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Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE.

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1 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA UNIVERSIDAD AUTONOMA DE COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERIA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS NATURALES Y EXACTAS SECCION DE FISICA ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO LUIS FELIPE MILLAN BUITRAGO

2 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Capacitancía y dieléctricos

3 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 4.1 Introducción 4.2 Objetivo general 4.3 Objetivos específicos 4.4 Capacitancía 4.5 Combinación de capacitores 4.6 Energía almacenada en un capacitor cargado 4.7 Densidad de energía en un campo 4.8 Dieléctricos 4.9 Capacitores con dieléctrico 4.10 Una descripción atómica de los dieléctricos 4.11 Dipolo eléctrico en un campo eléctrico 4.12 Auto- evaluación 4.13 Solucionarlo Unidad IV

4 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En electrostática, todo conductor se caracteriza por un potencial eléctrico constante en todos sus puntos y dentro de el. La diferencia de potencial entre dos conductores cargados pueden acelerar cargas de prueba, y es por eso que el sistema almacena energía. Un capacitor es un dispositivo de este tipo; almacena energía por que almacena carga. En este capitulo, estudiaremos como afecta a los capacitores la geometría y los materiales dieléctricos. También vamos a describir la estructura microscópica de los dieléctricos y con ello ampliaremos el conocimiento fundamental del comportamiento de la materia. 4.1 Introducción

5 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 4.2 Objetivo general Dotar al estudiante de los fundamentos teóricos necesarios para poder aplicar y utilizar la energía almacenada en un campo electroestático, así como de herramientas para calcular capacitancias de diferente geometría y para obtener la capacitancia neta de sistemas de capacitores serie y paralelo. Dimensionar la importancia del efecto de un dieléctrico sobre la capacitancia, la carga, la diferencia de potencial y la intensidad del campo eléctrico en un capacitor de placas paralelas.

6 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 4.3 Objetivos específicos Estar en capacidad de interpretar la influencia que tiene un dieléctrico (material no conductor) dentro del capacitor en variables como: la intensidad del campo eléctrico, la capacitancia, la carga y la diferencia de potencial. Proyectar la aplicabilidad temática al estudio de una lámpara de destello, de un sintonizador de frecuencia de radio, de filtros para suministro de energía eléctrica o en circuitos electrónicos en donde los voltajes y corrientes varían con el tiempo.

7 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 4.4 Capacitancia Un capacitor se compone de dos conductores aislados eléctricamente uno del otro y de sus alrededores. Una vez que el capacitor se carga, los dos conductores adquieren cargas iguales pero de signo contrario, es decir, existe un desequilibrio de carga, por tanto, hay una diferencia de potencial y un campo eléctrico entre los conductores. + -

8 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Se comprueba experimentalmente que la diferencia de potencial es directamente proporcional a la carga en el capacitor V Q entonces: C = V / Q FARADIO = VOLTIO / COULOMB. La capacitancia C del capacitor depende del arreglo geométrico de los conductores, la capacitancia de un dispositivo es la capacidad para almacenar carga y energía potencial eléctrica. Carga de un capacitor

9 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 4.1 Cuando en un capacitor inicialmente descargado se transfieren 1*10 12 electrones de una placa a la otra, la diferencia de potencial es de 20 voltios. ¿cuál es su capacitancia? Como la carga esta cuantizada: Q t = N*e, donde N es el numero de electrones y e la carga del electrón 1.6* C, entonces: Q t = 160*10 -9 C. Como Q = V*C C = Q t / V = 8 nC

10 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 4.2 Capacitancía de una esfera aislada de radio R Q+ Consta de un conductor esférico aislado de radio r y carga Q. (el segundo conductor puede considerarse como una esfera conductora concéntrica de radio infinito) r Entonces, C = Q / ( KQ / r) La capacitancia C = Q / V la diferencia de potencial V = KQ / r C = r / K = r (4* o )

11 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 4.3 Capacitancia de un capacitor de placas paralelas d Consta de dos placas (rectangulares, circulares, etc.) planas y paralelas separadas una distancia d y un campo eléctrico uniforme entre ellas La capacitancia C del capacitor, la diferencia de potencial V y el campo eléctrico entre las placas es: C = Q / V V = E * d E = / o V = ( / o )*d V = Q/A)*d / o C = Q / ( Qd) /(A o )) C = o A / d

12 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA El segundo conductor es un cascaron cilíndrico de radio b > a y densidad lineal de carga – Para una superficie cilíndrica de radio a < r < b el campo eléctrico es radial hacia fuera C = Q / V = Q / / (2 )} Ln (b /a) C = Q / V = Q / {(Q/l) / (2 )} Ln (b /a) La capacitancia es: C = Q / V, y la diferencia de potencial V entre el cilindro de radio a y el cilindro de radio b se define como: Ejemplo 4.4 Capacitancía de un capacitor cilíndrico r Un capacitor cilíndrico consiste en un conductor central de radio a, con una densidad lineal de carga + una longitud l a +Q b -Q C = 2 l / Ln (b /a) E r = / (2 r) ^ r V b V a = E r dr = /(2 r) dr b a b a V b – V a = / (2 ) Ln(b/a) = V V b – V a = / (2 )Ln r b a V b V a = E dl = E r dr b a b a V b V a = /(2 ) r dr b a

