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La matemática representa el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir.

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5 La matemática representa el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas. Es una ciencia que ya ha cumplido 2000 años de edad, y aunque actualmente está estructurada y organizada, esta operación llevó muchísimo tiempo. En el pasado las matemáticas eran consideradas como la ciencia de la cantidad, referida a las magnitudes (como en la geometría), a los números (como en la aritmética), o a la generalización de ambos (como en el álgebra). Hacia mediados del siglo XIX las matemáticas se empezaron a considerar como la ciencia de las relaciones, o como la ciencia que produce condiciones necesarias. Esta última noción abarca la lógica matemática o simbólica ciencia que consiste en utilizar símbolos para generar una teoría exacta de deducción e inferencia lógica basada en definiciones, axiomas, postulados y reglas que transforman elementos primitivos en relaciones y teoremas más complejos. Trataremos la evolución de los conceptos e ideas matemáticas siguiendo su desarrollo histórico. En realidad, las matemáticas son tan antiguas como la propia humanidad. Ya la encontramos en los diseños prehistóricos de cerámica, tejidos y en las pinturas rupestres (donde se pueden encontrar evidencias del sentido geométrico y del interés en figuras geométricas). Los sistemas de cálculo primitivos estaban basados, seguramente, en el uso de los dedos de una o dos manos, lo que resulta evidente por la gran abundancia de sistemas numéricos en los que las bases son los números 5 y 10. La Matemática.

6 Aquí podemos observar los sistemas de numeración mas utilizados en la antigüedad:

7 Grandes Matemáticos De la Historia … Albert Einstein ( ): Nació en Ulm el 14 de marzo de 1879 y pasó su juventud en Munich, era hijo de un industrial germano-judío, hubo poco en su niñez que presagiara las notables alturas que alcanzaría. En la escuela, no se distinguió, no le gustó el estudio de los idiomas y de la mayoría de las otras asignaturas, y le disgustaba preparar sus lecciones. Detestaba los métodos formales, regimentados, de aprendizaje de memoria y recitación, que estaban en boga en las escuelas alemanas de esa época. Sin embargo, inclusive de niño Einstein tenía una mente inquieta, inquisitiva para los temas que le interesaban. A los cinco años de edad lo fascinó una brújula de su padre y acosaba a éste y a su tío Jake con incesantes preguntas acerca de ella. Las respuestas sobre el magnetismo y la gravitación eran conceptos que lo tenían en vela durante las noches, cuando trataba de descifrar su significado. Sus conocimientos de matemáticas excedían con mucho a lo que sabían sus maestros en la escuela alemana. Eso sólo sirvió para aumentar sus dificultades en ella, pues le guardaban resentimiento. Por último, se le pidió que abandonara el colegio, debido a que no se apegaba a los reglamentos. Decidió ingresar a la Academia Politécnica de Zurich, Suiza. Cuando fue admitido allí, por fin encontró una atmósfera amable y la libertad para dedicarse a las matemáticas y la física.

8 Para descansar, le gustaba tocar el violín y, ocasionalmente, asistir a la ópera. El negocio de su padre no prosperaba, y a Albert no le interesaba hacer una carrera en los negocios. Intentó la enseñanza para ganarse la vida, no tuvo éxito, pues su talento armonizaba más con las investigaciones que con las clases desde la cátedra. Ya para entonces, Alberto Einstein se había casado y tenía dos hijos que sostener. Por fortuna pudo obtener un puesto de empleado en la oficina suiza de patentes. Aunque este puesto era muy tedioso en muchos aspectos, le permitió continuar sus estudios particulares para obtener el doctorado y escribir algunos ensayos científicos. En 1905, cuando todavía trabajaba en la oficina de patentes, publicó una primera versión de la teoría de la relatividad que habría de llamar la atención de todo el mundo científico. En 1910 aceptó una cátedra en la Universidad Alemana de Praga. En 1912 volvió como profesor a la Academia Politécnica de Zurich donde, no hacía muchos años, no había podido aprobar el examen de admisión y se le había negado el puesto más humilde de enseñanza. En 1914 aceptó una cátedra en la Academia Prusiana de Ciencias, donde se le permitió dedicar todo su tiempo a las investigaciones y donde podía disponer del equipo necesario y la ayuda de distinguidos hombres de ciencia. Se quedó allí veinte años. En 1932, cuando Einstein visitaba los Estados Unidos, Hitler subió al poder en Alemania. Einstein no se dejó engañar por los siniestros procedimientos raciales y políticos que comprendían el uso de los científicos alemanes para conquistar el mundo.

9 Cuando renunció a su puesto en la Universidad de Berlín, Hitler puso precio su cabeza. Entonces, Einstein aceptó un puesto de investigador en el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton, Nueva Jersey, diciendo: "Sólo me quedaré en un país en que predominen la libertad política, la tolerancia y la igualdad de todos los ciudadanos ante la ley. En la actualidad, no existen dichas condiciones en Alemania". Se hizo ciudadano norteamericano en En 1939, a solicitud de varios notables hombres de ciencia, aunque seguía siendo pacifista de corazón, escribió una famosa carta el presidente Roosevelt advirtiendo las posibilidades científicas de crear una bomba atómica. La decisión de Roosevelt de seguir el consejo de Einstein y sus colaboradores condujo a la construcción de esta arma fantásticamente destructora. Después de la Segunda Guerra Mundial, Albert Einstein fue un ferviente abogado de la paz del mundo mediante el desarme y el gobierno mundial. Así, a pesar de sus grandes proezas científicas, el tímido, comprensivo y franco adolescente, Alberto Einstein, no había cambiado en la edad adulta. Aborrecía la ostentación y las riquezas materiales, aduciendo: "Estoy absolutamente convencido que ninguna riqueza del mundo puede ayudar a que progrese la humanidad...El mundo necesita paz permanente y buena voluntad perdurable". Y no debemos olvidarnos de Alberto Einstein de Princeton que charlaba informalmente con sus vecinos acerca de sus hijos, sus calificaciones en la escuela y sus enfermedades; que se sometía con paciencia y buen humor a los reporteros de los grandes periódicos y las pequeñas publicaciones estudiantiles; que vestía un viejo suéter y knickers, y fumaba pipa.

