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FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO. Campo Magnético creado por una carga puntual en movimiento Corrientes eléctricas, Ley de Biot y Savart Ley de Gauss para el.

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1 FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO

2 Campo Magnético creado por una carga puntual en movimiento Corrientes eléctricas, Ley de Biot y Savart Ley de Gauss para el magnetismo Ley de Ampere FUENTES DE CAMPO MAGNÉTICO

3 CARGA PUNTUAL EN MOVIMIENTO Cuando una carga puntual q se mueve con velocidad v se produce un campo magnético B en el espacio

4 CARGAS EN MOVIMIENTO El campo magnético B en cualquier punto está dado por B = qv x r r = 4 x 10 T m/A = 4 x 10 N/A -72 Con 0 la constante de permeabilidad en el vacío

5 CARGAS EN MOVIMIENTO Ejercicio Una carga puntual q = 4.5 nC se mueve con velocidad v = 3.6 x 10 m/s i paralelamente al eje X a lo largo de la recta y = 3m. Determinar el campo magnético producido en el origen por esta carga cuando se encuentra en el punto x = -4m, y = 3m. 3 Respuesta B = x 10 T k

6 LEY DE BIOT Y SAVART

7 LEY DE BIOT Y SAVART Cuando se tiene un conjunto de cargas (corriente) a través de un elemento conductor, se genera también un campo magnético B

8 LEY DE BIOT Y SAVART En este caso B depende del elemento de corriente I dl dB = Idl x r r B = Idl x r r 0 4 2

9 LEY DE BIOT Y SAVART En función de la densidad de campo magnético, H, se escribe dH = Idl x r 4 r 2 De donde B = 0 H

10 LEY DE BIOT Y SAVART B debido a la corriente en una espira de radio R. r X Y R dB = Idl x r r |dl x r |= dl |r| sen |dl x r | = dl Con r = 1 y = 90 ° y sen 90°= 1

11 LEY DE BIOT Y SAVART Así: dB = Idl R B = dB = dl I R dl = R d = 2 R 2 0 Evaluando la integral en coordenadas polares resulta:

12 LEY DE BIOT Y SAVART De donde: B = = I2 R R I 2R

13 LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Hallar la corriente en una espira circular de 8 cm de radio que pueda crear un campo magnético de 2G en el centro de la espira. Respuesta I = 25.5 A.

14 LEY DE BIOT Y SAVART Para un punto P fuera de la espira |dB| = = I|dl x r| r Idl x + R 2 Las componentes en el eje Y se cancelaran para cada par de puntos opuestos en el circulo, así: B y = 0

15 LEY DE BIOT Y SAVART Colocando el punto en el eje X (la espira en YZ) |dB| = = I|dl x r| r Idl x + R 2 Con, dl y r perpendiculares y 2 r = x + R 2 2 dB x = dB sen = 0 4 sen = = R 2 [x + R ] 2 R r 1/2 R 2 [x + R ] 2 1/2 Idl 2 x + R 2

16 LEY DE BIOT Y SAVART Así, el campo resultante será: B x = dB x = = dl 0 4 RIdl 2 [x + R ] 2 3/2 0 4 RI 2 [x + R ] 2 3/2 dl = R d = 2 R 2 0 Con: Se tiene: B x = 2 R = 0 4 RI 2 [x + R ] 2 3/2 0 2 R I 2 [x + R ] 2 3/2 2

17 LEY DE BIOT Y SAVART En función del momento magnético de la espira A una distancia muy grande de la espira x>>R la expresión se reduce a: B x = [x + R ] 2 3/2 2 = I R B x = | x | 3

18 LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Una bobina circular de radio 5.0 cm tiene 12 vueltas y se encuentra en el plano YZ. Por ella circula una corriente de 4 A en un sentido tal que el momento magnético de la espira está dirigido a lo largo del eje X. Determinar el campo magnético sobre el eje X en (a) x = 0, (b) x = 15 cm y (c) x = 3 m. Respuesta I = 25.5 A.

19 LEY DE BIOT Y SAVART Respuesta: a) B x = = 6.03 x 10 T 0 NI 2R -4 b) B x = = 1.91 x 10 T 0 2 R NI 2 [x + R ] 2 3/ c) B x = = 2.8 x 10 T N | x | 3

20 LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Una pequeña barra magnética de momento magnético = 0.03 A m se sitúa en el centro de la bobina del ejercicio anterior modo que su momento magnético se encuentra en el plano XY y forma un ángulo de 30° con el eje X. Despreciando cualquier variación de B en la región ocupada por el imán calcular la torca ejercida sobre el imán. Respuesta = x 10 Nm k. 2 -6

21 LEY DE BIOT Y SAVART B debido a la corriente en un solenoide

22 LEY DE BIOT Y SAVART Considérese un solenoide de longitud L formado por N vueltas de cable conductor que transporta una corriente de intensidad I. Colocando el eje del solenoide en X X Y dxx x1x1 x0x0