13 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA V b V a = E r dr = (KQ / r 2 )dr b a b a V b V a = E dl = E r dr b a b a Como V a V b V a – V b = KQ (1/a – 1/b) Ejemplo 4.5 Capacitancia de un capacitor esférico b -Q a +Q r b a Para la superficie de radio a < r < b el campo eléctrico es radial hacia fuera Para calcular el campo eléctrico a una distancia r tal que a < r < b se construye una superficie esférica de radio r La Capacitancía es C = Q / V, la diferencia de potencial V entre la esfera de radio a y la esfera de radio b se define como: E r = KQ / r 2 ^ r Por tanto C = Q / V = Q / {KQ (b – a) / (a*b)} C = a*b / (K (b – a)) Consta de un cascaron conductor esférico de radio b y carga -Q y una esfera concéntrica conductora de radio a < b y carga +Q V a – V b = KQ(b a) / (a * b) V b – V a = KQ (1/r) = kQ (1/b – 1/a) a b V b – V a = KQ (dr/r 2 ) a b

14 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Si se considerara la tierra como un inmenso capacitor ¿cuál sería su capacitancia considerándola como una esfera conductora aislada de radio r = 6.37*10* 10 6 m. Ejemplo 4.6 C = r (4* o ) = 707 F

15 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Se tiene un capacitor de placas paralelas separadas una distancia de 2 cm. Si la placas son discos y la capacitancia es de 72* F = 72 PF ¿cuál es el radio de las placas? Ejemplo 4.7 C = o A / d, entonces. A = Cd / o como A = r 2 = Cd / o r = ( Cd / ( o )) r = m = cm d

16 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA ¿cuál es la capacitancia por unidad de longitud de un capacitor cilíndrico de radio a = 5 cm y radio b = 10 cm? Ejemplo 4.8 C = 2 l / Ln(b /a), entonces, C / l = 2 / Ln (b /a) C = 7.52 PF/m b-b- a l

17 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA ¿cuál es la capacitancia de un capacitor esférico de radio a de 5 cm y radio b de 10 cm? Ejemplo 4.9 C = a * b / (K(b – a)) = PF C = 11.11* F a +Q -Q b

18 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Se tiene una batería, unos conductores, un capacitor de placas paralelas C descargado y un interruptor. Carga en un capacitor 4.5 Combinación de capacitores Cuando el interruptor se cierra cada placa adquiere la misma cantidad de carga Q pero de signo contrario, y una diferencia de potencial V.

19 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Se tienen dos capacitores en serie C 1 y C 2, inicialmente descargados, una batería, un interruptor y unos conductores. Los dos capacitores conectados en serie tiene cargas iguales de signos opuestos. Capacitores en serie

20 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Esto hace que el sistema se comporte como si fuera un solo capacitor. entonces V – V 1 – V 2 = 0 como C = Q / V reemplazando Q/C – Q 1 /C 1 – Q 2 /C 2 = 0. La carga en cada capacitor es la misma 1/C = 1/C 1 + 1/C 2 Para un circuito cerrado la suma de los potenciales es igual a cero V = 0 Cuando se cierra el interruptor las placas de los extremos obtienen idéntica cantidad de carga pero de signo contrario, positiva a la izquierda y negativa a la derecha. las placas exteriores inducen la misma cantidad de carga de signo contrario a las placas interiores

21 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Para cada capacitor conectado en serie la carga es la misma Q 1 = Q 2 = = Q i = = Q n. Para un circuito de capacitores conectados en serie el voltaje de entrada es igual a la suma de los voltajes individuales V = V 1 – V 2 – – V i – – V n Para un circuito con capacitores en serie el inverso de la capacitancia equivalente es igual a la suma de los inversos de cada uno de ellos 1/C e = 1/C 1 + 1/C /C i /C n la capacitancia equivalente es el reciproco de la ecuación anterior, Conclusiones n i = 1 1/C e = 1/C i

22 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Se tienen tres capacitores conectados en serie con una batería de 100 V. Si C 1 = 30 F, C 2 = 40 F, C 3 = 24 F. ¿cuál es la capacitancia equivalente y cual es el voltaje en cada capacitor? Ejemplo C1C1 C2C2 C3C3 1 / C e = 1/ C 1 + 1/ C 2 + 1/ C 3 ; 1 / C e =1 / (10 F). entonces, C e = 10 F y Q e = V*C e = 1000 C = 1*10 -3 C Como la carga es la misma para capacitores en serie, y Q = V* C, entonces, V 1 = Q / C 1 = V V 2 = Q / C 2 = V V 3 = Q / C 3 = V

23 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA La carga total Q t = Q i = Q 1 + Q 2 Q = C*V V*C e =V 1 *C 1 +V 2 *C 2 V = V 1 = V 2 C e = C 1 + C 2 Cuando se cierra el interruptor los capacitores C 1 y C 2 conectados en paralelo tienen el mismo potencial ya que la línea ace es una equipotencial y la línea bdf hace otra equipotencial. Se tienen dos capacitores conectados en paralelo C 1 y C 2, inicialmente descargados, una batería, un interruptor y unos conductores. a b c d e f a b c d e f Capacitores en paralelo