10 Fue premiado con un premio Nobel, famoso por ser el autor de las teorías general y restringida de la relatividad y por sus hipótesis sobre la naturaleza corpuscular de la luz. Es probablemente el científico más conocido del siglo XX.

11 PRIMERAS PUBLICACIONES CIENTÍFICAS En 1905 se doctoró en la Universidad de Zurich, con una tesis sobre las dimensiones de las moléculas; también publicó cuatro artículos teóricos de gran valor para el desarrollo de la física del siglo XX. En el primero de ellos, sobre el movimiento browniano, formuló predicciones importantes sobre el movimiento aleatorio de las partículas dentro de un fluido, predicciones que fueron comprobadas en experimentos posteriores. El segundo artículo, sobre el efecto fotoeléctrico, anticipaba una teoría revolucionaria sobre la naturaleza de la luz. Según Einstein, bajo ciertas circunstancias la luz se comportaba como una partícula. También afirmó que la energía que llevaba toda partícula de luz, denominada fotón, era proporcional a la frecuencia de la radiación. Lo representaba con la fórmula E = hu, donde E es la energía de la radiación, h una constante universal llamada constante de Planck y u es la frecuencia de la radiación. Esta teoría, que planteaba que la energía de los rayos luminosos se transfería en unidades individuales llamadas cuantos, contradecía las teorías anteriores que consideraban que la luz era la manifestación de un proceso continuo. Las tesis de Einstein apenas fueron aceptadas. De hecho, cuando el físico estadounidense Robert Andrews Millikan confirmó experimentalmente sus tesis casi una década después, éste se mostró sorprendido e inquieto por los resultados. Einstein, interesado por comprender la naturaleza de la radiación electromagnética, propugnó el desarrollo de una teoría que fusionara las ondas y partículas de la luz. De nuevo fueron muy pocos los científicos que comprendieron y aceptaron estas ideas.

12 TEORÍA ESPECIAL DE LA RELATIVIDAD DE EINSTEIN La tercera publicación de Einstein en 1905, Sobre la electrodinámica de los cuerpos en movimiento, y la cuarta titulada ¿Depende la inercia de un cuerpo de la energía que contiene?, formulaban lo que después llegó a conocerse como la teoría especial de la relatividad (o teoría restringida de la relatividad). Desde los tiempos del matemático y físico inglés Isaac Newton, los filósofos de las ciencias naturales (nombre que recibían los físicos y químicos) habían intentado comprender la naturaleza de la materia y la radiación, y su interacción en algunos modelos unificados del mundo. La hipótesis que sostenía que las leyes mecánicas eran fundamentales se denominó visión mecánica del mundo. La hipótesis que mantenía que eran las leyes eléctricas las fundamentales recibió el nombre de visión electromagnética del mundo. Ninguna de las dos concepciones era capaz de explicar con fundamento la interacción de la radiación (por ejemplo, la luz) y la materia al ser observadas desde diferentes sistemas de inercia de referencia, o sea, la interacción producida en la observación simultánea por una persona parada y otra moviéndose a una velocidad constante. En la primavera de 1905, tras haber reflexionado sobre estos problemas durante diez años, Einstein se dio cuenta de que la solución no estaba en la teoría de la materia sino en la teoría de las medidas. En el fondo de su teoría restringida de la relatividad se encontraba el hallazgo de que toda medición del espacio y del tiempo es subjetiva. Esto le llevó a desarrollar una teoría basada en dos premisas: el principio de la relatividad, según el cual las leyes físicas son las mismas en todos los sistemas de inercia de referencia, y el principio de la invariabilidad de la velocidad de la luz, según el cual la velocidad de la luz en el vacío es constante.

13 De este modo pudo explicar los fenómenos físicos observados en sistemas de inercia de referencia distintos, sin tener que entrar en la naturaleza de la materia o de la radiación y su interacción, pero nadie entendió su razonamiento. En su cuarto artículo, Einstein dedujo la famosísima fórmula E = m·c2 que relaciona la energía (E) con la masa (m) y la velocidad de la luz (c). Como el valor de c es muy elevado, una pequeña masa equivale a una gran cantidad de energía. PRIMERAS REACCIONES A EINSTEIN La dificultad de otros científicos para aceptar la teoría de Einstein no estribaba en sus complejos cálculos matemáticos y su dificultad técnica, sino que partía del concepto que tenía Einstein de las buenas teorías y su relación con la experimentación. Aunque sostenía que la única fuente del conocimiento era la experiencia, también pensaba que las teorías científicas eran creaciones libres de una aguda intuición física, y que las premisas en que se basaban no podían aplicarse de un modo lógico al experimento. Una buena teoría sería, pues, aquella que necesitara los mínimos postulados para explicar un hecho físico. Esta escasez de postulados, característica de la obra de Einstein, provocó que su trabajo no fuera accesible para sus colegas, que le dejaron solo. Aun así, tenía importantes seguidores. Su primer defensor fue el físico alemán Max Planck. Einstein permaneció cuatro años en la oficina de patentes, y luego empezó a destacar dentro de la comunidad científica, y así ascendió en el mundo académico de lengua alemana.

