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Potencias y raíz cuadrada 1 Potencias de exponente natural mayor que 1 IMAGEN FINAL En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3.

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2 Potencias y raíz cuadrada 1 Potencias de exponente natural mayor que 1 IMAGEN FINAL En la expresión 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 se repite el mismo factor 14 veces. Para abreviar escribimos: 3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 ·3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 3 14 3 14 es una potencia de base 3 y exponente 14: 3 14 base exponente 3 14 = 4.782.969 La base es el factor que se repite. El exponente indica el número de veces que se repite 23 4 = 23 · 23 · 23 · 23 23 cuatro veces Las potencias de exponente 2 se llaman cuadrados: 5 2 es el cuadrado de 5. Las potencias de exponente 3 se llaman cubos: 10 3 es el cubo de 10. 10 3 = 1000 Otros ejemplos: (a) 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 · 2 ·2 = 2 10 = 1.024 (b) 6 5 = 6 · 6 · 6 · 6 · 6

3 Potencias y raíz cuadrada 2 Potencias de base un número negativo IMAGEN FINAL Si la base es un número negativo: Las potencias de base negativa y exponente impar son negativas. Otros ejemplos: (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3) 4 = 81 Pero (–3) · (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = (–3) 5 = –243 Si el exponente es 4, resulta un número positivo porque hay un número par de signos negativos. Recuerda que (–) · (–) = + y que (–) · (–) · (–) = (–) Si el exponente es 5, resulta un número negativo porque hay un número impar de signos negativos. Las potencias de base negativa y exponente par son positivas. En general: Son positivas: (a) (–2) 6 = 64(b) (–4) 2 = 16 (c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1) )·(–1)·(–1) = (–1) 8 = 1 Son negativas: (a) (–2) 5 = –32(b) (–4) 3 = –64 (c) (–1)·(–1)·(–1)·(–1)·(–1 )·(–1)·(–1) = (–1) 7 = –1 ¡Cuidado! (–5) 2 = 25, pero –5 2 = –25 Un número positivo. Un número negativo.

4 Potencias y raíz cuadrada 3 Potencia de un producto IMAGEN FINAL En la expresión Otros ejemplos: (3 · 2 · 5) 3 Puede hacerse de dos modos: La potencia de un producto es igual al producto de las potencias de los factores. (b) (5 · (–4)) 3 = 5 3 · (–4) 3 la base de la potencia es un producto. es la potencia de un producto Modo 1º Efectuando antes el producto de la base y después la potencia: = 30 3 Modo 2º Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente: (3 · 2 · 5) 3 = (3 · 2 · 5) · (3 · 2 · 5) · (3 · 2 · 5) = (3 · 3 · 3) · (2 · 2 · 2) · (5 · 5 · 5) = (3 · 2 · 5) 3 3 2 · 2 2 · 5 2 Luego, (3 · 2 · 5) 3 = 3 2 · 2 2 · 5 2 27.000 = 4 2 · 8 2 = (–20) 3 (c) (2+3) 3 = 5 3 = 125, pero 2 3 + 3 3 = 8 + 27 = 35 ¡Ojo! Es falso que (2+3) 3 = 2 3 + 3 3 (a) (4 · 8) 2 = 32 2 = 1024

5 Potencias y raíz cuadrada 4 Potencia de un cociente IMAGEN FINAL En la expresión Otros ejemplos: (32 : 8) 3 Puede hacerse de dos modos: La potencia de un cociente es igual al cociente de la potencia del dividendo y de la potencia del divisor. (b) [(–15) : 3) 3 = (–5) 3 = –125 la base de la potencia es un cociente. es la potencia de un cociente Modo 1º Efectuando primero el cociente de la base y después la potencia: = 4 3 Modo 2º Repitiendo la base tantas veces como indica el exponente: (32 : 8) 3 Luego, (32 : 8) 3 = 32 3 : 8 3 (c) (32 – 8) 3 = 24 3 = 13824, pero 32 3 – 8 3 = 32768 – 512 = 32256 (a) (6 : 2) 4 = 3 4 = 81 64 O también: ¡Ojo! Es falso que (32 – 8) 3 = 32 3 – 8 3