24 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Para un circuito de capacitores en paralelo la carga total es igual es igual a la suma de las cargas individuales Q t = Q i = Q 1 + Q 2 + Q Q i Q n Para un circuito de capacitores en paralelo la capacitancia equivalente es igual a la suma de las capacitancias individuales C e = C i = C 1 + C 2 + C C i C n Para un circuito de capacitores en paralelo el voltaje es igual para cada capacitor V 1 = V 2 = V 3 = = V i = = V n Conclusiones

25 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Se tienen tres capacitores conectados en paralelo con una batería de 100 V.Si C 1 = 1 F, C 2 = 2 F, C 3 = 3 F.¿cuál es la capacitancia equivalente y cual es la carga en cada capacitor?. Ejemplo C1C C2C C3C3 La capacitancia equivalente es: C e = C 1 + C 2 + C 3 = 6 F Q t = VC e = 600 C como el voltaje es el mismo en cada capacitor, y Q = VC, entonces, Q 1 = VC 1 = 100 C Q 2 = VC 2 = 200 C Q 3 = VC 3 = 300 C

26 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA C1C1 C2C2 C3C3 V C1C1 C2C2 C3C3 V Se tiene un capacitor C 1 = 1 F, en paralelo con un capacitor C 2 = 2 F, y un capacitor C 3 = 6 F en serie con los dos anteriores, conectados a una fuente de 24 Voltios ¿cuál es la carga y el voltaje en cada capacitor? Ejemplo 4.12 Como C 1 y C 2 están en paralelo la Capacitancía equivalente C 4 = C 1 + C 2 C 4 = 3 F

27 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA C4C4 C3C3 V los capacitores C 4 y C 3 están en serie la capacitancia equivalente es 1/C 5 =1/C 4 +1/C 3 1/C 5 = 1/(3 F) + 1/(6 F) entonces, C 5 = 2 F

28 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA C5C5 V La carga Q 5 = V * C 5 = 24V * 2 F = 48 C teniendo la carga y la capacitancia equivalente, nos regresamos encontrando los voltajes y las cargas en cada capacitor

29 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA C4C4 C3C3 V Como la carga de capacitores en serie es la misma Q 5 = Q 4 = Q 3 = 48 C V 4 = Q 4 / C 4 = 48 C / 3 F = 16 voltios V 3 = Q 3 / C 3 = 48 C / 6 F = 8 voltios En un circuito cerrado la suma de los potenciales es igual a cero V = 0 entonces 24 V – 16 V – 8 V = 0

30 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA C1C1 C2C2 C3C3 V V 1 = V 2 = V 4 = 16 voltios V 3 = 8 voltios Q 1 = V 1 * C 1 = 16 C Q 2 = V 2 * C 2 = 32 C Q t = Q 1 + Q 2 = 48 C

31 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F 16 V 16 C 24 V 2 F 16 V 32 C 3 F 8 V 48 C

32 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA CVQ C1C1 1 F 16 V 16 C C2C2 2 F 16 V 32 C C3C3 6 F 8 V 48 C

33 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Entre los dos conductores de un capacitor cargado hay un campo eléctrico, y ese campo puede acelerar una carga de prueba. Así, un capacitor cargado es capaz de realizar trabajo, y debe contener energía. Una partícula positiva que se mueve en dirección contraria al campo eléctrico realiza un trabajo W = U Un capacitor se carga tomando una carga positiva dq, de un conductor y pasándolo al otro conductor. El primer conductor tiene una carga +dq y el segundo una carga – dq. Al continuar moviendo cargas adicionales dq i, las cargas existentes en los conductores se opondrán a la transferencia de mas carga y tenemos que efectuar un trabajo para mover cada carga adicional. 4.6 Energía almacenada en un capacitor cargado VOLTIOS

34 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA El trabajo total efectuado cuando iniciamos con cero cargas y terminamos con las cargas Q En cualquier instante la diferencia de potencial V = q / C entonces dW = Vdq = q / C dq La energía de un capacitor cargado es U = ½ Q 2 / C = ½ C V 2 = ½ Q V dWW == (q / C) dq = ½ Q 2 / C 0 Q VOLTIOS

35 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Se tienen tres capacitores conectados en serie con una batería de 100 V. Si C 1 = 30 F, C 2 = 40 F, C 3 = 24 F. ¿cuál es la energía en cada capacitor y cual es la energía de todo el sistema?. Ejemplo C1C1 C2C2 C3C3 1 / C e = 1/ C 1 + 1/ C 2 + 1/ C 3 ; 1 / C e =1 / (10 F). entonces, C e = 10 F y Q e = V * C e = 1000 C U t = ½ Q e V = 50 mJ U 1 = ½ Q 1 2 /C 1 = mJ U 2 = ½ Q 2 2 /C 2 = 12.5 mJ U 3 = ½ Q 3 2 /C 3 = mJ U t = U 1 + U 2 + U 3 = 50 mJ

36 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Se tienen tres capacitores conectados en paralelo con una batería de 100 V.Si C 1 = 1 F, C 2 = 2 F, C 3 = 3 F.¿cuál es la energía total y cual es la energía en cada capacitor?. Ejemplo C1C C2C C3C3 La capacitancia equivalente es: C e = C 1 +C 2 +C 3 = 6 F Q t = VC e = 600 C U t = ½ Q e V = 30*10 -3 J U 1 = ½ C 1 V 2 = 5*10 -3 J U 2 = ½ C 2 V 2 = 10*10 -3 J U 3 = ½ C 3 V 2 =15*10 -3 J U t = U 1 + U 2 + U 3 = 30 mJ