14 Primero fue a la Universidad de Zurich en 1909; dos años más tarde se trasladó a la Universidad de Praga, de lengua alemana, y en 1912 regresó al Instituto Politécnico Nacional de Zurich. Finalmente, en 1913 fue nombrado director del Instituto de Física Kaiser Guillermo en Berlín. LA TEORÍA GENERAL DE LA RELATIVIDAD Antes de dejar la oficina de patentes, en 1907, Einstein ya trabajaba en la extensión y generalización de la teoría de la relatividad a todo sistema de coordenadas. Empezó con el enunciado del principio de equivalencia según el cual los campos gravitacionales son equivalentes a las aceleraciones del sistema de referencia. De este modo, una persona que viajara en un elevador o ascensor no podría en principio determinar si la fuerza que actúa sobre ella se debe a la gravitación o a la aceleración constante del ascensor. Esta teoría general completa de la relatividad no fue publicada hasta De acuerdo con ella, las interacciones entre los cuerpos, que hasta entonces se atribuían a fuerzas gravitacionales, se explican por la influencia de aquéllos sobre la geometría espacio-tiempo (espacio de cuatro dimensiones, una abstracción matemática en la que el tiempo se une, como cuarta dimensión, a las tres dimensiones euclídeas). Basándose en la teoría general de la relatividad, Einstein pudo entender las variaciones hasta entonces inexplicables del movimiento de rotación de los planetas y logró predecir la inclinación de la luz de las estrellas al aproximarse a cuerpos como el Sol.

15 La confirmación de este fenómeno durante un eclipse de Sol en 1919 fue toda una noticia y su fama se extendió por todo el mundo. Einstein consagró gran parte del resto de su vida a generalizar su teoría. Su último trabajo, la teoría del campo unificado, que no tuvo demasiado éxito, consistía en un intento de explicar todas las interacciones físicas, incluidas la interacción electromagnética y las interacciones nucleares fuerte y débil, a través de la modificación de la geometría del espacio-tiempo entre entidades interactivas. La mayoría de sus colegas pensaron que sus esfuerzos iban en dirección equivocada. Entre 1915 y 1930 la corriente principal entre los físicos era el desarrollo de una nueva concepción del carácter fundamental de la materia, conocida como la teoría cuántica. Esta teoría contempla la característica de la dualidad onda-partícula (la luz presenta las propiedades de una partícula, así como las de una onda), que Einstein había intuido como necesaria, y el principio de incertidumbre, que establece que la exactitud de los procedimientos de medición es limitada. Además, esta teoría suponía un rechazo fundamental a la noción estricta de causalidad. Sin embargo, Einstein mantuvo una posición crítica respecto a estas tesis hasta el final de su vida. Dios no juega a los dados con el mundo, llegó a decir.

16 CIUDADANO DEL MUNDO A partir de 1919, Einstein recibió el reconocimiento internacional y acumuló honores y premios de distintas sociedades científicas, como el Nobel de Física en Sus visitas a países de todo el mundo, como la que realizó a España en 1923, impulsada por el matemático Julio Rey Pastor, o las que realizó a Argentina, Uruguay y Brasil en 1925, eran un acontecimiento; le seguían fotógrafos y periodistas. El pacifismo y el sionismo fueron los dos movimientos sociales que recibieron todo su apoyo. Durante la I Guerra Mundial, Einstein fue uno de los pocos académicos alemanes que condenaron públicamente la participación de Alemania en el conflicto. Después de la guerra siguió con sus actividades pacifistas y sionistas, por lo que fue blanco de los ataques de grupos antisionistas y de derechas alemanes. Sus teorías llegaron a ser ridiculizadas en público, especialmente la de la relatividad. Cuando Hitler llegó al poder en 1933, Einstein abandonó Alemania y emigró a Estados Unidos, donde ocupó un puesto en el Instituto de Estudios Superiores en Princeton, Nueva Jersey. Siguió con sus actividades en favor del sionismo pero abandonó su postura pacifista anterior a la vista de la amenaza que suponía para la humanidad el régimen nazi en Alemania. En 1939 Einstein participó junto con otros físicos en la redacción de una carta dirigida al presidente Franklin D. Roosevelt en la que se pedía la creación de un programa de investigación sobre las reacciones en cadena.

17 La carta, que sólo iba firmada por Einstein, consiguió acelerar la fabricación de la bomba atómica, en la que él no participó ni supo de su finalización. En 1945, cuando ya era evidente la existencia de la bomba, Einstein volvió a escribir al presidente para intentar disuadirlo de utilizar el arma nuclear. Después de la guerra, Einstein se convirtió en activista del desarme internacional y del gobierno mundial, y siguió contribuyendo a la causa del sionismo, pero declinó una oferta de los líderes del Estado de Israel para ocupar el cargo de presidente. A finales de la década de 1940 y principios de la de 1950, defendió en Estados Unidos la necesidad de que los intelectuales del país hicieran todo lo posible para mantener la libertad política. Einstein murió el 18 de abril de 1955 en Princeton. Los esfuerzos de Einstein en apoyo de causas sociales fueron a menudo percibidos como poco realistas. Sus propuestas nacían de razonamientos cuidadosamente elaborados. Al igual que sus teorías, eran fruto de una asombrosa intuición basada en cuidadosas y astutas valoraciones y en la observación. A pesar de su actividad en favor de causas políticas y sociales, la ciencia siempre ocupó el primer lugar en su vida, pues, como solía decir, sólo el descubrimiento de la naturaleza del Universo tiene un sentido duradero. Entre sus obras se encuentran La relatividad: la teoría especial y restringida (1916); Sobre el sionismo (1931); Los constructores del Universo (1932); ¿Por qué la guerra? (1933), con Sigmund Freud; El mundo como yo lo veo (1934); La evolución de la Física (1938) con el físico polaco Leopold Infeld, y En mis últimos años (1950). La colección de los artículos de Einstein comenzó a publicarse en 1987 en varios volúmenes.

