II. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD FENÓMENO O EXPERIMENTO ALEATORIO Es un proceso de medición u observación cualquiera, en la cual los resultados.

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1 II. INTRODUCCION A LA TEORIA DE LA PROBABILIDAD FENÓMENO O EXPERIMENTO ALEATORIO Es un proceso de medición u observación cualquiera, en la cual los resultados no se pueden predecir. Por ejemplos: Lanzamiento de una moneda y observar si es cara o sello. La fabricación de artículos buenos o defectuosos TIPOS DE EXPERIMENTOS: ALEATORIO DETERMINISTICO

2 EXPERIEMN ALEATORIO.- Cuando se tiene 2 o más resultados. EXPERIEMNTO DETERMINISTICO. – Cuando siempre se obtiene el mismo resultado. EJEMPLOS: Consideremos el rendimiento académico de un estudiante, los posibles resultados serán: Buen B,Regular R,Malo M Exp…………. Se lanza varias veces una monedas cargada, y se observa los resultados, el conjunto de resultados será: cara, cara, cara, ….. ( si está cargada al lado de la cara). La duración de un foco de luz: El foco dura 30 horas El foco dura 1500.5 horas El foco dura 1000 horas El experimento es………

3 ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio, y se denota por S el espacio muestral. Y a cada elemento se denomina punto muestral. Ejemplo: Se lanza un dado y se observa los posibles resultados.- El espacio muestral será: S= {1,2,3,4,5,6 }

4 NUMERO DE ELEMENTOS DEL ESPACIO MUESTRAL Esta dado por la siguiente fórmula S # = k n Donde: K : número de posibilidades n : número de veces que se repite el experimento Ejemplo. se lanza una moneda 3 veces, hallar el número de elementos o resultado del espacio muestral. Solución S #. = k n ; k = 2 cada moneda tiene dos posibilidades, cara o sello n = 3 porque son tres monedas S # = 2 3 = 8 elementos del espacio muestral

5 2.1. SUCESOS EVENTOS ALEATORIO 2.2.1 DEFINICION Es un posible resultado o una combinación de resultados de un experimento aleatorio y constituye un subconjunto del espacio muestral S. Ejemplo: Se lanza 3 monedas simultáneamente, el espacio muestral será: S # ={ccc,ccs,csc,scc,css,scs,ssc,sss } De este experimento se puede definir los sigts. eventos:

6 A: Obtener exactamente 3 sellos A={SSS} B: Obtener a lo más 2 sellos B={CCC,CSC,SCC,CCS, SSC,CSS,SCS} C: Obtener por lo menos 2 sello C={CSS, SCS, SSC, SSS} EVENTO SIMPLE.- Consta de un solo elemento, llamado también evento elemental, como en el caso A EVENTO COMPUESTO.- Está formado por más de un elemento o punto muestral, como B y C

7 EVENTO INCOMPATIBLE.- Se llama también mutuamente exclusivos, no pueden suceder al mismo tiempo. Ejem. Considere obtener un numero par e impar al tirar un solo dado una vez; si ocurre uno de estos eventos no es posible que el otro evento ocurra. EVENTOS COMPLEMENTARIOS.- Dos eventos son complementarios si los resultados que no están contenidos en uno están contenidos en el otro e vento.- En el ejemplo C.

8 PROBABILDAD DE UN EVENTO Es la relación lógica del numero de resultados que favorecen al evento A y todos los resultados posibles del espacio muestral S. P(A)= La probabilidad de un evento A, es un numero real P(A) de una función de conjunto que cumple las siguientes propiedades: 1) P(A) ≥ 0 2) P(S) = 1 3) Si A1, A2, ……An son eventos mutuamente excluyentes de S, entonces:

9 2.3 TEOREMAS A). P Para cualquier espacio muestral S B). Si A1 y A2 son eventos mutuamente excluyentes entonces C). Sean A 1 y A 2 dos eventos de un espacio muestral S talque A 1 A 2 entonces: P( A 1 ) P( A 2 )