37 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Ejemplo 4.15 a b C1C1 C2C2 Considérese el circuito de la figura donde C 1 = 2 F. C 2 = 4 F y = 24 voltios. El capacitor C 1 se carga primero llevando el interruptor a a, el capacitor cargado se conecta al capacitor descargado C 2 pasando el interruptor a b. Calcule a) la carga inicial del capacitor C 1 y su energía inicial, b) la carga final de cada capacitor, la energía final y el voltaje en cada capacitor. c) la variación de la energía. Se cierra el interruptor

38 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA a b C1C1 C2C2 La carga Q t cuando se lleva el interruptor a a Q t = C 1 * V = 2 F * 24 V = 48 C y su energía U i = ½ Q t 2 / C 1 = 576 J

39 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA La energía de C 1 es : U 1 = ½ Q 1 2 / C 1 = 64 J La energía de C 2 es : U 2 = ½ Q 2 2 / C 2 = 128 J La energía total U f = U 1 + U 2 = 192 J U = U i - U f 576 J J = 384 J Esta energía se transformo en calor o en forma de ondas electromagnéticas a b C1C1 C2C2 Cuando el interruptor se lleva de a, a b, la carga Q t se redistribuye con el capacitor dos, el capacitor uno cede una carga Q al capacitor dos. La nueva carga de C 1 y C 2 es: Q 1 = Q t – Q y de C 2 es Q = Q 2. Como el voltaje en paralelo es el mismo; V 1 = V 2 ; V 1 = (Q t – Q) / C 1 ; V 2 = Q / C 2 entonces, (Q t – Q 1 )/C 1 = Q/C 2 Q=Q t * C 2 / (C 1 +C 2 ) = 32 C = Q 2 ; Q 1 =Q t – Q=16 C; V 1 = Q 1 /C 1 = 8V.; V 2 =Q 2 /C 2 = 8 V

40 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA La capacitancia de un capacitor C de placas paralelas, la diferencia de potencial entre las placas de un capacitor y la energía de un capacitor cargado es: es: C = o A / d ; V = E d ; U = ½ C V 2 ; U = ½( o A/d ) (E d ) 2 = ½ o ( A*d) E 2 Como el volumen v = A*d, entonces, La densidad de energía o la energía por unidad de volumen es : U E = U/ v = ½ o E Densidad de energía en un campo eléctrico

41 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En un capacitor de placas paralelas las placas tienen un área de 40 cm 2 y están separadas 2.5 mm. El capacitor se conecta a una batería de 24 voltios. Encuentre a) La capacitancia; b) la energía almacenada; c) el campo eléctrico; d) la densidad de energía en el campo eléctrico. Ejemplo 4.16 A = 40*10 -4 m 2 ; d = 2.5*10 -3 m a) La capacitancia; C = o A / d = PF C = 14.15* F b) La energía almacenada; U = ½V 2 C = 8.15 nJ U = 8.15*10 -9 J

42 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En un capacitor de placas paralelas las placas tienen un área de 40 cm 2 y están separadas 2.5 mm. El capacitor se conecta a una batería de 24 voltios. Encuentre a) La capacitancia; b) la energía almacenada; c) el campo eléctrico; d) la densidad de energía en el campo eléctrico. A = 40*10 -4 m 2 ; d = 2.5*10 -3 m c) El campo eléctrico; V = Ed E = V/d = 9600 V/m d) La energía en la unidad de volumen (densidad de energía); U E = ½ o E 2 = J

43 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un dieléctrico es un material no conductor, como el caucho el vidrio o el papel encerado, etc. Cuando un material se inserta entre las placas de un capacitor aumenta la capacitancia, Si el dieléctrico llena por completo el espacio entre las placas, la capacitancia aumenta en un factor k adimensional, conocido como constante dieléctrica. 4.8 Dieléctricos

44 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 0.0 VOLTIOS 4.9 Capacitores con dieléctrico Supongamos que tenemos una batería, un voltímetro, unos cables de conexión y un capacitor descargado de placas paralelas separadas una distancia d y de área A Cerramos el interruptor

45 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 150 VOLTIOS Cargado el capacitor genera un campo eléctrico (E o ) y una diferencia de potencial (V o ). La capacitancia inicial C o = ( 0 *A / d). Las placas adquieren cargas iguales (Q o ) pero de diferente signo, entonces, Q o = V o * C o ; V o = E o * d Abrimos el interruptor

46 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Como : 1) Q o = V o * C o ; 2) V o = E o * d 3) Q o = V * C ; 4) V = E * d Dividiendo 1 y 3; V o * C o = V * C 2 y 4; V o /V = E o / E por tanto V o / V = C / C o = E o / E = k donde k es la constante dieléctrica Cuidadosamente insertamos en el capacitor un dieléctrico sin que haya fuga de cargas, el capacitor tendrá la misma carga Q o, una diferencia de potencial V, un campo eléctrico E Q o = V * C ; V = E * d. Conclusiones El voltaje V o se hace k veces menor con dieléctrico V o / k = V La capacitancia C o se hace k veces mayor con dieléctrico C = C o k = k ( 0 *A / d) El campo eléctrico E o es k veces menor con dieléctrico E o / k = E 150 VOLTIOS VOLTIOS

