Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 1 Matemáticas 1º

Presentación del tema: "Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 1 Matemáticas 1º"— Transcripción de la presentación:

1 Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 1 Matemáticas 1º Múltiplos de un número Como sabes: 5 · 0 = 0 5 · 2 = 10 5 · 7 = 35 5 · 11 = 55 Cada vez que multiplicas 5 por cualquier número se obtiene otro número que es múltiplo de 5. Los múltiplos de un número se obtienen multiplicando ese número por los números naturales Así: 21 es múltiplo de 3, pues 21 = 3 · 7. ( Y múltiplo de 7) 44 es múltiplo de 11, pues 44 = 11 · 4 44 no es múltiplo de 5, pues multiplicando 5 por cualquier otro número natural no da 44 0 es múltiplo de 2, y de 7, y de 15, pues: 0 = 2 · 0 = 7 · 0 = 15 · 0 ... 0 es múltiplo de todos los números IMAGEN FINAL

2 Divisores de un número 1 44 dividido entre 11 da 4
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 2 Matemáticas 1º Divisores de un número 44 dividido entre 11 da 4 Se dice que 11 es divisor de 44 44 : 5 no es exacta 5 no es divisor de 44 Un número es divisor de otro cuando la división del segundo por el primero es exacta. Observa: 44 : 4 = = 4 · = 4 · 11 4 es divisor de 44 (También 11 es divisor de 44) 44 es producto de los factores 4 y 11 44 es múltiplo de 4 y de 11 Divisor y factor significa lo mismo. Si un número es divisor el otro, este es múltiplo de aquel. IMAGEN FINAL

3 Cálculo de todos lo divisores de un número
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 3 Matemáticas 1.º Cálculo de todos lo divisores de un número Un número puede tener varios divisores Compruébalo Por ejemplo: 18 tiene por divisores a 1, 2, 3, 6, 9 y 18 Para hallar todos los divisores de un número: Se escribe como producto de dos factores, empezando por el factor 1. Se termina cuando se repitan los factores. Los factores aparecidos son todos los divisores del número. Ejemplo: 45 = 1 · 45 1 y 45 son factores 45 = 3 · 15 3 y 15 son factores 45 = 5 · 9 9 y 45 son factores Se repiten los factores 45 = 9 · 5 Los divisores de 45 son: 1, 3, 5, 9, 15 y 45 IMAGEN FINAL

4 Números primos y compuestos
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 4 Matemáticas 1.º Números primos y compuestos Hemos visto que 45 tiene varios divisores: 1, 3, 5, 9, 15 y 45 En cambio: 17 sólo tiene dos divisores: 1 y 17. 43 también tiene sólo dos divisores: 1 y 43 Cuando un número tiene solamente dos divisores se llama primo. Los números 17 y 43 son primos. 45 y 18 son números compuestos Cuando un número tiene más de dos divisores se llama compuesto. Los primeros números primos son: IMAGEN FINAL

5 Criterios de divisibilidad
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 5 Matemáticas 1.º Criterios de divisibilidad Por la tabla de multiplicar sabes que 24 es divisible por 4, pues 24 = 4 · 6. También que 72 es divisible por 9, pues 72 = 9 · 8. ¿Habría que dividir? ¿Sabes si es divisible por 3? No es necesario, pues la suma de las cifras de 29058, = 24, es múltiplo de 3 Esto es un truco, que llamamos criterio. Un criterio de divisibilidad es una regla que permite reconocer, sin efectuar la división, si un número es o no divisible por otro. Los criterios de divisibilidad son útiles para descomponer un número en sus factores primos. IMAGEN FINAL

6 Divisibilidad por 2, por 5 y por 10
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 6 Matemáticas 1.º Divisibilidad por 2, por 5 y por 10 Observa: 438 = 43 · Luego, 438 será divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es 8 10 es divisible por 2, por 5 y por 10 Como 8 es divisible por 2, 438 es divisible por 2. Como 8 no es divisible por 5 ni por 10, 438 tampoco lo es. Un número es divisible por 2, por 5 o por 10 si lo es el número formado por la cifra de las unidades. Luego: Un número es divisible por 2 si termina en 0 o en cifra par. Un número es divisible por 5 si termina en 0 o en 5. Un número es divisible por 10 si termina en 0. Ejemplos: 1708 es divisible por 2; no lo es ni por 5 ni por 10. 10395 es divisible por 5. 280 es divisible por 10, y por 5, y por 2. no es divisible ni por 2, ni por 5 ni por 10. IMAGEN FINAL

