@ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral1 INTEGRALES Tema 12.

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1 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral1 INTEGRALES Tema 12

2 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral2 CÁLCULO DE ÁREAS Tema 12.3 * 1º BCT

3 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral3 ÁREA DE UNA REGIÓN PLANA Una de las principales utilidades de la integral definida es el cálculo de áreas de cualquier tipo de curva, sin más que poder extraer de la misma una función primitiva. EJEMPLO_1 Hallar el área que forma la función y = x 2 con el eje de abscisas entre x=1 y x=2 2 2 1 3 2 Área = ∫ x dx = [ --- x ] = 1 3 1 = 8/3 - 1/3 = 7/3 u 2 0 1 2 X y = x 2 4 1 Y

4 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral4 EJEMPLO_2 Hallar el área que forma la función y = x 3 – x con el eje de abscisas entre x=0 y x=1 1 Área = ∫ x 3 – x dx = 0 1 = [ x 4 / 4 – x 2 / 2 ] = 0 = [ 1/ 4 – 1 / 2 ] = – 1/ 4 Al estar el área pedida por debajo del eje OX, su valor es negativo. Área = 1 / 4 = 0,25 u 2 0 0,57 1 X y = x 3 - x -0,4 Y

5 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral5 EJEMPLO_3 Hallar el área que forma la función y = x 3 – x con el eje de abscisas entre x = -1 y x = 2 0 A1 = ∫ x 3 – x dx = -1 0 = [ x 4 / 4 – x 2 / 2 ] = - ¼ + ½ = ¼ 1 A2 =| ∫ x 3 – x dx |= ¼ 0 2 A3 = ∫ x 3 – x dx = 1 2 = [ x 4 / 4 – x 2 / 2 ] = (4 – 2) – (¼ - ½) = 9/4 1 Área total = 0,25+0,25+2,25 = 2,75 u 2 -1 0 0,57 1 2 X y = x 3 - x -0,4 Y A1(+) A2(-) A3(+)

6 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral6 EJEMPLO_4 Hallar el área que forma la función y = e x con el eje de abscisas entre x=0 y x=1 El área pedida será: 1 Área = ∫ e x dx = 0 1 = [e x ] = e 1 – e 0 = 0 = (e – 1) u 2 0 1 X y = e x 1 Y

7 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral7 EJEMPLO_5 Hallar el área que forma la función y = ln x con el eje de abscisas entre x=0,5 y x = 1,5 Resolución Área = A1(-)+A2(+)= 1 Área =| ∫ lnx dx | + 0,5 1,5 + ∫ lnx dx = 1 1 1,5 = | [x.lnx – x] | + [x.lnx – x ] = 0,5 1 = |(1.ln 1 – 1) – (0,5.ln 0,5 – 0,5)| + + (1,5.ln 1,5 – 1,5) – (1.ln 1 – 1) = = |(– 1) – (– 0,8466)| + (– 0,8918 – (– 1))= = |– 0,1533| + 0,1082 = 0,2615 u 2 0 0,5 1 1,5 2 X y = ln x 1 Y

8 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral8 ÁREAS PLANAS ENTRE FUNCIONES EJEMPLO_1 Hallar el área que forman las funciones y = x e y = x 2 entre x=0 y x=1 Área = Área de y=x entre 0 y 1 menos Área y = x 2 entre 0 y 1 1 1 2 Área = ∫ x dx – ∫ x dx = 0 0 2 1 3 1 = [x / 2] – [x / 3] = 0 0 =1/2 – 1/3 = 1/6 u 2 0 1 X y = x 2 1 Y

9 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral9 EJEMPLO_1 Hallar el área que forman las funciones y = 2 x e y = x 2 Previo: Puntos de corte x = 2 es uno de ellos. x = – 0,5 es el otro Al ser todas las áreas positivas 2 2 Área = ∫ 2 x dx – ∫ x 2 dx = -0,5 -0,5 2 2 = [2 x /ln2] – [x 3 / 3] = -0,5 -0,5 = (5,7707 – 1,0201) – – (8/3 + 0,125/3) = = 4,7506 – 2,7083 = = 2,0423 u 2 0 1 2 X y = x 2 43214321 Y y = 2 x