47 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Suponga que tenemos un capacitor de placas paralelas de área A y separadas una distancia d, se introduce dentro del capacitor dos dieléctricos en serie de constante dieléctrica k 1 y k 2. Cada uno tiene área A y ocupa la mitad de la distancia entre las placas. a) Cual es la nueva capacitancia del capacitor. b) si la separación entre las placas es 2 cm, el área de las placas de 10 cm 2, un dieléctrico es vidrio pyrex de constante dieléctrica k 1 = 5.6, el otro dieléctrico es teflón de constante dieléctrica k 2 = 2.1 y cual es la capacitancia del capacitor Ejemplo 4.17 k1k1 k2k2 d A La capacitancia equivalente en serie es: C e = C 1 * C 2 / (C 1 +C 2 ) C 1 = k 1 ( 0 *A) / d/2 ; C 2 = k 2 ( 0 *A) / d/2 C e = {k 1 0 A / d/2 * k 2 0 A/d/2} / {k 1 0 A/d/2 + k 2 0 A/d/2} C e = (2 0 A/ d)*(k 2 k 1 / k 2 + k 1 )) = 1.35 PF

48 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Suponga que tenemos un capacitor de placas paralelas separadas una distancia d y de área A, se introduce dentro del capacitor dos dieléctricos en paralelo de constante dieléctrica k 1 y k 2. Cada uno ocupa la distancia d y la mitad del área. a) Cual es la nueva capacitancia del capacitor. b) Si la separación entre las placas es 2 cm, el área de las placas de 10 cm 2, el primer dieléctrico es vidrio pyrex de constante dieléctrica k 1 = 5.6, el segundo dieléctrico es teflón de constante dieléctrica k 2 = 2.1. ¿cuál es la capacitancia del capacitor?. k2k2 Ejemplo 4.18 k1k1 d A La Capacitancía equivalente en paralelo es: C e = C 1 + C 2 C 1 = k 1 ( 0 *A/2) / d ; C 2 = k 2 ( 0 *A/2) / d C e = k 1 0 * (A/2) / d + k 2 0 * (A/2) / d C e = ( 0 *A / (2d) * (k 1 + k 2 ) = 1.70 PF

49 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Supongamos que tenemos una batería, un interruptor, unos cables de conexión, un capacitor de placas paralelas y un dieléctrico Una descripción atómica de los dieléctricos En un dieléctrico los dipolos se orientan aleatoriamente en ausencia de un campo eléctrico. Si las moléculas del dipolo poseen momento del dipolo eléctrico permanente en ausencia de un campo eléctrico se denominan moléculas polares (el agua).

50 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA La diferencia de potencial V o y el campo eléctrico externo E o se reducen un factor k veces cuando se introduce un dieléctrico en el capacitor V o / k = V y E o / k = E. Esta relación puede comprenderse advirtiendo que es posible que un dieléctrico este polarizado. Cuando se aplica un campo eléctrico externo E o se ejerce un momento de torsión sobre los dipolos, lo que origina que estos queden parcialmente alineados con el campo. El grado de alineamiento aumenta con la reducción de la temperatura y con el aumento de la intensidad del campo eléctrico EoEo EiEi

51 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Si las moléculas del dipolo eléctrico no poseen un momento del dipolo permanente un campo eléctrico externo E o produce cierta separación de carga y un momento de dipolo inducido EoEo EiEi

52 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Los dipolos alineados parcialmente producen un campo eléctrico interno E i que se opone al campo externo E o causando una reducción en el campo eléctrico neto E = E o - E i EoEo EiEi

53 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA EoEo EiEi El campo eléctrico externo E o en el capacitor esta dirigido hacia la derecha y ejerce fuerzas sobre las moléculas del material dieléctrico, bajo la influencia de estas fuerzas, los electrones en el dieléctrico se mueven desde sus posiciones de equilibrio hacia la izquierda.

54 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA EoEo EiEi Por tanto el campo eléctrico aplicado polariza el dieléctrico.

55 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA EoEo EiEi i i El campo eléctrico externo E o y el campo eléctrico inducido E i se relacionan con la densidad superficial de carga como, E o = / y E i = i / puesto que el campo E con dieléctrico es E = E o / k,

56 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA EoEo EiEi i i entonces, el campo neto, E = E o – E i ; (E o /k) = E o – E i, por tanto, E i = E o (1 – 1/k) i / = / (1 k) la densidad superficial de carga inducida es i = (1 k)

57 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA El área de unas placas paralelas es de 1000 cm 2 y tienen una separación de 2 cm. La diferencia de potencial inicial entre ellas sin dieléctrico es V o = 2000 voltios y disminuye hasta V = 500 voltios cuando se inserta una lamina de dieléctrico entre las mismas. Encuentre: A = 0.1 m 2, d = 2*10 -2 m. V o = 2000 V, V = 500 V, a) La capacitancia inicial: C o = ( 0 *A / d) = 44.21* F b) La carga Q de cada placa: Q o = Q = C o V o = 88.42*10 -9 C c) La capacitancia: C después de insertar el dieléctrico: C = Q / V = * F d) La constante dieléctrica: k = C / C o = V o / V = 4 Ejemplo 4.19

