Tema IV: Integración numérica

Presentación del tema: "Tema IV: Integración numérica"— Transcripción de la presentación:

1 Tema IV: Integración numérica
Regla del trapecio Regla de Simpson 1/3 Regla de Simpson 3/8

2 Tema IV: Integración numérica
¿Para que la Integración Numérica? Sólo se posee una tabla de valores y se desconoce la función. Puede que se conozca la función, pero ser difícil o imposible encontrar su primitiva. Un ejemplo es: Puede ser posible encontrar una primitiva analíticamente, pero puede ser más sencillo calcular una aproximación numérica que hallar su primitiva. Este puede ser el caso si la primitiva es dada como una serie infinita o un producto infinito, o si su evaluación requiere de alguna función especial que no está disponible.

3 Tema IV: Integración numérica
Integración por Regla Trapezoidal: Definición: es una adaptación de la integral definida como una suma de áreas de los trapecios formados al subdividir el intervalo en n sub-intervalos (Deseablemente iguales).

4 Tema IV: Integración numérica
b - a f(b) f(a)

5 Tema IV: Integración numérica
1 2 3 4 5 X0 =a x1 x2 x3 x4 x5 X6 =b

6 Tema IV: Integración numérica
1 2 3 4 5 X0 =a x1 x2 x3 x4 x5 X6 =b

7 Tema IV: Integración numérica
1 2 3 4 5 X0 =a x1 x2 x3 x4 x5 X6 =b Siendo h el tamaño de los sub-intervalos

8 Tema IV: Integración numérica
Ejemplo 1: Dada la siguiente tabla, estimar el valor de la integral: xi f(xi) 1.5 4.113 1.8 4.514 2.1 5.131 2.4 6.187 2.7 7.224

9 Tema IV: Integración numérica
Ventajas del Método Trapezoidal: Fácil aplicación No importa si el número de datos tabulados es par o impar. Desventajas del Método Trapezoidal: La aproximación mediante rectas es muy impreciso.

10 Tema IV: Integración numérica
Integración por Simpson 1/3: Definición: es una adaptación de la integral definida como una suma de integrales de funciones cuadráticas sobre dos sub-intervalos del mismo ancho.

11 Tema IV: Integración numérica
Integración por Simpson 1/3: Nota: La regla un 1/3 de Simpson, solo es aplicable para un número Par de Sub-intervalos (Número impar de datos)

12 Tema IV: Integración numérica
Integración por Simpson 1/3: 1 2 3 4 5 Nota: La regla un 1/3 de Simpson, solo es aplicable para un número Par de Sub-intervalos (Número impar de datos)

13 Tema IV: Integración numérica
Ejemplo 1: Dada la siguiente tabla, estimar el valor de la integral por Simpson 1/3: xi f(xi) 1.5 4.113 1.8 4.514 2.1 5.131 2.4 6.187 2.7 7.224

14 Tema IV: Integración numérica
Integración por Simpson 3/8: Definición: es una adaptación de la integral definida como una suma de integrales de funciones cúbicas sobre tres sub-intervalos del mismo ancho.

15 Tema IV: Integración numérica
Integración por Simpson 3/8: Nota: La regla un 3/8 de Simpson, solo es aplicable para un número de Sub-intervalos divisible entre tres.

16 Tema IV: Integración numérica
Integración por Simpson 3/8: 1 2 3 4 5 Nota: La regla un 3/8 de Simpson, solo es aplicable para un número de Sub-intervalos divisible entre tres.

17 Tema IV: Integración numérica
Ejemplo 1: Dada la siguiente tabla, estimar el valor de la integral por las reglas de Simpson: xi f(xi) 1.5 4.113 1.8 4.514 2.1 5.131 2.4 6.187 2.7 7.224 3.0 8.144 3.3 9.060

18 Tema IV: Integración numérica
Ejemplo 2: Dada la siguiente tabla, estimar el valor de la integral por las reglas de Simpson: xi f(xi) 1.5 4.113 1.8 4.514 2.1 5.131 2.4 6.187 2.7 7.224 3.0 8.144 Simpson 3/8 Simpson 1/3

19 Tema IV: Integración numérica
Ejemplo 1: Dada la siguiente tabla, estimar el valor de la integral por simpson: xi f(xi) 1.5 4.113 1.8 4.514 2.1 5.131 2.4 6.187 2.7 7.224 3.0 8.144

20 Tema IV: Integración numérica
Ventajas de los Métodos de Simpson: Mucho más preciso que el método de integración trapezoidal Desventajas del Método: Su aplicación requiere un número específico de Sub-intervalos.

21 Tema IV: Integración numérica
Resumen de Métodos de Integración para Espaciamiento Uniforme x=h: Regla Trapezoidal: Regla de 1/3 de Simpson: Regla de 3/8 (Requiere un número par de sub-intervalos) (Requiere un número de sub-intervalos divisible entre 3)