18 Nació: 14 de Marzo de 1879 en Ulm, Alemania. Falleció: 18 de Abril de 1955 en Princeton, New Jersey, USA

19 Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.): Era originario de la isla de Samos, situado en el Mar Egeo. En la época de este filósofo la isla era gobernada por el tirano Polícrates. Como el espíritu libre de Pitágoras no podía avenirse a esta forma de gobierno, emigró hacia el occidente, fundando en Crotona (al sur de Italia) una asociación que no tenía el carácter de una escuela filosófica sino el de una comunidad religiosa. Por este motivo, puede decirse que las ciencias matemáticas han nacido en el mundo griego de una corporación de carácter religioso y moral. Ellos se reunían para efectuar ciertas ceremonias, para ayudarse mutuamente, y aun para vivir en comunidad. En la Escuela Pitagórica podía ingresar cualquier persona, ¡hasta mujeres!. En ese entonces, y durante mucho tiempo y en muchos pueblos, las mujeres no eran admitidas en la escuelas. Se dice que Pitágoras se casó con una de las alumnas. El símbolo de la Escuela de Pitágoras y por medio del cual se reconocían entre sí, era el pentágono estrellado, que ellos llamaban pentalfa (cinco alfas). Debido a la influencia política que tuvo la Escuela en esa época, influencia que era contraria a las ideas democráticas existentes, se produjo, tal vez, después del año 500 una revuelta contra ellos, siendo maltratados e incendiadas sus casas. Pitágoras se vio obligado a huir a Tarento, situada al sur de Italia. Algunos piensan que un año más tarde murió asesinado en otra revuelta popular en Metaponto. Se debe a Pitágoras el carácter esencialmente deductivo de la Geometría y el encadenamiento lógico de sus proposiciones, cualidades que conservan hasta nuestros días.

20 La base de su filosofía fue la ciencia de los números, y es así como llegó a atribuirles propiedades físicas a las cantidades y magnitudes. Es así como el número cinco era el símbolo de color; la pirámide, el del fuego; un sólido simbolizaba la tétrada, es decir, los cuatro elementos esenciales: tierra, aire, agua y fuego. El filósofo y matemático griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón. Pitágoras fue instruido en las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530 a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos religiosos, políticos y filosóficos, conocido como pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo a través de la obra de sus discípulos.

21 DOCTRINAS BÁSICAS Los pitagóricos asumieron ciertos misterios, similares en muchos puntos a los enigmas del orfismo. Aconsejaban la obediencia y el silencio, la abstinencia de consumir alimentos, la sencillez en el vestir y en las posesiones, y el hábito del autoanálisis. Los pitagóricos creían en la inmortalidad y en la transmigración del alma. Se dice que el propio Pitágoras proclamaba que él había sido Euphorbus, y combatido durante la guerra de Troya, y que le había sido permitido traer a su vida terrenal la memoria de todas sus existencias previas. TEORÍA DE LOS NÚMEROS Entre las amplias investigaciones matemáticas realizadas por los pitagóricos se encuentran sus estudios de los números pares e impares y de los números primos y de los cuadrados, esenciales en la teoría de los números. Desde este punto de vista aritmético, cultivaron el concepto de número, que llegó a ser para ellos el principio crucial de toda proporción, orden y armonía en el universo. A través de estos estudios, establecieron una base científica para las matemáticas. En geometría el gran descubrimiento de la escuela fue el teorema de la hipotenusa, conocido como teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados.

22 ASTRONOMÍA La astronomía de los pitagóricos marcó un importante avance en el pensamiento científico clásico, ya que fueron los primeros en considerar la tierra como un globo que gira junto a otros planetas alrededor de un fuego central. Explicaron el orden armonioso de todas las cosas como cuerpos moviéndose de acuerdo a un esquema numérico, en una esfera de la realidad sencilla y omnicomprensiva. Como los pitagóricos pensaban que los cuerpos celestes estaban separados unos de otros por intervalos correspondientes a longitudes de cuerdas armónicas, mantenían que el movimiento de las esferas da origen a un sonido musical, la llamada armonía de las esferas. Nació: alrededor del 580 AC en Samos, Ionia Falleció: alrededor del 500 AC en Metapontum, Lucania

23 Platón (c. 428-c. 347 a.C.) : Platón se veía como un hombre joven que ha sido puesto en una carrera política. Los excesos de una vida política del ateniense parecen haberlo persuadido a rendirse a las ambiciones políticas. En particular la ejecución de Sócrates en el año 399 AC tuvo un efecto muy profundo en él. Platón estudió primeramente filosofía con su gran maestro Sócrates. Después estudió matemáticas con Arquitas de Tarento y con Teodoro de Cirene. Asimismo viajó por Egipto, Sicilia e Italia en compañía del matemático Eudoxio. A su regreso fundó en Atenas su famosa escuela filosófica: La Academia. Sin lugar a dudas Platón es mejor conocido por su obra filosófica. Sin embargo, su influencia en las matemáticas helénicas es bastante considerable. Creía que era imposible estudiar la Filosofía sin el conocimiento previo de las matemáticas. Tal vez sea éste el motivo por el cual hizo colocar, a la entrada de la Academia, su célebre y significativa frase: no entres aquí si no eres geometra. Esta y otras proposiciones como los números gobiernan al mundo, nos hacen ver que estaba directamente influenciado por las teorías pitagóricas. Primeramente se deben a él algunas reglas metodológicas, dogmatizando en la Geometría el uso exclusivo de la regla y el compás, lo que se aceptó en tiempos posteriores y aún en nuestros días. Pensaba Platón que los geómetras se rebajaban cuando usaban otros instrumentos que no fueran los mencionados.Teodoro de Cirene

24 Se debe también a este filósofo las directivas que debían darse en la enseñanza de la Geometría; es decir, la organización de la exposición geométrica desde el punto de vista lógico, como debe enseñarse y que camino debe seguirse. Se debe a Platón la mayor claridad de las definiciones, axiomas y postulados. Según Platón, el estudio de la Geometría debía empezarse en el orden siguiente: 1.-Definiciones 2.-Axiomas 3.-Postulados 4.-Teoremas A esta directiva de Platón se adaptaron los matemáticos posteriores a él, principalmente Euclides.Euclides