58 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA e) la permisividad: = k 0 = 35.37* C 2 /(Nm 2 ) f) la carga inducida en cada cara del dieléctrico: Como i = (1 k), pero, i = Q i /A y = Q/A, entonces, Q i /A = Q/A(1 -1/k), cancelando, Q i = Q(1 -1/k)= 66.32*10 -9 C g) El campo eléctrico sin dieléctrico E o y con dieléctrico E E o = V o / d = 1*10 5 V/m y E = V/d = V/m El área de unas placas paralelas es de 1000 cm 2 y tienen una separación de 2 cm. La diferencia de potencial inicial entre ellas sin dieléctrico es V o = 2000 voltios y disminuye hasta V = 500 voltios cuando se inserta una lamina de dieléctrico entre las mismas. Encuentre:

59 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 4.11 Dipolo eléctrico en un campo eléctrico P 2a + - Un dipolo eléctrico consta de dos cargas iguales y opuestas separadas una distancia 2a Se define el momento del dipolo eléctrico de esta configuración como el vector P que esta dirigido de –Q a +Q a lo largo de la línea que une las cargas, y cuya magnitud es 2aQ (P = 2aQ) Supongamos que se coloca el dipolo eléctrico en un campo eléctrico uniforme

60 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Las fuerzas sobre las dos cargas son de igual magnitud (F = Q E) y de sentidos contrarios, por tanto, la fuerza neta sobre el dipolo es cero, las dos fuerzas producen un momento de torsión ( sobre el dipolo y este tiende a girar de modo tal que su eje se alinea con el campo El momento de torsión neto n = F+ + F- = 2 F b = 2 F (a Sen = 2 E Q a Sen n = (2aQ) E Sen = P E Sen Es conveniente expresar el momento de torsión en forma vectorial como el producto cruz de P y E El momento de torsión ( debido a una de las fuerza sobre la carga = F b donde b (b = a sen es el brazo de palanca de la fuerza, esta fuerza tiende a producir una rotación en la dirección de las manecillas del reloj. el momento del dipolo forma un ángulo con el campo. b b = P E a a + - F- F+ E

61 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Como la fuerza electrostática es conservativa el trabajo realizado por el campo eléctrico al girar el dipolo un ángulo W = d = PE Sen d = PE Sen d varia entre y entonces, W = PE (Cos – Cos )

62 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Puesto que el trabajo realizado por el agente que produce el campo externo es; W = - U = -{U( ) - U( )} = - PE (Cos – Cos ) Si U( ) = 0 entonces U = -PE Cos = -P E Así la energía U es mínima cuando cuando P i E son paralelos.

63 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un dipolo eléctrico, que consta de dos cargas de 2 nC de diferente signo están separadas 10 mm dentro de un campo eléctrico uniforme de 1000 N/C. a) ¿cuál es la magnitud del momento dipolar eléctrico?. b) ¿cuál es la diferencia de energía potencial correspondiente a las orientaciones paralela y antiparalela del campo. Ejemplo 4.20 a) P = Qd = 2*10 -9 C * 10 *10 -3 m = 2 * C-m b) W = - U = -{U( ) - U( )} = - PE (Cos – Cos ) W = - U = - PE (Cos0 – Cos 180) - U = -4 *10 -8 J

64 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Michael Faraday ( ) físico y químico británico, hijo de un herrero, recibió poca formación académica y es conocido principalmente por sus descubrimientos de la inducción electromagnética, de las leyes de la electrólisis, también demostró que en un recinto metálico (caja o jaula de Faraday) forma una pantalla eléctrica Mientras trabajaba de aprendiz con un encuadernador de Londres, leyó libros de temas científicos y realizó experimentos en el campo de la electricidad. En 1812 asistió a una serie de conferencias impartidas por el químico Humphry Davy y envió a éste las notas que tomó en esas conferencias junto con una petición de empleo. Davy le contrató como ayudante en su laboratorio químico de la Institución Real y en 1813 le llevó con él a un largo viaje por Europa. En 1833 sucedió a Davy como profesor de química en esta Institución. Dos años más tarde le fue concedida una pensión vitalicia de 300 libras anuales. Faraday recibió numerosos galardones científicos. Realizó sus primeras investigaciones en el campo de la química bajo la dirección de Davy. Un estudio sobre el cloro le llevó al descubrimiento de dos nuevos cloruros de carbono. También descubrió el benceno. Faraday investigó nuevas variedades de vidrio óptico y llevó a cabo con éxito una serie de experimentos de licuefacción de gases comunes. Sin embargo, las investigaciones que convirtieron a Faraday en el primer científico experimental de su época las realizó en los campos de la electricidad y el magnetismo. Sus experimentos en magnetismo le llevaron a dos descubrimientos de gran importancia. Uno fue la existencia del diamagnetismo y el otro fue comprobar que un campo magnético tiene fuerza para girar el plano de luz polarizada que pasa a través de ciertos tipos de cristal Faraday entró en la Sociedad Real en 1824 y al año siguiente fue nombrado director del laboratorio de la Institución Real. Además de muchos artículos para publicaciones especializadas, Faraday escribió Manipulación química (1827), Investigaciones experimentales en electricidad ( ) e Investigaciones experimentales en física y química (1859). Murió el 25 de agosto de 1867, cerca de Hampton Court (Surrey). En 1821 trazó el campo magnético alrededor de un conductor por el que circula una corriente eléctrica (la existencia del campo magnético había sido observada por vez primera por el físico danés Hans Christian Oersted en 1819). En 1831 Faraday descubrió la inducción electromagnética, y el mismo año demostró la inducción de una corriente eléctrica por otra. Durante este mismo periodo investigó los fenómenos de la electrólisis y descubrió dos leyes fundamentales: que la masa de una sustancia depositada por una corriente eléctrica en una electrólisis es proporcional a la cantidad de electricidad que pasa por el electrolito, y que las cantidades de sustancias electrolíticas depositadas por la acción de una misma cantidad de electricidad son proporcionales a las masas equivalentes de las sustancias. Michael Faraday

