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UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Índices de Desigualdad Rafael Salas Mayo de 2011.

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1 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Índices de Desigualdad Rafael Salas Mayo de 2011

2 2 Referencia básica lPeter Lambert (2001), The distribution and redistribution of Income, 3rd. Edition, Manchester University Press. lCap. 5 Referencias adicionales: Atkinson, A. (1970) JPE Sen (1973) Cowell (1985)

3 3 Introducción lPasamos de un orden parcial a un orden completo lDefinimos un índice de desigualdad: I:R N R lCon unas propiedades: lCoherente con el Bienestar: W(x 1, x 2, ···, x N )=V(μ,I) donde V(.) es un índice abreviado de bienestar y derivada positiva con μ y negativa con I.

4 4 Índices de Atkinson lEs una clase de índices que se derivan partiendo de : l(1) Función individualista W:R n + R como: donde u(x) es creciente y estrictamente cóncava. En términos discretos:

5 5 Índices de Atkinson l(2) Expresable como V(μ,I) donde V(.) es un índice abreviado de bienestar y derivada positiva con μ y negativa con I. l(3) Índice AKS: W=V=μ(1-I) I es el coste per cápita de la desigualdad Implica que I = 1- ξ/μ donde ξ es la renta equivalente uniformente distribuída W(ξ,ξ,…,ξ)= W(x 1, x 2, ···, x N ) l(4) Índice relativo I no cambia: I (x 1, x 2, ···, x N )= I (kx 1,k x 2, ···,kx N ), k>0 Implica que ξ/μ no cambia, pues se transorma en kξ/kμ. Implica homoteticidad de W en xi

6 6 Índices de Atkinson lTeorema el único índice que cumple las propiedades (1) a (4) es el índice de Atkinson que se deriva de esta función de utilidad de aversión constante a la desigualdad: donde ε >0 es el párametro de aversión a la desigualdad relativa constante (=-xu/u)

7 7 Índices de Atkinson lÍndice Atkinson: derivamos Y calculamos I = 1- ξ/μ. Nótese cómo ξ 0

8 8 μ x2x2 x1x1 l I l l W= Without loss of generality W= Without loss of generality Ilustración Dibuja una línea recta con pendiente -1, que corta a la diagonal... en la renta media, μ Deriva (Renta equivalente igualitariamente distribuida) donde la isoutilidad corta a la diagonal A natural measure of welfare W=

9 9 Índices de Atkinson Además para ε 0, ξμ con lo cual I0. La desigualdad no importa lA medida que aumenta la aversión a la desigualdad ε>0, la desigualdad aumenta, fijado F Si ε, ξmin x i e I = 1- min x i /μ

10 10 I. Gini Newbury 1970 demuestra que no se puede obtenerse como un índice AKS V= μ (1-G) de ninguna función individualista aditivamente separable. Implícitamente está en el teorema de Atkinson anterior, puesto que es un índice relativo.

11 11 I. Gini Sen 1973 dice que puede serlo de una no individualista, en donde el nivel de bienestar de dos individuos es una función del peor posicionado Por lo tanto el bienestar social sería el promedio de todos los pares implicados. No es individualista porque en el bienestar de un individuo importan las rentas del resto. Lambert 1985 lo racionaliza como que la función de bienestar sería del tipo:

12 12 I.Gini De hecho depende del rango de cada individuo. Se ve en esta otra formulación:

13 13 I.Gini De hecho depende del rango de cada hogar. Se ve en esta otra formulación:

14 14 I.Gini Si agrupado: x 1, w 1 veces,…., x N, w N veces:

15 15 I. Gini lEl índice de Gini en términos contínuos se puede escribir como: que coincide con dos veces el área debajo de la curva de Lorenz

16 16 I. Gini El índice de Gini extendido por Yitzhaki 1983: Converge al Gini clásico con v=2

17 17 I.Gini extendido En términos discretos:

18 18 I.Gini extendido Otra formulación:

19 19 Índices de Gini v es el párametro de aversión a la desigualdad como lo era ε en los índices de Atkinson: Si v 1, ξμ con lo cual G0. La desigualdad no importa lA medida que aumenta la aversión a la desigualdad v>1, la desigualdad aumenta, fijado F Si v, ξmin x i y G = 1- min x i /μ

20 20 Bienestar lFunciones de Bienestar Social. Dependientes del rango, Yaari 1987, 1988: lW:R + R como: : W:R N + R como: donde w(p) es no negativo, no creciente y expresables como:

21 21 Índices de Gini Descomponibilidad: G=G B +G W +S Lambert y Aronson 1993 S=0 si son particiones disjuntas Descomponibilidad por fuentes de renta Y=X+Z+G Aplicación a los impuestos Y=X-T y subvenciones Y=X+S:

22 22 C. Concentración lDefinimos el coeficiente de concentración de impuestos T como: lEntonces índice de progresividad de impuestos de Kakwani: Veremos su relación con el índice de redistribución:

23 23 Redistribución lPodemos descomponer la redistribución global RS lIH 0 Atkinson y Plotnick 1980

24 24 Personal Income Tax Progressivity and redistribution are related by the average tax rate

25 25 Sales Taxes Mainly slightly regressive as in the OECD

26 26 Índices de Entropía Generalizada Si imponemos la propiedad de descomponibilidad aditiva I=I B +I W donde I B es el índice entre grupos como el índice de desigualdad en el caso de que todos los hogares de cada grupo tengan su renta media μ i y A que el índice sea relativo: I (x 1, x 2, ···, x N )= I (kx 1,k x 2, ···,kx N ), k>0 Simétrico Cumpla el principio de transferencias Nos sale como única opción los índices de Entropía Generalizada (Shorrocks, Cowell)

27 27 Índices de Entropía Generalizada Caso c=0, es el Theil cero ó desviación logarítmica media. Caso c=1, Theil 1 (Theil 1967)

28 28 Índices de Entropía Generalizada Las ponderaciones de la descomponibilidad son: Son interesantes en Theil cero y en el Theil 1: suman la unidad Especialmente interesantes en el Theil 0: son poblacionales

29 29 Índices de Entropía Generalizada Los índices de Theil c=1-ε son ordinalmente equivalentes a los índices de Atkinson ε>0 Para c=1- ε Para c=0 y ε=1 la equivalencia es:

30 30 Índices de Entropía Generalizada Los índices de Theil c=2 tienen una particularidad: Es coherente con el principio de la réplica de la población.

31 31 Índices de Entropía Generalizada Problemas: No están normalizados entre 0 y 1 Pueden ser superiores a 1. El valor extremo del Theil 1 es Ln N No puede deducirse de una FBS Ni interpretación como

32 UNIVERSIDAD COMPLUTENSE DE MADRID Indices de Desigualdad Rafael Salas Mayo de 2011


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