25 VIDA Originalmente llamado Aristocles, Platón (apodo que recibió por el significado de este término en griego, el de anchas espaldas) nació en el seno de una familia aristocrática en Atenas. Su padre, Aristón, era, al parecer, descendiente de los primeros reyes de Atenas, mientras que su madre, Perictione, descendía de Dropides, perteneciente a la familia del legislador del siglo VI a.C. Solón. Su padre falleció cuando él era aún un niño y su madre se volvió a casar con Pirilampes, colaborador del estadista Pericles. De joven, Platón tuvo ambiciones políticas pero se desilusionó con los gobernantes de Atenas. Más tarde fue discípulo de Sócrates, aceptó su filosofía y su forma dialéctica de debate: la obtención de la verdad mediante preguntas, respuestas y más preguntas. Aunque se trata de un episodio muy discutido, que algunos estudiosos consideran una metáfora literaria sobre el poder, Platón fue testigo de la muerte de Sócrates durante el régimen democrático ateniense en el año 399 a.C. Temiendo tal vez por su vida, abandonó Atenas algún tiempo y viajó a Megara y Siracusa. En el 387 a.C. Platón fundó en Atenas la Academia, institución a menudo considerada como la primera universidad europea. Ofrecía un amplio plan de estudios, que incluía materias como Astronomía, Biología, Matemáticas, Teoría Política y Filosofía. Aristóteles fue su alumno más destacado. Con la intención de conjugar la filosofía y la posibilidad de aplicar reformas políticas viajó a Sicilia en el año 367 a.C., para convertirse en tutor del nuevo tirano de Siracusa, Dionisio II el Joven.

26 El experimento fracasó. Platón todavía realizó un tercer viaje a Siracusa en el 361 a.C., pero una vez más su participación en los acontecimientos sicilianos tuvo poco éxito. Pasó los últimos años de su vida impartiendo conferencias en la Academia y escribiendo. Falleció en Atenas a una edad próxima a los 80 años, posiblemente en el año 348 o 347 a.C. OBRA Los escritos de Platón adoptaban la forma de diálogos, a través de las cuales se exponían, se discutían y se criticaban ideas filosóficas en el contexto de una conversación o un debate en el que participaban dos o más interlocutores. El primer grupo de escritos de Platón incluye 35 diálogos y 13 cartas. Se ha cuestionado la autenticidad de algunos diálogos y de la mayoría de las cartas. Primeros diálogos Los diálogos platónicos pueden ser divididos en cuatro etapas de composición. La primera representa el intento de Platón de comunicar la filosofía y el estilo dialéctico de Sócrates. Algunos de esos diálogos tienen el mismo argumento. Sócrates se encuentra con alguien que dice saber mucho, él manifiesta ser ignorante y pide ayuda al que afirma saber. Sin embargo, conforme Sócrates empieza a hacer preguntas, se hace patente que quien se dice sabio realmente no sabe lo que afirma saber y que Sócrates aparece como el más sabio de los dos personajes porque, por lo menos, él sabe que no sabe nada.

27 Ese conocimiento, por supuesto, es el principio de la sabiduría. Dentro de este grupo de diálogos se encuentran Eutifrón (una consideración sobre la naturaleza de la piedad y la religión), Laques (una búsqueda del significado del valor), Cármides (un intento por definir la templanza), la Apología de Sócrates (donde narra la defensa que de sí mismo ejerció Sócrates en el juicio que le condujo a la muerte) y Protágoras (una defensa de la tesis de que la virtud es conocimiento y que es posible aprenderla). Diálogos de transición, madurez y vejez Los diálogos de los periodos intermedio y último de la vida de Platón reflejan su propia evolución filosófica. Las ideas de esas obras se atribuyen al propio Platón, aunque Sócrates sigue siendo el personaje principal en muchas de ellas. Los escritos del periodo de transición abarcan, entre otros diálogos, Gorgias (una reflexión sobre distintas cuestiones éticas), Menón (una discusión sobre la naturaleza del conocimiento), Lisis (una discusión sobre la amistad) y el libro I de La República (una discusión sobre la justicia). Entre sus diálogos de madurez cabe citar El Banquete (destacada realización dramática de Platón que contiene varios discursos sobre la belleza y el amor), Crátilo (sobre el lenguaje), Fedón (escena de la muerte de Sócrates, en la que discute sobre la teoría de las ideas, la naturaleza del alma y la cuestión de la inmortalidad), Fedro (sobre la belleza y el amor) y los libros II al X de La República (que constituyen una detallada discusión sobre la naturaleza de la justicia). Entre los trabajos del periodo de vejez se encuentran Teeteto (una negación de que el conocimiento tiene que ser identificado con el sentido de percepción), Parménides (una evaluación crítica de la teoría de las ideas),

28 El Sofista (una reflexión posterior sobre las ideas o las formas), Filebo (discusión sobre la relación entre el placer y el bien), Timeo (ideas de Platón sobre las ciencias naturales y la cosmología) y Las Leyes (un análisis más práctico de las cuestiones políticas y sociales). TEORÍA DE LAS IDEAS El centro de la filosofía de Platón lo constituye su teoría de las formas o de las ideas. En el fondo, su idea del conocimiento, su teoría ética, su psicología, su concepto del Estado y su concepción del arte deben ser entendidos a partir de dicha perspectiva. Teoría del conocimiento La teoría de las ideas de Platón y su teoría del conocimiento están tan interrelacionadas que deben ser tratadas de forma conjunta. Influido por Sócrates, Platón estaba persuadido de que el conocimiento se puede alcanzar. También estaba convencido de dos características esenciales del conocimiento. Primera, el conocimiento debe ser certero e infalible. Segunda, el conocimiento debe tener como objeto lo que es en verdad real, en contraste con lo que lo es sólo en apariencia. Ya que para Platón lo que es real tiene que ser fijo, permanente e inmutable, identificó lo real con la esfera ideal de la existencia en oposición al mundo físico del devenir. Una consecuencia de este planteamiento fue su rechazo del empirismo, la afirmación de que todo conocimiento se deriva de la experiencia.