10 D)Si A y A´ son sucesos complementarios del espacio muestral S entonces: P ( A` ) = 1 – P(A) E)P (S) = 1 luego : 0 ≤ P(A) ≤ 1 F)Sea A1 y A2 son eventos cualesquiera de S Entonces P si y solo si A 1 y A2 son complementarios entonces ≠ ≠

11 2.5 DEFINICIÓN CLASICA DE PROBABILIDAD Según Laplace, la probabilidad de un evento A esta dado por: P(A) = Ejemplo: En un Colegio Estatal el 30% de los profesores son de Tacna, el 10% son egresadas de la Universidad Nacional de San Marcos, el 1% son de Tacna y egresadas de San Marcos. Si se selecciona a lazar un profesor del Colegio Estatal ¿ Cuál es la probabilidad de que no sea de Tacna?. ¿ Cuál es la probabilidad que sea de Tacna o sea egresada de San Marcos ? ¿ Cuál es la probabilidad que no sea de Tacna ni egresada de San Marcos?

12 Solución P (T) = 0.30 P ( E SM) = 0.10 P (T  ESM) = 0.01 P (T´) = 1- P (T) = 1 – 0.30 = 0.70 P ( T  ESM) = P (T) +P (ESM) – P ( T  ESM) = 0.30 + 0.10 - 0.01= 0.39 P( T´  ESM´) = 1 - P(T  ESM) = 1 - 0.39 = 0.61

13 2.2.11 PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea A, un evento cualesquiera, talque la P(B)> 0 entonces La probabilidad condicional de A dado B, denotado P se define: Donde P es la probabilidad de ocurrencia de A dado que ha ocurrido B. P también se puede interpretar como la probabilidad de ocurrencia del evento A en el espacio muestral restringido a B. Análogamente P

14 Ejemplo: Un experimento consiste en extraer aleatoriamente 2 computadoras uno a uno sin reposición de un embarque que contiene 500 computadoras. Si se sabe que el 5% de estas computadoras son defectuosos ¿ Cuál es la probabilidad de extraer 2 computadoras defectuosas? Sea A = (Extraer dos computadoras defectuosas) = (Extraer una computadora defectuosa en la primera sacada y extraer otra computadora defectuosa en la segunda sacada) Sea A 1 (Extraer una computadora defectuosa en la 1ra. sacada) A 2 (Extraer una computadora defectuosa en la segúnda. sacada). P(A) = P Computadoras defectuosas: 5% de 500 = 0.05x 500 = 25 P

15 P= ( Extraer una computadora defectuosa en la segunda sacada dado que se extrajo una computadora defectuosa en la primera sacada). P P(A) =P = = 0.0024

16 2.2. 13 EVENTOS INDEPENDIENTES : DEFINICIÓN. A y B son eventos independientes o mutuamente independientes si solo si A es independiente de B (ó B es independiente de A) TEOREMA. Si A y B son independientes entonces P (A CONSECUENCIA. Sí A son independientes p

17 Ejemplo. Sea E el experimento de lanzar una moneda dos veces consecutivos o lanzar dos monedas a la vez.¿ Cuál es la probabilidad de obtener dos caras? SOLUCIÓN: P(obtener dos cosas) = P (obtener cara en el primer lanzamiento y cara en el segundo lanzamiento). Sea A = {obtener 2 caras} A 1 = (Obtener cara en el primer lanzamiento). A 2 = (Obtener cara en el segundo lanzamiento) P(A) = P(A 1 Si A 1 y A 2 son independientes P(A) =

18 2.6 TEOREMA DE LA PARTICIÓN DE ESPACIO MUESTRAL Sea B y sea Ai S i=1,2,....n talque a) b) P (B) = Se conoce con el nombre de probabilidad total del evento B.

