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Práctica 6 Integración Numérica
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Integración Numérica Integral Definida: Cálculo
Fórmula del Punto Medio Fórmula de los Trapecios Regla de Simpson Integración de Romberg Métodos Adaptativos Métodos de Newton-Cotes
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Integral definida: Cálculo
Regla de Barrow Pero... Funciones sin primitiva sencilla Datos experimentales
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Fórmula del Punto Medio
Simple Compuesta a b h
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Punto Medio con paso variable
Subintervalos Pesos (¡pasos!) Nodos Integral
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Fórmula de los Trapecios
Simple Error Exacta para polinomios de grado 1
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Fórmula de los Trapecios
Compuesta Error
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Algoritmo de los Trapecios
x x x xn h y0 y1 y2 yn
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Algoritmo iterativo de trapecios
Estimación actual Nuevos nodos Refinamiento iterativo
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Algoritmo TRAPITER Entrada: a, b, n, tol, maxiter.
Salida: I, incr, iter Proceso:Calcular IT[h] por trapecios con paso h Inicializar incr y el contador de iteraciones, iter Mientras incr > tol y iter < maxiter Hallar los nodos nuevos, x=[x1/2, x3/2 ... xn-1/2] Calcular el vector de ordenadas y = f(x) Refinar IT[h/2] = IT[h] /2 + h/2*sum(y) Calcular incr, incrementar iter Dividir h por 2 Actualizar IT[h]
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Regla de Simpson Simple Error Exacta para polinomios de 3er grado
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Regla de Simpson Compuesta Error
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Extrapolación de Richardson
Saber que el error de IT[h] es de orden 2, permite estimar la integral con error de menor orden, a partir de dos evaluaciones con distinto h.
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Método de Romberg Estimaciones de Simpson Eliminación de la constante
Fórmula de Romberg
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Tabla de Romberg Expresión general Error de orden h2j
Exacta para polinomios de grado 2j–1
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Algoritmo de ROMBERG Entrada: a, b, n, tol, maxiter Salida: I, incr, k
Proceso: Calcular I11 Inicializar incr, k Mientras incr > tol y k < maxiter Evaluar Ik1 refinando Ik-1, Inicializar j Mientras incr > tol y j < k Calcular Ikj Calcular incr Incrementar j Incrementar k
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Métodos adaptativos Limitaciones del Método de Romberg
Condiciones de convergencia Métodos adaptativos de MATLAB quad: Simpson adaptativo quad8: Newton-Cotes adaptativo (orden 8)
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Métodos de Newton-Cotes
Dados los nodos x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], determinar pesos p0, p1, p2, ...,pn tales que para todo polinomio f(x) de grado < n, Sustituyendo f(x) = 1, x, x2, ... , xn, se obtiene un sistema lineal del que se despejan los pesos p0, p1, p2, ..., pn.
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F I N
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