@ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 INTEGRALES PACFGS * TEMA 130.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS1 INTEGRALES PACFGS * TEMA 130

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS2 TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(x)≥0, y F está definida en dicho intervalo de forma que mide el área sombreada; entonces la función F es derivable y verifica que F’(x) = f(x) para cualquier x de [a, b]. 0 a b X Y F(x) f(x)

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS3 Tiempo Potencia Área bajo la curva = Energía consumida Potencia = f (Tiempo)

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS4 Tiempo Velocidad Área bajo la curva = Espacio recorrido por el móvil Velocidad = f (Tiempo)

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS5 Tiempo Área entre las curvas = Aumento de población Indice de natalidad = f (Tiempo) Indice de mortalidad = f (Tiempo) 1

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS6 Gráfico de Riemann Sea f una función creciente en un intervalo centrado en x. Hay que probar que: F(x+h) – F(x) F ’(x) = lím -------------------- = f (x) h  0 h F(x+h) – F(x) medirá el área de la región indicada en verde. La altura será f(x) y la anchura será h. Tendremos: h.f(x) ≤ F(x+h) – F(x) ≤ h.f(x+h) Cuando h  0, el límite nos dará f(x) : F(x+h) – F(x) f(x) ≤ lím -------------- ≤ f(x) h  0 h Por lo tanto F’(x) = f(x). 0 a x x+h b X F(x) f(x)

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS7 Cálculo de áreas Si f es continua en el intervalo [a,b] y f(x)≥0, el área de la región limitada por el eje horizontal, la gráfica de f y las rectas verticales x=a y x = b es igual al número G(b) – G(a), donde G es cualquier función cuya derivada sea f. F(x) y G(x) no tienen por qué ser iguales, pero sí debe ocurrir que: F(x) – G(x) sea constante, pues deben tener la misma derivada, f(x). Se cumple que F(a) – G(a) = F(b) – G(b) Y como F(a) = 0, al quedar el área reducido a un segmento vertical, tenemos: F(b) = G(b) – G(a) Área sombreada = G(b) – G(a) Además de áreas se pueden calcular volúmenes, longitudes, etc. 0 a b X F(x) f(x)

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS8 PRIMITIVAS DE UNA FUNCIÓN Hallar la función derivada de cada una de las siguientes funciones: F (x) = 1/4 x 4 ; G (x) = 1/4 x 4 + 7 ; H(x) = 1/4 x 4 – 5 El alumno habrá comprobado que las tres funciones: F (x), G (x) y H (x) tienen la misma función derivada: f (x) = x 3 Se dice que cada una de las funciones F(x),G(x) y H(x) es una primitiva de f(x). Definición: Si la función F(x) tiene como derivada la función f(x), se dice que F(x) es una primitiva de f (x). Para indicar que la función F(x) es una primitiva de la función f(x) escribiremos: F (x)= P [ f (x)] Para averiguar si una función F (x) es una primitiva de la función f (x) basta calcular la derivada de F(x): si existe y coincide con f(x), entonces F(x) es efectivamente una primitiva de f(x).

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS9 INTEGRAL INDEFINIDA Recordemos que si la función F (x) tiene como derivada la función f (x) entonces F (x) es una primitiva de f (x). Resultado que se interpreta en general así: La derivada de una primitiva de la función f (x) es la propia función f (x). Si F(x) es una primitiva de la función f(x), la función F(x) + C (suma de la función F(x) y de una constante C) es también una primitiva de f (x). El conjunto de todas las primitivas de la función f (x) se designa por  f(x) dx y se llama integral indefinida de f (x). Es decir:  f (x) dx = F (x) + C = conjunto de todas las primitivas de f (x). Para poder calcular las áreas y demás aplicaciones vistas en el apartado anterior, habrá que hallar la integral indefinida de una función.

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS10 I. INDEFINIDA DE f POTENCIAL La derivada de la función potencial f(x)=a.x n es f ' (x)= a. n. x n-1 En efecto, sea la función f(x) =7 x 4 ; su derivada f ’(x) =7. 4. x 3 ¿Cómo llegar de f ’(x) a f(x)? 4 28 28 28 f(x) =P[ 28. x 3 ] = P[ 28.--- x 3 ] = ---- P[ 4. x 3 ] = ---- x 4 = ------ x 3+1 4 4 4 3 +1 Vemos pues que para llegar a la primitiva de una función potencial, el exponente aumenta en una unidad y el número que lo acompaña (constante) queda multiplicado por la potencia que tenía más una unidad a En general:  a. x n dx = -------- x n+1 + C n+1

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS11 INTEGRALES INMEDIATAS A semejanza del cálculo de derivadas, es muy necesario para conseguir rapidez y destreza en el cálculo de integrales, conocer el resultado de algunas integrales muy sencillas y elementales llamadas INMEDIATAS. Ejemplos 1.-Sabemos que si f(x) = 5.x  f ’ (x) = 5 Luego, si F(x) = 5   5 dx = 5. x + C 2.-Sabemos que si f(x) = sen x  f ’ (x) = cos x Luego, si F(x) = cos x   cos x dx = sen x + C 3.-Sabemos que si f(x) = e x  f ’ (x) = e x Luego, siF(x) = e x   e x dx = e x + C 4.- Sabemos que si f(x) = √x  f ‘ (x) = 1 / 2.√x Luego, si F(x) = 1 / 2.√x   (1 / 2.√x) dx = √x + C

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas Acceso a CFGS12