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1 ECUACIONES DE FRESNEL Estos problemas proceden de cuadernillos y exámenes de años anteriores. Las soluciones presentadas aquí se basan en los enunciados.

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1 1 ECUACIONES DE FRESNEL Estos problemas proceden de cuadernillos y exámenes de años anteriores. Las soluciones presentadas aquí se basan en los enunciados resueltos por los profesores de la sede central Carmen Carreras y Manuel Yuste ÓpticaÓptica

2 2 ÓpticaÓptica PROBLEMA 1 (CUADERNILLO , 1º P). Ecuaciones de Fresnel. Un rayo láser, de intensidad I 0 = 0.1 W/cm 2, incide perpendicularmente sobre una de las paredes laterales de una cubeta paralelepipédica de vidrio transparente. Después de atravesarla sale por la pared opuesta con la intensidad I. Admitiendo por simplicidad que sólo se produce una reflexión en cada una de las caras de las paredes de la cubeta (es decir, despreciando las múltiples reflexiones internas), se pide: 1234 Determinar el índice de refracción n v del vidrio respecto del aire (índice del aire n a = 1), sabiendo que el valor de la intensidad luminosa de salida con la cubeta vacía es I = W/cm Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción n l < n v, la intensidad de salida vale I = W/cm 2. Halle n l. 2. Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción n l > n v, la intensidad de salida vale I = W/cm 2. Halle n l. 3. Determine I cuando el índice de refracción del líquido coincide con el del vidrio El rayo entra perpendicularmente, por lo tanto el factor de reflexión cada vez que atraviesa una interfase es: pues inicialmente la cubeta está vacía y todas las interfases son vidrio/aire Intensidades 1 I0I0 2 I1I1 3 I2I2 4 I3I3 I4I4 Factor de reflexión en incidencia nomal: ver demostración aquí

3 3 ÓpticaÓptica Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción n l < n v, la intensidad de salida vale I = W/cm 2. Halle n l. 2. PROBLEMA 1 (CUADERNILLO , 1º P). Ecuaciones de Fresnel. 1 I0I0 2 I1I1 3 I2I2 4 I3I3 I4I4 En este caso los coeficientes de reflexión son: (iguales al caso anterior ya que las interfases 1 y 4 son aire/vidrio) (interfases líquido/vidrio) Intensidades Si se rellena la cubeta con un líquido de índice de refracción n l > n v, la intensidad de salida vale I = W/cm 2. Halle n l. 3. En caso de que el índice de refracción del líquido y del vidrio sean iguales, el razonamiento es el mismo que en el apartado anterior, con la única salvedad siguiente: cuando se haya de despejar n l a partir de R l, debe utilizarse el signo negativo de la raíz cuadrada, pues en caso contrario no se cumple la condición n l > n v. Tomamos el signo negativo

4 4 PROBLEMA 1 (CUADERNILLO , 1º P). Ecuaciones de Fresnel. Determine I cuando el índice de refracción del líquido coincide con el del vidrio.4. 1 I0I0 2 I1I1 3 I2I2 4 I3I3 I4I4 Coeficientes de reflexión para n l = n v : Intensidad ÓpticaÓptica

5 5 ÓpticaÓptica Un haz de luz de intensidad I 0 incide sobre un prisma en ángulo recto de vidrio flint denso (n = 1.72 respecto al aire) como se indica en la figura. El haz está polarizado linealmente en la dirección perpendicular al plano de incidencia. 90º nlnl n r i nlnl n I0I0 I Sobre la superficie horizontal del prisma hay un líquido de índice de refracción n l respecto al aire que se quiere determinar. Se pide: Encontrar la expresión de la intensidad I emergente por la cara 3, en función de los factores de reflexión en las caras 1, 2 y 3, que dependen de los índices de refracción n y n l. 1. Sabiendo que I/I 0 = 0.127, determinar el índice de refracción n l del líquido.2. Si la superficie superior del prisma estuviese en contacto directo con el aire, calcular I/I 0.3. PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel. La luz incidente sobre la cara 1 se reflejará y transmitirá en primer lugar en la cara 2; pero hay que tener en cuenta que cada vez que la luz alcanza una interfase se produce reflexión y refracción, de modo que en las tres caras 1, 2 y 3 habrá que considerar el efecto de las reflexiones múltiples sobre la intensidad que finalmente emerge de la cara 3. Coeficientes de reflexión: (Incidencia normal) (puesto que i = 45º sin i = cos i) (Nótese que el ángulo r no es conocido por el momento, ya que depende del índice de refracción del líquido, desconocido por ahora, que tendremos que determinar) Encontrar la expresión de la intensidad I emergente por la cara 3, en función de los factores de reflexión en las caras 1, 2 y 3, que dependen de los índices de refracción n y n l. 1. Factor de reflexión en incidencia normal: ver demostración aquí.

6 6 ÓpticaÓptica Luz que entra al prisma: estudio de las reflexiones múltiples. Los coeficientes de reflexión de interés son R (cada vez que hay una reflexión en la cara 1 o en la 3) y R 2 (cada vez que hay una reflexión en la cara 2). La intensidad que, procedente de múltiples reflexiones, sale finalmente por la cara 3 se puede obtener siguiendo el esquema siguiente La intensidad luminosa que sale de la cara 3 tras las múltiples reflexiones producidas es la suma: Este término es una serie geométrica de razón El primer término es a 1 = 1 y la razón r es menor que la unidad, por tanto la suma de los infinitos términos de la serie es: Intensidad que emerge por la cara 3: PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel.