29 Pensaba que las proposiciones derivadas de la experiencia tienen, a lo sumo, un grado de probabilidad. No son ciertas. Más aun, los objetos de la experiencia son fenómenos cambiantes del mundo físico, por lo tanto los objetos de la experiencia no son objetos propios del conocimiento. La teoría del conocimiento de Platón quedó expuesta principalmente en La República, en concreto en su discusión sobre la imagen de la línea divisible y el mito de la caverna. En la primera, Platón distingue entre dos niveles de saber: opinión y conocimiento. Las declaraciones o afirmaciones sobre el mundo físico o visible, incluyendo las observaciones y proposiciones de la ciencia, son sólo opinión. Algunas de estas opiniones están bien fundamentadas y otras no, pero ninguna de ellas debe ser entendida como conocimiento verdadero. El punto más alto del saber es el conocimiento, porque concierne a la razón en vez de a la experiencia. La razón, utilizada de la forma debida, conduce a ideas que son ciertas y los objetos de esas ideas racionales son los universales verdaderos, las formas eternas o sustancias que constituyen el mundo real. El mito de la caverna describe a personas encadenadas en la parte más profunda de una caverna. Atados de cara a la pared, su visión está limitada y por lo tanto no pueden distinguir a nadie. Lo único que se ve es la pared de la caverna sobre la que se reflejan modelos o estatuas de animales y objetos que pasan delante de una gran hoguera resplandeciente.

30 Uno de los individuos huye y sale a la luz del día. Con la ayuda del Sol, esta persona ve por primera vez el mundo real y regresa a la caverna diciendo que las únicas cosas que han visto hasta ese momento son sombras y apariencias y que el mundo real les espera en el exterior si quieren liberarse de sus ataduras. El mundo de sombras de la caverna simboliza para Platón el mundo físico de las apariencias. La escapada al mundo soleado que se encuentra en el exterior de la caverna simboliza la transición hacia el mundo real, el universo de la existencia plena y perfecta, que es el objeto propio del conocimiento. Naturaleza de las ideas La teoría de las ideas se puede entender mejor en términos de entidades matemáticas. Un círculo, por ejemplo, se define como una figura plana compuesta por una serie de puntos, todos equidistantes de un mismo lugar. Sin embargo, nadie ha visto en realidad esa figura. Lo que la gente ha visto son figuras trazadas que resultan aproximaciones más o menos acertadas del círculo ideal. De hecho, cuando los matemáticos definen un círculo, los puntos mencionados no son espaciales, sino lógicos. No ocupan espacio. No obstante, aunque la forma de un círculo no se ha visto nunca y no se podrá ver jamás los matemáticos y otros sí saben lo que es. Para Platón, por lo tanto, la forma de círculo existe, pero no en el mundo físico del espacio y del tiempo. Existe como un objeto inmutable en el ámbito de las ideas, que sólo puede ser conocido mediante la razón.

31 Las ideas tienen mayor entidad que los objetos en el mundo físico tanto por su perfección y estabilidad como por el hecho de ser modelos, semejanzas que dan a los objetos físicos comunes lo que tienen de realidad. Las formas circular, cuadrada y triangular son excelentes ejemplos de lo que Platón entiende por idea. Un objeto que existe en el mundo físico puede ser llamado círculo, cuadrado o triángulo porque se parece (participa de en palabras de Platón) a la idea de círculo, cuadrado o triángulo. Platón hizo extensiva su teoría más allá del campo de las matemáticas. En realidad, estaba más interesado en su aplicación en la esfera de la ética social. La teoría era su forma de explicar cómo el mismo término universal puede referirse a muchas cosas o acontecimientos particulares. La palabra justicia, por ejemplo, puede aplicarse a centenares de acciones concretas porque esos actos tienen algo en común, se parecen a, participan de, la idea de justicia. Una persona es humana porque se parece a, o participa de, la idea de humanidad. Si humanidad se define en términos de ser un animal racional, entonces una persona es humana porque es racional. Un acto particular puede considerarse valeroso o cobarde porque participa de esa idea. Un objeto es bonito porque participa de la idea, o forma, de belleza. Por lo tanto, cada cosa en el mundo del espacio y el tiempo es lo que es en virtud de su parecido con su idea universal. La habilidad para definir el término universal es la prueba de que se ha conseguido dominar la idea a la que ese universal hace referencia.

32 Platón concibió las ideas de manera jerárquica: la idea suprema es la de Dios que, como el Sol en el mito de la caverna, ilumina todas las demás ideas. La idea de Dios representa el paso de Platón en la dirección de un principio último de explicación. En el fondo, la teoría de las ideas está destinada a explicar el camino por el que uno alcanza el conocimiento y también cómo las cosas han llegado a ser lo que son. En lenguaje filosófico, la teoría de las ideas de Platón es tanto una tesis epistemológica (teoría del conocimiento) como una tesis ontológica (teoría del ser). TEORÍA POLÍTICA La República, la mayor obra política de Platón, trata de la cuestión de la justicia y por lo tanto de las preguntas ¿qué es un Estado justo? y ¿quién es un individuo justo?. El Estado ideal, según Platón, se compone de tres clases. La estructura económica del Estado reposa en la clase de los comerciantes. La seguridad, en los militares, y el liderazgo político es asumido por los reyes-filósofos. La clase de una persona viene determinada por un proceso educativo que empieza en el nacimiento y continúa hasta que esa persona ha alcanzado el máximo grado de educación compatible con sus intereses y habilidades. Los que completan todo el proceso educacional se convierten en reyes-filósofos. Son aquellos cuyas mentes se han desarrollado tanto que son capaces de entender las ideas y, por lo tanto, toman las decisiones más sabias. En realidad, el sistema educacional ideal de Platón está, ante todo, estructurado para producir reyes-filósofos.

