unidades, la función se convertirá en: k k + b.x y = ----- + b = ----------- x x Si b > 0 La hipérbola se desplaza b unidades ARRIBA. La asíntota horizontal será y = b y el centro el punto (0, b) Si b < 0 La hipérbola se desplaza b unidades ABAJO. La asíntota horizontal será y = b y el centro el punto (0, b)

12 Ejemplo de traslación vertical @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.12 Sea f(x) = (4 – 2.x) / x O sea: 4 f(x) = – 2 + ----- x Partimos de la función: f(x) = 4 / x A todos los valores de x se les resta 2 unidades (b= – 2) Hay un desplazamiento vertical de la gráfica original hacia abajo. Vemos que la asíntota horizontal es ahora y= – 2 El centro es (– 2, 0) -3 -2 -1 0 1 2 3 y x (0, -2)

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.13 TRASLACIÓN DE HIPÉRBOLAS TRASLACIÓN OBLICUA Sea una función de la forma y = k / x Si deseamos trasladar su gráfica de forma oblicua, o sea horizontalmente a unidades y verticalmente b unidades, la función se convertirá en: k k + b.x – b.a m.x + n y = --------- + b = ------------------  y = -------------- x – a x – a m´.x + n´ Que es la expresión general de estas hipérbolas. La asíntota horizontal será y = b La asíntota vertical será x = a El centro el punto (a, b)

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.14 Sea f(x) = – 3 + [4 /(x + 2)] Partimos de la función: f(x) = 4 / x Si h = 2 y k = - 3 4 f(x) = -------- – 3 = x + 2 4 – 3.x - 6 - 3.x - 2 = ---------------- = ----------- x + 2 x + 2 Vemos que la asíntota horizontal es ahora y = -3 y la vertical es x = - 2 El centro es (- 2, - 3) -3 -2 -1 0 1 y x (-2, -3) Ejemplo de traslación oblicua

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.15 k Sea f(x) = b + --------- (x – a) Sea cual sea los valores de los parámetros a y b, coordenadas del centro de la hipérbola, siempre se cumple que: El rectángulo cuyas esquinas opuestas son un punto cualquiera de la hipérbola, P(xo, yo), y el centro C(a, b) presenta un área igual al valor absoluto de k. Por ejemplo Si el gráfico corresponde a la función f(x) = b – 8 / (x – a) Todos, los cuatro rectángulos señalados, tienen un área de 8 u 2 Valor de la constante k C(a, b)

16 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.16 REGLA GENERAL REGLA GENERAL PARA REPRESENTAR FUNCIONES DEL TIPO: m.x + n y = ------------ p.x + q (m/p).x + n/p Si p<>1 se divide todo entre p: y = ------------------- x + q/p Se efectúa la división de polinomios, quedando: k y = ---------- + b x – a Se representa gráficamente y = k / x Y finalmente se traslada la gráfica cuyo centro será el punto P (a, b)

17 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.17 Ejemplo Representar la función: 8.x - 4 f(x) = ---------- 2.x + 4 Se divide todo entre 2 4.x – 2 f(x)= ----------- x + 2 Se efectúa la división, quedando: - 10 f(x) = 4 + --------- x + 2 Se representa y = - 10 / x El centro es (- 2, 4) -3 -2 -1 0 1 y x (-2, 4) Ejemplo

18 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 4º ESO E. AC.18 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 y Representar la función: x f(x) = ---------- x + 2 Se efectúa la división, quedando: - 2 f(x) = 1 + --------- x + 2 Se representa y = - 2 / x El centro debe pasar del (0,0) al punto (- 2, 4), pues ha habido una traslación oblicua con a=2 y b=1 Otro ejemplo