6 Potencias y raíz cuadrada 5 Producto de potencias de la misma base IMAGEN FINAL Los factores del producto Ejemplos: 4 2 · 4 5 · 4 3 Puede hacerse de dos modos: El producto de potencias de la misma base es igual a una potencia con la misma base, y de exponente la suma de los exponentes de los factores. 2. En forma de potencia, la expresión: (a) 9 · (–3) 3 · (–3) son potencias que tienen la misma base. Modo 1º Directamente, multiplicando: = 16 · 1024 · 64 = 1048576 Modo 2º Escribiendo cada potencia como producto y agrupar después: 4 2 · 4 5 · 4 3 = (4 ·4) · (4 · 4 · 4 · 4 · 4) · (4 ·4 ·4) = 4 2 · 4 5 · 4 3 4 2+5+3 = 4 10 Luego,4 2 · 4 5 · 4 3 = 4 2+5+3 1. (–2) 4 · (–2) · (–2) 2 = (–2) 4+1+2 = (–2) 7 = –128, utilizando la propiedad vista. Es un producto de potencias de la misma base 2, 5 y 3 factores –2 = ( –2) 1 o 6 1 = 6 También es igual a: 16 · (–2) · 4 = –128, haciendo los productos de las potencias. = (–3) 2 · (–3) 3 · (–3) = (–3) 6 Igualmente: (b) 16 · (–2) 3 = (–2) 4 · (–2) 3 = (–2) 7

7 Potencias y raíz cuadrada 6 Cociente de potencias de la misma base IMAGEN FINAL El dividendo y el divisor de Ejercicio: 6 5 : 6 3 Puede hacerse de dos modos: El cociente de dos potencias de la misma base es una potencia con la misma base, y con exponente la diferencia entre los exponentes del dividendo y del divisor. son potencias de la misma base Modo 1º Calculando las potencias y dividiendo: Modo 2º Desarrollando las potencias y simplificando: 6 5 : 6 3 (a) 2 7 : 2 4 = 2 7–4 = 2 3 Es un cociente de potencias de la misma base 6 5 : 6 3 = 6 5–3 Caso: El cociente 5 4 : 5 4 = 1 Pero si aplicamos la propiedad 5 4 : 5 4 = 5 4–4 = 5 0 Se admite que: 5 0 = 1; (–7) 0 = 1 Escribe en forma de potencia: (a) 2 7 : 2 4 (b) (–5) 6 : (–5) 3 (b) (–5) 6 : (–5) 3 = (–5) 6-3 = (–5) 3

8 Potencias y raíz cuadrada 7 Potencia de una potencia IMAGEN FINAL La expresión (5 2 ) 4 es una potencia cuya base es otra potencia. Ejercicios Puede hacerse de dos modos: La potencia de una potencia es igual a otra potencia con la misma base, y de exponente el producto de exponentes. Modo 1º Directamente, haciendo la potencia de la potencia: Modo 2º Escribiendo como producto de potencias y agrupar después: (5 2 ) 4 = 5 2 ·5 2 · 5 2 · 5 2 = 5 2+2+2+2 = 5 2 · 4 = 5 8 (5 2 ) 4 = 5 2 · 4 1. Calcula: [(–2) 4 ] 2 Se llama potencia de una potencia (5 2 ) 4 = (25) 4 = 390625 [(–2) 4 ] 2 = (–2) 4·2 = (–2) 8 = 64 2. Calcula: [(3 5 ) 4 ] 2 [(3 5 ) 4 ] 2 = 3 5·4·2 = 3 40 3 40 es un número enorme: tiene 20 cifras. 3. Calcula: {[(–1) 3 ] 9 } 7 {[(–1) 3 ] 9 } 7 = (–1) 3·9·7 = (–1) 189 = –1

