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Verificar que la siguiente igualdad es cierta: 1+3+5+…+(2n-1) = n 2 1 IES ORNIA LA BAÑEZA (LEÓN) DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS NÚMEROS 2 Demostrar que entre.

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1 Verificar que la siguiente igualdad es cierta: …+(2n-1) = n 2 1 IES ORNIA LA BAÑEZA (LEÓN) DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS NÚMEROS 2 Demostrar que entre dos números primos impares hay siempre un múltiplo de 6. Determinar (si es que existe) un entero positivo n que resuelva la ecuación: 3 Encontrar la solución de la ecuación: …+x = 155 4

2 IES ORNIA LA BAÑEZA (LEÓN) DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS NÚMEROS 5 Calcular la suma de los cuadrados de los 100 primeros términos de una progresión aritmética, sabiendo que la suma de ellos vale -1 y que la suma de los términos de lugar par vale 1. Probar que la suma de los cubos de tres números enteros consecutivos es divisible por Probar que la suma de cuatro números naturales consecutivos no puede ser un cuadrado perfecto. 8 Sean a 1, a 2, a 3, a 4 cuatro enteros consecutivos. Demostrar que a 1 a 2 a 3 a 4 +1 es un cuadrado perfecto.

3 IES ORNIA LA BAÑEZA (LEÓN) DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS NÚMEROS Hallar el resultado de la siguiente suma: 9 Encontrar todos los triángulos rectángulos con un cateto y la hipotenusa enteros, sabiendo que el otro cateto es igual a Calcular el producto de todos los enteros positivos que sean menores que 100 y tengan exactamente tres divisores positivos. Comprobar que dicho número es un cuadrado perfecto. Probar que el número es un cuadrado perfecto para toda r. 12

4 ¿Cuántos triángulos rectángulos se pueden construir de tal manera que su área sea menor o igual a , uno de los catetos mida 5 y el otro cateto tenga como medida un divisor de ? 13 IES ORNIA LA BAÑEZA (LEÓN) DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS NÚMEROS 14 Hallar todos los enteros n que cumplen la condición que 2n+1 es divisible por 3. Demostrar que la media geométrica de dos números a y b es siempre menor o igual que su media aritmética. 15 Probar que todo número impar puede escribirse como la diferencia de dos cuadrados. 16

5 IES ORNIA LA BAÑEZA (LEÓN) DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS NÚMEROS 17 Hallar el número natural n que es el producto de los primos p, q, r, sabiendo que: r - q = 2p y r q + p 2 = 676 ¿Cuántas cifras tiene el número ? Si los números enteros a, b, c, d están en progresión aritmética, en este orden, demostrar que 20 Encontrar un número de cuatro cifras que verifique las siguientes condiciones: La suma de los cuadrados de las cifras de las centenas y de las unidades es igual a 53. La suma de los cuadrados de las otras dos cifras es igual a 45. Si del número buscado restamos el que se obtiene al invertir sus cifras, se obtiene un múltiplo de 99 comprendido entre 1000 y 1200.


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