65 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 4.12 Auto- evaluación

66 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA En un capacitor de placas cuadradas y paralelas, las placas están separadas una distancia de 0.8 mm; cada placa tiene una carga 60 nC de diferente signo y entre ellas hay un campo eléctrico de 3*10 4 V/m. Encuentre a) la diferencia de potencial; b) la capacitancia; c) el área de las placas; d) ¿cuál es el lado de la placa.? Ejercicio 4.1 R) a) V = 24 V b) Q = 2.5 nF c) A = cm 2 d) L = 47.6 cm

67 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un cable coaxial recto y largo tiene un alambre interior de radio a = 1 mm y una cubierta exterior de radio b, Cuando se aplica una diferencia de potencial de 27 voltios, la densidad de carga ( ) sobre el alambre interior es de 4 nC/m 2. ¿cuánto vale el radio exterior) Ejercicio 4.2 R) b = 1.45 mm

68 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Una batería de 12 V se conecta entre dos esferas concéntricas de un capacitor esférico. Los radios de las esferas son de 15 y 20 cm ¿cuál es la carga sobre cada una de ellas? Ejercicio 4.3 R) Q = 800 * F

69 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Se tienen seis capacitores y una batería de 100 V como aparece en la figura. Encuentre la carga y la diferencia de potencial en cada capacitor Ejercicio F F F F F F 100 V F F F F F F 100 V 100 C 50V 100 C 25V 100 C 8.33V 16.67V C 16.67V C 16.67V C Repuesta

70 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un capacitor C 1 = 4 F se conecta a una batería de 20 V. La batería se desconecta, un capacitor C 2 de 6 F se coloca de tal forma que las placas del mismo signo se unan ¿cuál es la diferencia de potencial final en cada capacitor? Ejercicio 4.5 R) V 1f = 8 V y V 2f = 8 V

71 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Dos capacitores C 1 de 3 F y C 2 de 6 F están conectados en serie con una batería de 30 voltios. La batería se desconecta y las placas del mismo signo se unen. a) Encuentre la diferencia de potencial en cada capacitor antes y después que se conectan en paralelo y b) ¿cuál es la variación de la energía? Ejercicio 4.6 R) a) V i1 = 20 V ; V i2 = 10 V b) U= J

72 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Las placas de un capacitor de placas paralelas están separadas 1 mm. ¿para que diferencia de potencial la densidad de la energía será 1.8 *10 -4 J/m 3 ? Ejercicio 4.7 R) V = 6.83 V

73 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un capacitor de placas paralelas lleno de aire tiene una capacitancia de 1.32 PF, la separación de las placas se duplica y entre ellas se inserta cera. La nueva capacitancia es de 2.57 PF. Determine la constante dieléctrica de la cera Ejercicio 4.8 R) k = 3.89

74 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Consideremos que tenemos un capacitor de placas paralelas de área A y separadas una distancia d, introducimos en paralelo dos dieléctricos de constante dieléctrica k 1 y k 2, cada uno de estos ocupan una área A/2 y una distancia d/2, se introduce luego un tercer dieléctrico de constante dieléctrica k 3 en serie con los anteriores y llena por completo el capacitor. Ejercicio 4.9 R) a) C e = (2 0 *A / d)*((k 1 + k 2 ) k 3 ) / (k 1 + k 2 + 2k 3 ) y b) C e = 1.67 PF a) ¿cuál es la nueva capacitancia del capacitor ? b) Si un dieléctrico es vidrio pyrex de constante dieléctrica k 1 = 5.6, el otro dieléctrico es teflón de constante dieléctrica k 2 = 2.1, el tercero es papel de constante dieléctrica 3.7, el área de las placas de 10 cm 2 y la separación entre las placas es de 2 cm ¿cuál es la capacitancia del capacitor?