7 Divisibilidad por 4, por 25 y por 100
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 7 Matemáticas 1.º Divisibilidad por 4, por 25 y por 100 Observa: 13528 = 135 · 135 · = es divisible por 25, pues 25 lo es. 100 es divisible por 4, por 25 y por 100 135 · = es divisible por 100, por 25 y por 4. Luego, será divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es 28. Luego, para ver la divisibilidad por 4, por 25 y por 100 sólo hay que fijarse en las dos últimas cifras. Como 28 es divisible por 4, es divisible por 4. Como 28 no es divisible por 25 ni por 100, no es divisible por 25 ni por 100. Un número es divisible por 4, por 25 o por 100 si lo es el número formado por sus dos últimas cifras. Ejemplos: 1780 es divisible por 4; no lo es por 25 ni por 100. 10375 es divisible por 25; no lo es por 4 ni por 100. 2800 es divisible por 100, por 25 y por 4. no es divisible por 4, ni por 25 ni por 100. IMAGEN FINAL

8 Criterios de divisibilidad por 3 y por 9
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 8 Matemáticas 1.º Criterios de divisibilidad por 3 y por 9 Por 3: Un número es divisible por 3 si la suma de los valores de sus cifras es divisible por 3. Ejemplos: a) 1428 es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es = 15, y 15 es divisible por 3. b) 1429 no es divisible por 3, pues la suma de sus cifras es 16. Por 9: Un número es divisible por 9 si la suma de los valores de sus cifras es divisible por 9. Ejemplo: 5643 es divisible por 9, pues la suma de sus cifras es = 18 , y 18 es divisible por 9. Observación: Si un número es divisible por 9 también lo será por 3; lo contrario no siempre es cierto. 50067 es divisible por 9 (y por 3) es divisible por 3, pero no por 9 IMAGEN FINAL

9 Divisibilidad por 11 1 Para saber si un número es divisible por 11:
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 9 Matemáticas 1.º Divisibilidad por 11 La división : 11 es exacta. 44968 es múltiplo de11. Distingamos en las cifras pares y las impares: Las cifras impares suman: = 21 21 – 10 = 11 Las cifras pares suman: = 10 Para saber si un número es divisible por 11: Se suman separadamente las cifras que ocupan los lugares pares y los impares en la escritura del número. Si la diferencia entre ambas sumas es múltiplo de 11, el número dado es divisible por 11. Ejemplo: es múltiplo de 11, pues: Diferencia: = 22 Cifras pares: = 24 709181 Cifras impares: = 2 Como 22 es múltiplo de 11, el número también lo es. IMAGEN FINAL

10 Descomposición de un número en factores primos
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 10 Matemáticas 1º Descomposición de un número en factores primos Comprueba que 360 = 23 · 32 · 5 2, 3 y 5 son los factores primos de 360. Descomponer un número en factores primos es expresarlo como producto de factores primos. Disposición práctica Vamos a escribir 132 como producto de sus factores primos: 132 2 132 = 2 · 66 = 2 · 2 · 33 = 2 · 2 · 3 · 11 = 22 · 3 · 11 66 2 33 3 66 = 2 ·33 11 11 33 = 3·11 1 Para descomponer un número en factores primos: Se divide el número por un factor primo. Se divide el cociente obtenido por otro factor primo y se repite el procedimiento hasta que el último cociente sea 1. El número es igual al producto de los factores primos por los que se ha ido dividiendo. A la derecha de la raya vertical quedan todos los factores primos IMAGEN FINAL

11 El máximo común divisor de varios números
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 11 Matemáticas 1.º El máximo común divisor de varios números Consideremos los números 30 y 18. Divisores comunes son: 1, 2, 3 y 6 Divisores de 30: Divisores de 18: El mayor de ellos es el 6. El máximo común divisor de varios números es el mayor de sus divisores comunes. Escribimos: m.c.d(30 y 18) = 6 2 · 3 = 6 Para calcularlo se descompone cada número en sus factores primos: 30 = 2 · 3 · 5 18 = 2 · 3 · 3 = 2 · 32 Como 2 y 3 son divisores comunes, su producto también lo es. El máximo común divisor de varios números es igual al producto de los factores primos comunes elevados al menor exponente. IMAGEN FINAL