7 7 Sabiendo que I/I 0 = 0.127, determinar el índice de refracción n l del líquido.2. PROBLEMA 2 (EX. 1º P, FEBRERO 97, 2ª VUELTA). Ley de Snell y ecuaciones de Fresnel. Valor aceptado Respecto al ángulo r hay dos posibilidades: que al salir el rayo transmitido por la cara 2 se acerque a la normal, cuando (cos r – sin r) > 0, o bien se aleje de la normal, cuando (cos r – sin r) < 0. Caso 1. Se acerca a la normal: obtenemos r y aplicamos ley de Snell Un índice tan elevado es poco realizta Caso 2. Se aleja de la normal: obtenemos r y aplicamos ley de Snell Si la superficie superior del prisma estuviese en contacto directo con el aire, calcular I/I 0.3. Véase que el ángulo de incidencia de 45º es superior al ángulo límite para n = 1.72, por lo que R 2 = 1 ÓpticaÓptica

8 8 ÓpticaÓptica PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V) Utilización de las ecuaciones de Fresnel para determinar el índice de refracción de un líquido 12 O I0I0 Fotómetro A Fotómetro B Se dispone de dos cubetas semicilíndricas, de paredes transparentes y adosadas como se indica en la figura. En ellas hay sendos líquidos de índices de refracción respecto del aire n 1 y n 2. Sobre la cubeta 1 incide radialmente un rayo láser polarizado linealmente y de intensidad I 0 = 0.1 W/cm 2. Cuando el rayo está polarizado paralelamente al plano de incidencia, la intensidad I A // medida por el fotómetro A es mínima para = 50.96º. Se pide: 1. Determine la relación entre los índices de refracción n = n 2 /n Si la intensidad I B // medida por el fotómetro B es W/cm 2, determine n 1 y n Determine e para el mismo valor de cuando el láser está polarizado perpendicularmente al plano de incidencia. Nota. Desprecie los efectos debidos a las paredes de las cubetas y considere una sola reflexión en los pasos de la luz a través de las superficies de separación líquido-líquido y líquido-aire. Use cuatro cifras decimales para los cálculos numéricos.

9 9 ÓpticaÓptica 12 O Considerando en todos los casos una sola reflexión, según el enunciado, veamos cuanta luz llega al fotómetro. Del aire a la cubeta 1: el rayo I 0 incide normalmente a la superficie, por lo tanto el coeficiente de reflexión es La intensidad del rayo I 1 será pues I0I0 I1I1 IrIr Fotómetro A IAIA Reflexión en el punto O: El ángulo de incidencia es, el de refracción es ; el coeficiente de reflexión será: Intensidad reflejada I r : De la cubeta 1 al aire tenemos el rayo I A (incidencia normal) (Las ecuaciones de Fresnel son reversibles, el coeficiente de reflexión del medio 1 al aire es el mismo que si el rayo va a la inversa) (Recordemos que el rayo incidente está polarizado paralelamente al plano de incidencia) R // (O) es mínima si + = 90º Puesto que el coeficiente de reflexión R 1 (el que corresponde a incidencia normal) es constante, la intensidad del rayo I A será mínima si R // (O) es mínima Es decir, R // (O) se anula cuando el ángulo de incidencia es el ángulo de Brewster. Entonces = 90 - = 39.04º La relación entre los índices de refracción n = n 2 /n 1 se obtiene aplicando la ley de Snell 1. Determine la relación entre los índices de refracción n = n 2 /n 1. PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V) Factor de reflexión en incidencia normal: ver demostración aquí.

10 10 2. Si la intensidad I B // medida por el fotómetro B es W/cm 2, determine n 1 y n 2. PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V) 12 O I0I0 I1I1 IrIr Fotómetro A IAIA Fotómetro B El factor de transmisión de la luz que se refracta se expresa como i incidente t refractado (transmitido) En nuestro caso ItIt Recordemos que en las condiciones propuestas en el enunciado = 0 Intensidad que alcanza el fotómetro B: IBIB (incidencia normal) De la relación se obtiene (ya que = 90- ) ÓpticaÓptica

11 11 ÓpticaÓptica PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V) Valores numéricos: Resolvemos la ecuación de 2º grado en n 1 : 3. Determine e para el mismo valor de cuando el láser está polarizado perpendicularmente al plano de incidencia. Recordemos del apartado 1 que la intensidad que alcanza el fotómetro A es: (ya que + = 90º) Siguiendo el mismo razonamiento, la intensidad en el fotómetro A cuando la luz está polarizada perpendicularmente al plano de incidencia será:

12 12 ÓpticaÓptica Fotómetro B PROBLEMA 3 (EX. FEB 03, 2ª V) El factor de transmisión de la luz que se refracta se expresa como i incidente t refractado (transmitido) En nuestro caso Intensidad que alcanza el fotómetro B 12 O I0I0 I1I1 IrIr Fotómetro A IAIA Fotómetro B ItIt IBIB = W cm -2

13 13 ANEXO. COEFICIENTES DE REFLEXIÓN EN INCIDENCIA NORMAL Coeficiente de reflexión perpendicular Ley de Snell Cuando la incidencia es normal: Cuando i 0 y r 0, el seno y la tangente tienden al mismo límite En incidencia normal Volver Problema 1 Volver Problema 2 Volver Problema 3 ÓpticaÓptica


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