23 LEY DE BIOT Y SAVART Tomando el número de vueltas por unidad de longitud como el elemento diferencial de corriente será: X Y dxx x1x1 x0x0 L n = N/L x di = nIdx

24 LEY DE BIOT Y SAVART El campo magnético en un punto sobre el eje X por una espira colocada en el origen será: dB x = R nIdx 2 [x + R ] 2 3/2 2 Para el solenoide completo B x = 2 R nI dx 2 [x + R ] 2 3/2 x0x0 x1x1

25 LEY DE BIOT Y SAVART Así B x = 2 R nI x 1/2 x0x0 x1x1 2 R [x + R ] 22 B x = 0 nI [ + ] 1 2 x1x1 1/2 2 [x 1 + R ] 2 x0x0 1/2 2 [x 0 + R ] 2 B x = 0 nI Si L>>R Para un solenoide largo con n vueltas

26 LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Determinar el campo magnético en el centro de un solenoide de longitud 20 cm, radio 1.4 cm y 600 vueltas, por el que circula una corriente de intensidad 4 A. Respuesta B = 1.5 x 10 T -2

27 LEY DE BIOT Y SAVART B debido a la corriente en un conductor rectilíneo

28 LEY DE BIOT Y SAVART B debido a la corriente en un conductor rectilíneo dB = sen Idx r dB = cos Idx r 0 4 2

29 LEY DE BIOT Y SAVART De la figura x = y tan y sec = r/y dx = y sec d = y d y 2 r 2 2 dx = d y r 2

30 LEY DE BIOT Y SAVART Así, para un segmento del conductor, con y = R : dB = cos cos d I r R r d 2 I 0 4 B = cos d I B = (sen 1 - sen 0 ) I 0 4 R R R

31 LEY DE BIOT Y SAVART Así, para el conductor completo, con 0 = -90° y 1 = + 90° : B = 2I 0 4 R

32 LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Determinar el campo magnético en el centro de una espira de corriente cuadrada de lado L = 50cm por la cual circula una corriente de intensidad 1.5 A Solución Para cada lado de la espira B L = (sen 1 - sen 0 ) 2I 0 4 R B L = (sen 45°- sen (-45°)) I 0 4 L/2

33 LEY DE BIOT Y SAVART Y, para la espira completa: B = 4B L = 4B L = 3.39 x 10 T -6

34 LEY DE BIOT Y SAVART F entre dos conductores paralelos

35 LEY DE BIOT Y SAVART F entre dos conductores paralelos

36 LEY DE BIOT Y SAVART El módulo de la fuerza magnética sobre el segmento I 2 dl 2 es dF 2 = |Idl 2 x B 1 | dF 2 = I 2 dl 2 B 1 Si la distancia de separación entre los conductores a, es mucho menor que la longitud l, el campo es igual que el generado por un conductor infinitamente largo dF 2 = I 2 dl 2 0 I 1 2 R

37 LEY DE BIOT Y SAVART La fuerza por unidad de longitud es = I 2 = 2 0 I 1 2 a dF 2 dl 2 I 1 I 2 a 0 4 F 2 = LI 1 I 2 a 0 2

38 LEY DE BIOT Y SAVART Ejercicio Dos barras rectilíneas de 50 cm y separadas 1.5 mm en una balanza de corriente transportan corrientes de 1.5 A de intensidad en direcciones opuestas. ¿Qué masa debe situarse en la barra superior para equilibrar la fuerza magnética de repulsión? Respuesta m = 1.53 x 10 g -3

39 LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO Flujo de campo magnético a través de una superficie gaussiana

40 LEY DE GAUSS PARA EL MAGNETISMO El flujo magnético a través de una superficie cerrada es m = B n dA = 0 S

41 LEY DE AMPERE El campo magnético B en un contorno cerrado C es proporcional a la corriente que atraviesa la superficie S limitada por C C B S

42 LEY DE AMPERE C B S B dl = 0 I C C

43 LEY DE AMPERE Para un alambre largo y recto S C

44 LEY DE AMPERE S C B dl = B dl = B 2 R C C

45 LEY DE AMPERE Para un alambre largo y recto B 2 R = 0 I C De donde B = 0 I 1 2 R

46 LEY DE AMPERE Para un solenoide B dl = B dl = B dl = B dl = B dl CC1C1 C2C2 C3C3 C4C4 B L = 0 nLI B = 0 nI

47 LEY DE AMPERE w w Para un Toroide

48 B debido a la corriente en un toroide LEY DE AMPERE

49 Un toroide puede considerarse como un solenoide que se dobla formando una dona. Las líneas del campo magnético forman círculos concéntricos dentro del toroide LEY DE AMPERE B dl = B2 r = 0 I C C

50 Si a y b son los radios interior y exterior del toroide, la corriente total a través de la superficie limitada por un círculo de radio r entre a y b será NI LEY DE AMPERE B2 r = 0 NI B = 0 NI 2 r


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