33 Asoció las virtudes tradicionales griegas con la estructura de clase del Estado ideal. La templanza es la única virtud de la clase artesana, el valor es la virtud de la clase militar y la sabiduría caracteriza a los gobernantes. La justicia, la cuarta virtud, caracteriza a la sociedad en su conjunto. El Estado justo es aquel en el que cada clase debe llevar a cabo su propia función sin entrar en las actividades de las demás clases. Platón aplicó al análisis del alma humana un esquema semejante: la racional, la voluntad y los apetitos. Una persona justa es aquella cuyo elemento racional, ayudado por la voluntad, controla los apetitos. Existe una evidente analogía con la estructura del Estado anterior, en la que los reyes-filósofos, ayudados por los soldados, gobiernan al resto de la sociedad. ÉTICA La teoría ética de Platón descansa en la suposición de que la virtud es conocimiento y que éste puede ser aprendido. Dicha doctrina debe entenderse en el conjunto de su teoría de las ideas. Como ya se ha dicho, la idea última para Platón es la idea de Dios, y el conocimiento de esa idea es la guía en el trance de adoptar una decisión moral. Mantenía que conocer a Dios es hacer el bien. La consecuencia de esto es que aquel que se comporta de forma inmoral lo hace desde la ignorancia.

34 Esta conclusión se deriva de su certidumbre de que una persona virtuosa es realmente feliz y como los individuos siempre desean su propia felicidad, siempre ansían hacer aquello que es moral. ARTE Platón tenía una idea antagónica del arte y del artista aunque aprobara algunos tipos de arte religioso y moralista. Su enfoque tiene que ver una vez más con su teoría de las ideas. Una flor bonita, por ejemplo, es una copia o imitación de las ideas universales de flor y belleza. La flor física es una reproducción de la realidad, es decir, de las ideas. Un cuadro de la flor es, por lo tanto, una reproducción secundaria de la realidad. Esto también significa que el artista es una reproducción de segundo orden del conocimiento y, en realidad, la crítica frecuente de Platón hacia los artistas era que carecían de un conocimiento verdadero de lo que estaban haciendo. La creación artística, observó, parecía tener sus raíces en una inspirada locura. INFLUENCIA La influencia de Platón a través de la historia de la filosofía ha sido inmensa. Su Academia existió hasta el año 529, en que fue cerrada por orden del emperador bizantino Justiniano I, que se oponía a la difusión de sus enseñanzas paganas. El impacto de Platón en el pensamiento judío es obvio en la obra del filósofo alejandrino del siglo I Filón de Alejandría.

35 El neoplatonismo, fundado en el siglo III por el filósofo Plotino, supuso un importante desarrollo posterior de las ideas de Platón. Los teólogos Clemente de Alejandría, Orígenes y san Agustín de Hipona fueron los primeros exponentes cristianos de una perspectiva platónica. Las ideas platónicas tuvieron un papel crucial en el desarrollo del cristianismo y también en el pensamiento islámico medieval. Durante el renacimiento, el primer centro de influencia platónica fue la Academia Florentina, fundada en el siglo XV cerca de Florencia. Bajo la dirección de Marsilio Ficino, sus miembros estudiaron a Platón en griego antiguo. En Inglaterra, el platonismo fue recuperado en el siglo XVII por Ralph Cudworth y otros que se dieron a conocer como la Escuela de Cambridge. La influencia de Platón ha llegado hasta el siglo XX de la mano de pensadores como Alfred North Whitehead, que una vez le rindió tributo al describir la filosofía como una simple serie de anotaciones de Platón. Nació: 428 AC en Atenas, Grecia Falleció: 347 AC en Atenas, Grecia

36 Arquímedes ( a.C.): notable matemático e inventor griego, que escribió importantes obras sobre geometría plana y del espacio, aritmética y mecánica. Nació en Siracusa, Sicilia, y se educó en Alejandría, Egipto. En el campo de las matemáticas puras, se anticipó a muchos de los descubrimientos de la ciencia moderna, como el cálculo integral, con sus estudios de áreas y volúmenes de figuras sólidas curvadas y de áreas de figuras planas. Demostró también que el volumen de una esfera es dos tercios del volumen del cilindro que la circunscribe. En mecánica, Arquímedes definió la ley de la palanca y se le reconoce como el inventor de la polea compuesta. Durante su estancia en Egipto inventó el tornillo sin fin para elevar el agua de nivel. Arquímedes es conocido sobre todo por el descubrimiento de la ley de la hidrostática, el llamado principio de Arquímedes, que establece que todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta una pérdida de peso igual al peso del volumen del fluido que desaloja (véase Mecánica de fluidos). Se dice que este descubrimiento lo hizo mientras se bañaba, al comprobar cómo el agua se desplazaba y se desbordaba. Arquímedes pasó la mayor parte de su vida en Sicilia, en Siracusa y sus alrededores, dedicado a la investigación y los experimentos. Aunque no tuvo ningún cargo público, durante la conquista de Sicilia por los romanos se puso a disposición de las autoridades de la ciudad y muchos de sus instrumentos mecánicos se utilizaron en la defensa de Siracusa.

37 Entre la maquinaria de guerra cuya invención se le atribuye está la catapulta y un sistema de espejos quizá legendario que incendiaba las embarcaciones enemigas al enfocarlas con los rayos del sol. Al ser conquistada Siracusa, durante la segunda Guerra Púnica, fue asesinado por un soldado romano que le encontró dibujando un diagrama matemático en la arena. Se cuenta que Arquímedes estaba tan absorto en las operaciones que ofendió al intruso al decirle: No desordenes mis diagramas. Todavía subsisten muchas de sus obras sobre matemáticas y mecánica, como el Tratado de los cuerpos flotantes, El arenario y Sobre la esfera y el cilindro. Todas ellas muestran el rigor y la imaginación de su pensamiento matemático. Las mayores contribuciones de Arquímedes fueron en geometría. Sus métodos anticipados de cálculo integral años antes de Newton y Leibniz. Arquímedes era un nativo de Siracusa, Sicilia y estudió en Alejandría, volviendo en seguida a su patria. Dedicó su genio a la geometría, mecánica, física e Ingeniería. Su geometría es una geometría de la medida. Efectúa cuadraturas de superficies planas y curvas. Escribió varias obras las cuales se han ordenado según la época en que fueron escritas:NewtonLeibniz