75 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA Un dipolo eléctrico, que consta de dos cargas de 5 nC de diferente signo están separadas 20 mm dentro de un campo eléctrico uniforme de 500 N/C. a) ¿cuál es la magnitud del momento dipolar eléctrico?. b) ¿cuál es la diferencia de energía potencial correspondiente a las orientaciones paralela y antiparalela del campo?. Ejercicio 4.10 R) a) P = 100 * Cm y b) W = U = 1 *10 -7 J

76 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 4.13 Solucionarlo

77 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 4.1 a) La diferencia de potencial; V = Ed = 24 V b) La capacitancia; Q = VC, entonces, C = Q/V = 2.5 nF c) el área, como C = 0 *A / d, entonces, A= C*d / 0 = m 2 2 = cm 2 d) Como la placas es cuadrada; A = L 2, entonces, L = A = 47.6 cm d

78 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 4.2 Como la capacitancia de un capacitor cilíndrico es: C = 2 L / Ln(b /a) = Q / V 2 / Ln (b /a) = (Q/L) / V = V V(2 ) / = Ln(b/a) ; exp(V (2 ) / ) = b / a por tanto: b = a exp(V (2 ) / ) = 1.45 mm a -Q b +Q C = 2 L / Ln (b /a)

79 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 4.3 Como la capacitancia de un capacitor esférico es: C = {a*b / (K (b – a)) = Q / V, entonces, Q = V (a*b / (K (b – a))) = 800 PF = 800 * F a +Q b -Q C = a*b / (K (b – a))

80 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S F F F F F F 100 V

81 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F F F F F F 100 V

82 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F F 100 V

83 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F 100 V 100 V 100 C

84 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F F 100 V 100 C 16.67V 100 C 83.33V

85 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA F F F F F F 100 V 100 C 50V 100 C 25V 100 C 8.33V 16.67V C 16.67V C 16.67V C

86 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 4.5 La carga inicial Q 1i = VC 1 = 80 C C1C1 C2C2

87 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA C1C1 C2C2 Cuando el capacitar C 1 se desconecta de la batería y se une en paralelo al capacitar C 2 que se encuentra descargado se produce una redistribución de carga, el C 1 da parte de su carga (Q 1i ) a C 2, sea Q 2 la carga que recibe C 2. Como en paralelo los voltajes son idénticos para cada capacitor V 1 = V 2, entonces, (Q 1i – Q 2 ) / C 1 = Q 2 / C 2 Q 2 = Q 1 C 2 / (C 1 + C 2 ) = 48 C, como, V 1 = (Q 1i – Q 2 ) / C 1 = 8 V V 2 = Q 2 / C 2 = 8 V

88 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S F6 F 30V La capacitancia equivalente; C e = C 1 C 2 / (C 1 + C 2 ) = 2 F la carga; Q t = C e V = 60 C La energía; U t = ½Q t 2 / C e = 900 J En serie la carga es la misma para cada capacitor entonces Q i1 = Q i2 = Q t = 60 C, Los voltajes son; V i1 = Q i1 / C 1 = 20 V ; V i2 = Q i2 / C 2 = 10 V V = V i1 + V i2 = 30 V La energía en cada capacitor es U i1 = ½Q i1 2 / C 1 = 600 J ; U i2 = ½Q i2 2 / C 2 = 300 J U t = U i1 + U i2 = 900 J 2 F 30V

89 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA 3 F 6 F En paralelo el capacitor de mayor capacitancia adquiere mayor carga, por tanto, C 1 tiene que cederle una cantidad de carga (Q) a C 2 y los dos capacitores quedan al mismo voltaje V 1f = V 2f. (Q t – Q) / C 1 = (Q t – Q) / C 2, entonces, Q = Q t (C 2 – C 1 ) / (C 2 + C 1 ) = 20 C, por tanto, Q 1f = (Q t – Q) = 40 C ; Q 2f = (Q t + Q) = 80 C V 1f = Q 1f / C 1 = V ; V 2f = Q 2f / C 2 = V U 1f = ½V 1f 2 C 1 = J y U 2f = ½V 2f 2 C 2 = J U f = U 1f + U 2f = J La variación de la energía; U = U i U f = ( ) J U = J

90 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 4.7 La densidad de energía en la unidad de volumen es U E = ½ 2, entonces, E = (2 U E / ) = V/m, como, V = Ed = d (2U/ ) = 6.83 V

91 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 4.8 La capacitancia del capacitor con aire es; C o = 0 *A / d La capacitancia del capacitor con dieléctrico es; C = k* 0 *A / (2d) dividiendo las dos ecuaciones C o / C =( 0 *A/d) / {k* 0 *A / (2d)}, entonces, C o / C = 2 /k, por tanto, k = 2C / C o = 3.89

92 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 4.9 k2k2 d A k1k1 k3k3 C 1 = k 1 ( 0 *A/2) / (d/2) ; C 2 = k 2 ( 0 *A/2) / (d/2) C 3 = k 3 ( 0 *A) / (d/2) = k *A / d C 12 = k 1 ( 0 *A/2) / (d/2) + k 2 ( 0 *A/2) / (d/2) C 12 = ( 0 *A / d) * (k 1 + k 2 ) C e = {( 0 *A / d)(k 1 + k 2 ) * k *A / d } / {( 0 *A / d)(k 1 + k 2 ) + k *A / d } C e = (2 0 *A / d)*((k 1 + k 2 ) k 3 ) / (k 1 + k 2 + 2k 3 ) = 1.67 PF

93 Luis F Millán BU. AUTONOMA DE COLOMBIA S 10 a) P = Qd = 5 *10 -9 C * 20E-3 m = 100 * C-m b) W = - U = -{U( ) - U( )} = - PE (Cos – Cos ) W = - U = - PE (Cos 0 – Cos 180) W = - U = -1 *10 -7 J


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