9 Potencias y raíz cuadrada 8 Cuadrados perfectos IMAGEN FINAL Cuadrado de lado 1: 1 ficha cuadrada Cuadrado de lado 2: 4 fichas cuadradas Cuadrado de lado 3: 9 fichas Cuadrado de lado 4: 16 fichas Cuadrado de lado 5: 25 fichas 1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 A los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … se les llama cuadrados perfectos Los cuadrados perfectos se obtiene elevando al cuadrado los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 100, 144 y 10000 son cuadrados perfectos, pues: 100 = 10 2, 144 = 12 2, 10000 = 100 2

10 Potencias y raíz cuadrada 8 Cuadrados perfectos IMAGEN FINAL Cuadrado de lado 1: 1 ficha cuadrada Cuadrado de lado 2: 4 fichas cuadradas Cuadrado de lado 3: 9 fichas Cuadrado de lado 4: 16 fichas Cuadrado de lado 5: 25 fichas 1 2 = 1 2 2 = 4 3 2 = 9 4 2 = 16 5 2 = 25 A los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … se les llama cuadrados perfectos Los cuadrados perfectos se obtiene elevando al cuadrado los números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 100, 144 y 10000 son cuadrados perfectos, pues: 100 = 10 2, 144 = 12 2, 10000 = 100 2

11 Potencias y raíz cuadrada 9 Raíz cuadrada exacta IMAGEN FINAL Sabemos que los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … son los cuadrados perfectos de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6,... También se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, … son la raíz cuadrada de los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … respectivamente. Se escribe así: Raíz cuadrada exacta de número es otro número que elevado al cuadrado es igual al número dado. La raíz cuadrada es la operación opuesta de elevar al cuadrado Ejemplos: 1º. Como 100 = 10 2, se cumple que 2º. 3º. Ten en cuenta: Como 36 = 6 2 = (–6) 2, 6 y –6 son raíces cuadradas de 36.

12 Potencias y raíz cuadrada 9 Raíz cuadrada exacta IMAGEN FINAL Sabemos que los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … son los cuadrados perfectos de los números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6,... También se dice que 1, 2, 3, 4, 5, 6, … son la raíz cuadrada de los números: 1, 4, 9, 16, 25, 36, … respectivamente. Se escribe así: Raíz cuadrada exacta de número es otro número que elevado al cuadrado es igual al número dado. La raíz cuadrada es la operación opuesta de elevar al cuadrado Ejemplos: 1º. Como 100 = 10 2, se cumple que 2º. 3º. Ten en cuenta: Como 36 = 6 2 = (–6) 2, 6 y –6 son raíces cuadradas de 36.

13 Potencias y raíz cuadrada 11 Cálculo de la raíz cuadrada por aproximaciones (I) IMAGEN FINAL Paso 1º: Determinar el número de cifras de la raíz cuadrada del número dado. Así, por ejemplo: Observa: 1 cifra2 cifras3 cifras 4 cifras 1 y 100 tendrá 1 cifra 100 y 10000 tendrá 2 cifras 10000 y 1000000 tendrá 3 cifras La raíz cuadrada de cualquier número comprendido entre: tendrá 1 cifra tendrá 2 cifras tendrá 3 cifras tendrá 2 cifras De otra manera: Para averiguar el número de cifras de la raíz cuadrada de un número, basta con formar grupos de dos cifras, empezando por la derecha (el último grupo puede estar formado por una sola cifra). La raíz cuadrada tendrá tantas cifras como grupos se hayan formado. entre