19 2.6 TEOREMA DE BAYES Sea el conjunto de eventos A 1, A 2, A 3 …… … A n una partición del espacio muestral S, donde P (A i ) entonces: para cualquier evento B para el que P(B) 0 para i P

20 EJEMPLO 1: Un Centro Educativo aplica tres métodos de enseñanza que incluye 60% de tipo I, 30% de Tipo II y 10% de tipo III y que la probabilidad de que un estudiante apruebe, es 0.75 para el tipo I, 0.50 para el tipo II y 0.25 para el tipo III. A)¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante apruebe ? B)¿Si se elige aleatoriamente un estudiante y resulta estar aprobado ¿Cuál es la probabilidad que se haya acogido el método de enseñanza del tipo II?. Solución: SeaA 1 = {El método de enseñanza sea del tipo I} A 2 = { El método de enseñanza sea del tipo II} A3 ={ El método de enseñanza sea de tipo III} P (A 1 ) = 0.6 ; P(A 2 ) = 0.30, P(A 3 )= 0.10

21 A) D = {Que el estudiante elegido este aprobado} P(D) = D = P(D) = P P P P P P(D) = 0.750 + 0.15 + 0.076 = 0.6 25 probabilidad de que un estudiante APRUEBE

22 B) Si se elige aleatoriamente un estudiante y resulta estar aprobado. cuál es la probabilidad de que se haya acogido al método de enseñanza de tipo II.?

23 FIN -II

24 3.0 VARIABLES ALEATORIAS Es una función que va del espacio muestral al conjunto de los número reales y lo denotamos por una letra mayúscula; y una minúscula para sus valores. EJEMPLO : Se lanza tres monedas sobre una mesa. S R X

25 Si X es la variable aleatoria que determina el # de caras en el experimento entonces. X (CCC) = 3 X(CSC) = 2 X(SSC) = 1 X(CSS) = 1 X (CCS) = 2 X(SCC) = 2 X(SCS) = 1 X(SSS) = 0 Por lo tanto x toma los valores x : 0, 1, 2, 3 3.1 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Si un espacio muestral es finito (discreto) la variable aleatoria definida sobre este espacio será discreto. Representado la mayoría de las veces por datos discretos.

26 3.2 VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Es aquella que está definida en un espacio muestral continuo, representando en la mayoría de los casos datos referente medidas tales como: tallas, pesos, temperaturas, distancias, etc. 3.3 DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE PROBABILIDAD. Se dice que f(x) es una función o distribución de probabilidad (función de cuantía) de la variable discreta aleatoria X. Si para cada x resulta posible que: 1).f(x) 2). 3).P(X=x) = f(x)

27 EJEMPLO: Sea el experimento de verificar el rendimiento académico de 3 estudiantes, hallar la función de cuantía o probabilidad del número de desaprobados. Solución Los valores que toma la variable aleatoria X, que cuenta el número de desaprobados en este experimento será: X : 0, 1, 2, 3 cuyas probabilidades son: f(x) = P(X=x), f(3) = P(X=3) = 1/8; f(2) = P(X=2) = 3/8 ; f(1) = P( X=1) = 3/8 f(0 ) = P( X = 0) = 1/8, donde la suma de todas las probabilidades deben dar 1

28 X 0 1 2 3 f(x) La distribución acumulativa de una variable aleatoria discreta f(x) está dada por F(x). donde F(x) = P

29 EJEMPLO : Hallar la función de distribución acumulativa F(x) del ejemplo anterior: 0 si si <1 F(x) = si 1 si 1 x

30 3.11 ESPERANZA MATEMÁTICA Dado una variable aleatoria con distribución de cuantía o probabilidad f(x), el valor esperado o la esperanza matemática de x esta dado por: EJEMPLO : En un juego de apuesta, un estudiante debe ganar $ 5, si al tirar 3 monedas obtiene todas cara o todas sello y paga $3 si sale 1 o 2 caras, conviene participar en la apuesta.? x: 5, -3 P(x=5) = ¼ P(x=-3) = ¾ por el resultado obtenido no conviene participar en la apuesta

31 3.12 VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA La varianza de una variable aleatoria x esta dada por EJEMPLO : Calcular la varianza de x donde x es el número de químicos de un comité de tres personas seleccionadas al azar entre un grupo de 4 químicos y 3 biólogos x= 0, x = 1, x = 2, x = 3 :

32 Def: Si x variable aleatoria y b usa constante entonces Def: Si x variable aleatoria y a una constante cualquiera. entonces Def: Si x e y son variables aleatorias independientes, entonces

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