10 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral10 EJEMPLO_3 Hallar el área que encierran las funciones y = x 3 – x e y = x Por el dibujo vemos que ambas funciones tienen simetría impar. Las áreas A1 y A6 con iguales, aunque con distinto signo. Las áreas A2 y A5 son iguales, aunque con distinto signo. Las áreas A3 y A4 son iguales, aunque con distinto signo. El área A1 es diferencia de dos áreas. y = x 3 - x y = x Previos Calculamos el corte de ambas. Resulta el sistema: y = x 3 – x y = x Por igualación: x 3 – x = x  x 3 = 2.x x=0 es una solución. x 2 = 2  x = ±√2 son las otras dos -√2 -1 0 1 √2 A1 A2 A3 A4 A5 A6

11 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral11 Resolución -1 -1 -1 -1 A1 = ∫ x dx – ∫ x 3 – x dx = [ x 2 / 2 ] – [ x 4 / 4 – x 2 / 2 ] = – √2 – √2 – √2 – √2 = [ 1 / 2 – 2 / 2 ] – [ (1/4 – ½) – (4/4 – 2/2)] = – 0,5 – ( – 0,25)= – 0,25 0 0 A2 = ∫ x dx = [ x 2 / 2 ] = 0 – ½ = – 0,5 – 1 – 1 0 0 A3 = ∫ x 3 – x dx = [ x 4 / 4 – x 2 / 2 ] = 0 – (1/4 – ½) = 0,25 – 1 – 1 El área pedida será: A = 2.|A1| + 2.|A2|+2.A3 = 2.| – 0,25|+2.| – 0,5|+2.0,25 = 2 u 2

12 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral12 EJEMPLO_4 Hallar el área que envuelven las funciones y = ln x e y = x - 2 Resolución La intersección de ambas funciones son los puntos: ln x = x – 2  (0,16, -1,84) y (3,15, 1,15) De forma aproximada, con dos decimales. A = A1+A2+A3+A4 A1  Diferencia de áreas (ambas negativas) en (0,16, 1) A2  Originada por la función lineal, negativa, en (1, 2). A3  Originada por la función logaritmo, positiva, en (1, 2). A4  Diferencia de áreas (ambas positivas) en (2, 3,15) y = x – 2 0 1 2 3,15 X y = ln x 1 Y A1 A2 A3 A4

13 @ Angel Prieto BenitoIntroducción al cálculo integral13 Resolución 1 1 1 1 A1 = | ∫ x – 2 dx | – | ∫ lnx dx | = | [x 2 /2 – 2.x] | – | [x.lnx – x] | = 0,16 0,16 0,16 0,16 = | (1/2 – 2) – (0,0128 – 0,32) | – | (1.ln 1 – 1) – (0,16.ln 0,16 – 0,16)| = = |– 1,5 + 0,3072 | – | – 1 – (– 0,4532) | = 1,2928 – 0,5468 = 0,7460 u 2 2 2 A2 = | ∫ x –2 dx | = | [x 2 /2 – 2.x] | = |(2 – 4) – (1/2 – 2)| = | – 2 + 1,5 | = 0,5 u 2 1 1 2 2 A3 = ∫ lnx dx = [x.lnx – x] =(2.ln2 – 2) – (1.ln1 –1)= – 0,6137+1 = 0,3863 u 2 1 1 3,15 3,15 3,15 3,15 A4 = ∫ lnx dx – ∫ x – 2 dx = [x.lnx – x] – [x 2 /2 – 2.x] | = 2 2 2 2 = [(3,15.ln3,15 – 3,15) – (2.ln2 – 2)] – [(4,96 – 6,3) – (2 – 4)] = =(0,4643 +0,6137) – (– 1,34 + 2) = 1,087 – 0,66 = 0,427 u 2 Área = 0,7460 + 0,5000 + 0,3863 + 0,4270 = 2,0593 u 2