14 Potencias y raíz cuadrada 12Números 2001 - Matemáticas 1º ESO Cálculo de la raíz cuadrada por aproximaciones (II) IMAGEN FINAL Paso 2º: Buscar dos cuadrados perfectos entre los cuales esté el número dado. Por ejemplo: Tendrá 3 cifras: será un número entre 100 y 1.000. Otro ejemplo: Como 100 2 = 10.000 < 12.824 < 40.000 = 200 2 (tendrá 2 cifras) · Para determinar la cifra de las decenas calculamos los cuadrados de 110, 120, 130, etc. Como 110 2 = 12.100 y 120 2 = 14.400, 12.100 < 12.834 < 14.400 · Para determinar la cifra de las unidades calculamos los cuadrados de 111, 112, 113, etc. Como: 111 2 = 12.321 12.834 Luego, (con resto 55, pues 12.824 – 113 2 = 55). Probamos con 40 2, 50 2, 60 2, etc. 40 2 = 1600 50 2 = 2500 60 2 = 3600 Calcula por aproximación Luego, Haciendo los cuadrados de 51, 52, …, se observa que: 3456

15 Potencias y raíz cuadrada 13 Regla para el cálculo de la raíz cuadrada (I) IMAGEN FINAL La regla tradicional para el cálculo de la raíz entera de un número requiere una organización específica que indicamos a continuación. Para calcular la raíz de un número, por ejemplo 1º. Se divide el radicando en grupos de dos cifras, empezando por la derecha. 2º. Se trazan líneas que faciliten la aplicación de la regla. 3º. Esta regla tiene pasos parecidos a los empleados en la división; también se restará y se bajarán cifras, pero en este caso por grupos de dos 4º. El último paso consistirá en la comprobación: en la prueba de la radicación: Lugar para la raíz Espacio para pruebas y tanteos Espacio para operar resto 118527 = (raíz) 2 + resto

16 Potencias y raíz cuadrada 14 Regla para el cálculo de la raíz cuadrada (II) IMAGEN FINAL Calculemos 1º. Se calcula la raíz cuadrada del primer grupo de cifras: de 11. Es 3 2º. Se hace el cuadrado de 3 y se resta al primer grupo: a 11 11º. Se hace la prueba: 344 2 + 191 = 118336 + 191 = 118527 3º. Se baja el segundo grupo de cifras: 85 9º. Se resta 2927 – 2736 4º. Se toma el doble de 3 que es 6: a su izquierda se coloca otro número (6d), de modo que (6d·d), dé un número lo más próximo a 285, sin superarlo 7º. Se baja el tercer grupo de cifras: 27 5º. Se resta 285 – 256. Ese número es 4: 64 · 4 = 256 6º. El número d (4) se coloca a la derecha del 3: 34 8º. Se toma el doble de 34, 68, y se procede como en 4º Ese nuevo d vale también 4. Se multiplica: 684 · 4 = 2736. 10º. La cifra 4 se coloca a la derecha de 34: 3 4 4 El número 191 es el resto de la raíz. Por tanto, 3 27 –9 2 2 85 4 6 68 64 · 4 = 256 –2 56 29 684 · 4 = 2736 –27 36 191 4

17 Potencias y raíz cuadrada 16 Resolución de problemas IMAGEN FINAL Tantear para comprender mejor Primero: Problema: Se colocan fichas en filas y en columnas de modo que formen el mayor cuadrado posible. Quedan sin colocar 43 fichas. Si se tuviera 22 fichas más se podría formar un cuadrado sin que sobrara ninguna ficha. ¿Cuántas fichas hay? Hacer un dibujo Segundo: Comprobación. Tercero: Si a 1067 se le suman 22: 1067 + 22 = 1089, que es igual a 33 2. Luego no puede haber 827. El número 28 no es válido. Si ese número fuese 28, se tendría: 28 2 + 43 = 784 + 43 = 827. Observamos que el número de fichas debe ser un cuadrado perfecto más 43 ( fichas sobrantes). Con las fichas que sobran y faltan (43 + 22 = 65), completaríamos un cuadrado de lado 1 unidad mayor. Sumando a ese número 22 (las fichas que faltan) deberá dar otro cuadrado perfecto. Pero, 827 + 22 = 849 no lo es. Sobran 43 Faltan 22 Luego 64, que es 65 – 1, es el doble del lado. (Quitamos 1 por que se repite.) El lado valdrá la mitad de 64: 32. El número de fichas será: 32 2 + 43 = 1067.


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