@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.1 INTEGRALES U.D. 10 * 2º BCS.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.1 INTEGRALES U.D. 10 * 2º BCS

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.2 CÁLCULO DE ÁREAS U.D. 10.7 * 2º BCS

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.3 Si una función f(x) está definida en un intervalo cerrado [a,b] y es: Continua en [a,b] Toma valores de distinto signo en a y en b Entonces: Existe al menos un punto c del intervalo abierto (a,b) tal que f(c)=0 El cumplimiento de este teorema es importantísimo, por ejemplo, para calcular áreas mediante integración de funciones que cumplen con las premisas del Teorema de Bolzano a c b f(b) >0 f(a) <0 f(c) =0 y=f(x) x y Nota: Ya se utilizaba para factorizar funciones polinómicas ( que son siempre continuas en todo R ), por Rufinni, cuando alguna de las raíces no era entera. TEOREMA DE BOLZANO

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.4 ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA EJEMPLO_1 Hallar el área que forma la función y = x + 2 con el eje de abscisas entre x=1 y x=2 2 Área = ∫ x+2 dx = 1 2 2 = ∫ x dx + ∫ 2 dx = 1 1 2 2 = [x 2 / 2] + [2.x] = [2 – 0,5]+[4 – 2] = 1 1 = 1,50 + 2 = 3,50 u 2. 0 1 2 X y = x + 2 4 1 Y

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.5 ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA Una de las principales utilidades de la integral definida es el cálculo de áreas de cualquier tipo de curva, sin más que poder extraer de la misma una función primitiva. EJEMPLO_2 Hallar el área que forma la función y = x 2 con el eje de abscisas entre x=1 y x=2 2 2 1 3 2 Área = ∫ x dx = [ --- x ] = 1 3 1 = 8/3 - 1/3 = 7/3 u 2 0 1 2 X y = x 2 4 1 Y

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.6 EJEMPLO_3 Hallar el área que forma la función y = x 3 – x con el eje de abscisas entre x=0 y x=1 1 Área = ∫ x 3 – x dx = 0 1 = [ x 4 / 4 – x 2 / 2 ] = 0 = [ 1/ 4 – 1 / 2 ] = – 1/ 4 Al estar el área pedida por debajo del eje OX, su valor es negativo. Área = 1 / 4 = 0,25 u 2 0 0,57 1 X y = x 3 - x -0,4 Y

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.7 EJEMPLO_4 Hallar el área que forma la función y = x 3 – x con el eje de abscisas entre x = -1 y x = 2 0 A1 = ∫ x 3 – x dx = -1 0 = [ x 4 / 4 – x 2 / 2 ] = - ¼ + ½ = ¼ 1 A2 =| ∫ x 3 – x dx |= ¼ 0 2 A3 = ∫ x 3 – x dx = 1 2 = [ x 4 / 4 – x 2 / 2 ] = (4 – 2) – (¼ - ½) = 9/4 1 Área total = 0,25+0,25+2,25 = 2,75 u 2 -1 0 0,57 1 2 X y = x 3 - x -0,4 Y A1(+) A2(-) A3(+)

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.8 EJEMPLO_4 Hallar el área que forma la función y = x 2 con el eje OX entre x= -1 y x = 2 2 Área = ∫ (x 2 + 1) dx = -1 2 = [ x 3 / 3 + x ] = -1 = [8/3 + 2 – ( – 1/3 – ( – 1))] = = 8/3 + 2 + 1/3 +1 = = 6 u 2 - 1 0 1 2 X y = x 2 + 1 2 Y

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.9 0 1 2 3 X EJEMPLO_5 Hallar el área que forma la función y = e x con el eje OX, entre x = 1 y x= 3. Resolución 3 Área = ∫ e x dx = 1 3 = [ e x ] = 1 = e 3 – e 1 = = 20,0855 – 2,7182 = = 17,3673 u 2 y = e x 1 Y

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.10 EJEMPLO_6 Hallar el área que forma la función x 3 + 2, si x < 0 f(x) = 2, si 0 ≤ x ≤ 2 – x 2 + 3.x, si x > 2 con el eje de abscisas entre x= – 1 y x=3 Preliminares La función debe ser continua en el intervalo [-1, 3] Calculamos su continuidad en los puntos críticos: En x=-1 la función existe y es continua al coincidir sus límites laterales. En x=3 la función existe y es continua al coincidir sus límites laterales. En [-1, 0] y en [2, 3] las funciones son continuas al ser polinómicas ambas Dibujamos la función Las tres zonas del área son positivas y = x 3 +2 y = 2 y = – x 2 + 3.x

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 2º Bachillerato C.S.11 Resolución EJEMPLO_6 Teníamos la funciónx 3 + 2, si x < 0 f(x) = 2, si 0 ≤ x ≤ 2 – x 2 + 3.x, si x > 2 Nos piden el área entre x= – 1 y x=3 0 0 A1 = ∫ x 3 + 2 dx = [ x 4 / 4 + 2.x ] = -1 -1 A1 = 0 – ( ¼ – 2) = 1’75 2 2 A2 = ∫ 2 dx = [2.x] = 4 – 0 = 4 0 0 3 3 A3 = ∫ – x 2 + 3.x dx = [– x 3 / 3 + 3.x 2 / 2 ] = 2 2 = (– 27/3 + 27/2) – (–8/3 + 12/2) = = (– 9 + 13,5 ) – (–2,66 + 6) = = 16,16 – 15 = 1,16 Área total = 1,75 + 4 + 1,1666 = 6,9166 u 2 y = x 3 +2 y = 2 y = – x 2 + 3.x A1 A2 A3