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Modelo ECO 2 Proceso de Certificación de Especialistas Introducción a una Teoría de Categorías Santiago, Chile 22-25 de Enero de 2007 Juan Machín.

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1 Modelo ECO 2 Proceso de Certificación de Especialistas Introducción a una Teoría de Categorías Santiago, Chile de Enero de 2007 Juan Machín

2 Programa Presentación del objetivo Presentación del objetivo Conjunto Conjunto Aplicación Aplicación Analogía Analogía

3 Presentar una introducción a la Teoría de Categorías para hacer explícitos algunos elementos epistemológicos de nuestro trabajo (prevención, cura, formación, etc.) y comenzar a formalizar nuestra experiencia. Objetivo de esta lección frontal

4 Teoría de Conjuntos Conjunto es tan fundamental que es imposible dar una definición en función de conceptos más básicos. La etimología (coniungere = unir, juntar) nos da una idea de lo que significa. poseemos una noción intuitiva y podemos dar un sinfín de ejemplos. Definición

5 Conjuntos Un conjunto se define de dos formas: a)Enlistando todos sus elementos b)Definiendo una propiedad que los caracteriza Ejemplo. Sea V el conjunto de las vocales: V={a,e,i,o,u} V={x| x es una vocal} (se lee: V es el conjunto que contiene a todas las x tales que x es una vocal).

6 Ejemplos Los siguientes son ejemplos de conjuntos: - Un sistema - Una red social - Una Comunidad Real Local (CRL) - Una Comunidad Terapéutica Específica (CTE) - Nuestro equipo de trabajo - Este grupo

7 Convenciones Vamos a representar a: los Conjuntos con letras mayúsculas: los Conjuntos con letras mayúsculas: A, B, C, … los Elementos con letras minúsculas: los Elementos con letras minúsculas: a, b, c, …

8 Pertenece a o es elemento de con Pertenece a o es elemento de con No pertenece a con No pertenece a con Para todo con Para todo con Existe con Existe con Conjunto universo con la letra U Conjunto universo con la letra U Conjunto vacío con Ø Conjunto vacío con Ø Convenciones

9 Diagramas de Venn A a Ø b A b A a A b A

10 Aplicación Dados los conjuntos A y B, una aplicación : A B es una ley, regla o criterio que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de A uno y sólo un elemento de B También se representa como: ( A ) = B ( A ) = B Sinónimos de aplicación son función, mapeo, transformación, operador.

11 Ejemplo 1 AB a1a2a3a1a2a3 b 1 b 2 b 3... b m

12 Ejemplo 2 AB a1a2a3a4a1a2a3a4 b1b2b3b4b1b2b3b4

13 Ejemplo 3 AB a1a2a3a4a1a2a3a4 b1b2b3b4b1b2b3b4

14 Ejemplo 4 AB a1a2a3a4a1a2a3a4 b1b2b3b4b1b2b3b4

15 Ejemplos de aplicaciones - Contar - Medir - Medidas estadísticas - Instrumentos - Diagnósticos

16 Aplicación inyectiva o Inyección Dados los conjuntos A y B, una aplicación inyectiva de A en B es una aplicación que hace corresponder a cada elemento de A un elemento diferente de B. AB a1a2a3a4a1a2a3a4 b1b2b3b4b5b1b2b3b4b5

17 Aplicación sobreyectiva o Sobreyección Dados los conjuntos A y B, una aplicación sobreyectiva de A en B es una aplicación que pone en correspondencia todos los elementos de B. AB a1a2a3a4a1a2a3a4 b1b2b3b1b2b3

18 AB a 1 a 2 a 3... a n b 1 b 2 b 3... b n Aplicación biyectiva o Biyección Dados los conjuntos A y B, una aplicación biyectiva de A en B es una aplicación que es inyectiva y sobreyectiva al mismo tiempo

19 PersonaNombre NombreDirección Dirección Número de Teléfono Teléfono Línea telefónica Recibo NombreCURP Ejemplos

20 Aplicación compuesta Sean : A B y : B C dos aplicaciones tales que el codominio de la primera coincide con el dominio de la segunda. Queda así definida una aplicación de A en C, que se denomina aplicación compuesta de con, e indicada como : A C : A C O como : A C : A C

21 Aplicación inversa Dados los conjuntos A y B y la aplicación : A B, la aplicación inversa -1 : B A es la aplicación que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de B uno y sólo un elemento de A, tal que si b es elemento de B que pone en correspondencia al elemento a de A, entonces -1 pone en correspondencia al elemento a de A con el elemento b de B. : A B, la aplicación inversa -1 : B A es la aplicación que hace corresponder a todos y cada uno de los elementos de B uno y sólo un elemento de A, tal que si b es elemento de B que pone en correspondencia al elemento a de A, entonces -1 pone en correspondencia al elemento a de A con el elemento b de B. También se representa como: -1 (B)= A -1 (B)= A Sinónimos de aplicación inversa son antitransformación, operador inverso, etc.

22 Analogía Una aplicación : A B se dice que es una analogía si al aplicar a A se conservan propiedades de A en B. La analogía más estricta se denomina Identidad y es la aplicación de un conjunto sobre sí mismo. I : A A.

23 Ejemplo 1 A BC A B C S: AB AB S: BC BC S: AC AC AB AB BC BC AC AC S: g g S: b b S: S: g = g b = b = = AB/BC = AB/BC Triángulos semejantes S es una analogía denominada semejanza


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