12 El mínimo común múltiplo: m.c.m
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 12 Matemáticas 1.º El mínimo común múltiplo: m.c.m Consideremos los números 35 y 25. Múltiplos de 35: … 350 …525, ... Múltiplos de 25: … 350 … 525, ... El menor de ellos, excluido el 0, es 175 Múltiplos comunes son: 0, 175, 350, Escribimos: m.c.m(35 y 25) = 175 El mínimo común múltiplo de varios números es el menor de sus múltiplos comunes, excluido el cero. El mínimo común múltiplo de varios números es igual al producto de los factores primos comunes y no comunes, elevados al mayor exponente. Factores comunes: 5 35 = 5 · 7 25 = 52 Mayor exponente: 2 m.c.m(35 y 25) = 52 · 7 = 175 Factores no comunes: 7 IMAGEN FINAL

13 Mínimo común múltiplo:
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 13 Matemáticas 1.° Cálculo del m.c.d. y del m.c.m. Para practicar, halla el m.c.d. y el m.c,m. de los números 780 y 600. Los descomponemos en factores primos: 780 = 22 · 3 · 5 · 13 600 = 23 · 3 · 52 780 2 600 2 Máximo común divisor: 300 2 390 2 150 2 195 3 Factores comunes: 75 3 65 5 Menor exponente respectivo: 2, y 1 25 5 13 13 5 5 m.c.d.(780, 600) = 22 · 3 · 5 = 60 1 1 Mínimo común múltiplo: Factores comunes: 780 = 22 · 3 · 5 · 13 Mayor exponente respectivo: 3, y 2 600 = 23 · 3 · 52 Factores no comunes: m.c.m.(780, 600) = 23 · 3 · 52 ·13 = 7800 IMAGEN FINAL

14 Aplicación del máximo común divisor
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 14 Matemáticas 1.º Aplicación del máximo común divisor Problema: Una habitación rectangular de 7,8 m de largo por 3 m de ancho se quiere solar con baldosas cuadradas lo más grandes posibles. ¿Cuánto deberá medir el lado de cada una si al colocarlas no se quiere romper ninguna? Se da: Largo y ancho: 780 y 300 cm. Se pide: La medida de las baldosas, lo más grandes posibles, que cabe tanto a lo largo como a lo ancho (sin romperlas). Para no romper ninguna, la media del lado debe ser un divisor de 780 y de 300. Para que sean lo más grandes posible, ese número será el m.c.d.(780, 300). La descomposición en factores primos es: 780 = 22 · 3 · 5 · 13 600 = 23 · 3 · 52 m.c.d.(780, 600) = 22 · 3 · 5 = 60 El lado de cada baldosa debe ser de 60 cm. IMAGEN FINAL

15 2º. Pensar un problema más fácil 3º. Comprobar el resultado
Tema: 1 Divisibilidad con números naturales 15 Matemáticas 1.º Resolución de problemas Problema: El número de habitantes del pueblo de Yolanda es un número muy curioso. Si se divise entre 9 el resto es 1. Si se divide entre 11 el resto es Además, es el número más pequeño que cumple estas condiciones ¿Cuántos habitantes tiene el pueblo de Yolanda? 1º. Tantear para comprender mejor ¿Podrían ser 901 habitantes? Al dividir por 9, sobra 1, 901 = 100 · Podría ser Pero al dividir por 11, sobran 10. Luego, no vale. 2º. Pensar un problema más fácil Si el número diera de resto 0 al dividirlo por 9 y por 11, sería múltiplo de ambos. Y por ser el menor posible debería ser 9 · 11. Pero este no es el problema. El problema dice que da de resto 1. ¿Y qué diferencia hay entre dar de resto 0 y dar de resto 1? ¡Pues 1! El número será: 9 · = 100 3º. Comprobar el resultado 100 : 9 da de resto es 1. 100 : 11 da de resto 1. IMAGEN FINAL