38 1. Esfera y cilindro. 2. Medida del círculo. 3. Gnoides y esferoides. 4. Espirales. 5. Equilibrio de los planos y sus centros de gravedad. 6. Cuadratura de la parábola. 7. El arenario. 8. Cuerpos flotantes. 9. Los lemas. 10. El método. Arquímedes demostró que la superficie de una esfera es cuatro veces la de uno de sus círculos máximos. Calculó áreas de zonas esféricas y el volumen de segmentos de una esfera. Demostró que " El área de un casquete esférico es igual a la superficie de un círculo que tiene por radio la recta que une el centro del casquete con punto de la circunferencia basal". El problema al cual le atribuía gran importancia era el de demostrar que "El volumen de una esfera inscrita en un cilindro es igual a 2/3 del volumen del cilindro". Como postrer homenaje se colocó una esfera inscrita en un cilindro. Asimismo demostró Arquímedes que la superficie de esta esfera era también los 2/3 de la superficie del cilindro. Es tal vez más interesante su trabajo sobre Medida del circulo. Trata de la rectificación de la circunferencia y el área del círculo.

39 Arquímedes es el primero que hizo un intento verdaderamente positivo sobre el cálculo de p=Pí asignándole un valor entre 3(10/71). El método que empleó consiste en calcular los perímetros de los polígonos regulares inscritos y circunscritos a un mismo círculo. Admite, sin demostrarlos, los principios siguientes: 1. " La línea recta es la más corta entre 2 puntos." 2. " De 2 líneas cóncavas hacia el mismo lado y que tienen los mismos extremos, es mayor la que queda fuera de la otra".- ó como diríamos ahora " es mayor la línea circundante que la circundada". Este principio lo aplica al círculo y a los polígonos inscritos y circunscritos" 3. " De 2 superficies que pasan por una misma curva cerrada, cóncavas hacia un mismo lado, es mayor la exterior." También demuestra que "un círculo es equivalente a un triángulo que tiene por base la circunferencia y por altura el radio. En otra de sus obras se refiere a la mecánica, especialmente a los principios de la palanca. Su punto de partida lo constituyen dos principios fundamentales, que bien pueden considerarse como axiomas del mecánica. 1. "Si se tiene una palanca en cuyos extremos actúan pesos iguales, la palanca se equilibrará colocando el punto de apoyo en el medio de ella." 2. "Un peso se puede descomponer en dos mitades actuando a igual distancia del punto medio de la palanca". Basándose en estos dos principios estableció las leyes de la palanca.

40 Conocida es su famosa fase para hacer resaltar la aplicación de la palanca como máquina multiplicadora de fuerza: Deduce un punto de apoyo y os levantaré el mundo" Cuenta la historia que Arquímedes un día que se encontraba en el baño observó que sus piernas podía levantarla fácilmente cuando estaban sumergidas. Esta fue la chispa que le permitió llegar a lo que ahora conocemos como "Principios de Arquímedes". Fue tan grande el entusiasmo que le produjo el descubrimiento de su principio que tomó la corona en una mano y salió desnudo del baño corriendo por las calles de Siracusa y gritando su célebre exclamación de júbilo: " ¡ Eureka!, ¡ eureka! "que quiere decir "ya lo encontré". Lo que había hallado era un método para determinar la densidad de los cuerpos tomando como unidad la del agua. Es cierto que los conocimientos y descubrimientos matemáticos de Arquímedes son notables; sin embargo, son tal vez más importantes sus aportes y descubrimientos hechos en la Física". En efecto, fuera del principio de la hidrostática ya nombrado anteriormente y de cuya importancia no es necesario insistir, inventó un sistema de poleas, el torno, la rueda dentada, el tornillo sinfín y una serie de por lo menos cuarenta inventos. Entre ellos es curioso mencionar un tornillo sinfín que se usaba para extraer el agua que había entrado a un barco, a los campos inundados por el Nilo, etc. En el campo militar se le debe la invención de catapultas, de garfios movidos por palancas para inventos mecánicos y ópticos logró defender durante tres años a Siracusa que estaba sitiada por los romanos.

41 Dícese que empleando espejos "ustorios" que son espejos cóncavos de gran tamaño, logro concentrar los rayos solares sobre la flota romana incendiándola. Finalmente, el año 212 cayó Siracusa en manos de los romanos siendo Arquímedes asesinado por un soldado a pesar de haber ordenado el cónsul Marcelo respetar la vida del sabio. Nació: 287 AC en Siracusa, Sicilia Falleció: 212 AC en Siracusa, Sicilia

42 Apolonio de Perga Falleció Alrededor del 190 A.C en alejandría, Egipto; Nació Alrededor del 262 A.C. en Perga, Grecia Ionia (Ahora Turquía): Apolonio fue conocido como "El gran geómetra", su famoso libro "Secciones Cónicas" introdujo los términos: parábola, elipse e hipérbola espiral. Apolonio de Perga estudió en Alejandría y luego visitó Pérgamo en donde han sido construidas una biblioteca y una universidad semejantes a la de Alejandría. Mientras, Apolonio, "El gran geómetra", estuvo en Pergamo escribió la primera edición de su famoso libro "Secciones Cónicas". que consta de 8 libros. Los libros del 1 al 4 no contienen material original pero introducen las propiedades básicas de cónicas que fueron conocidas por Euclídes, Aristóteles y otros. Los libros del 5 al 7 son originales; en estos discute y muestra como muchas de las cónicas pueden ser dibujadas desde un punto. El da proposiciones determinando el centro de curvatura lo cual conduce inmediatamente a la ecuación cartesiana del desarrollo de la evolución. Muchos de sus otros libros están perdidos, el libro número 8 de "Secciones Cónicas" está perdido, mientras que los libros del 5 al 7 sólo existen en traducción Arábica; sin embargo nosotros conocemos algunos de sus otros trabajos a partir de los escritos de otros personajes. Sabemos que él obtuvo una aproximación de pi entre 22/7

43 El fue también un importante fundador de la astronomía matemática griega, la cual usó modelos geométricos para explicar la teoría planetaria. Geometría (del griego geô, 'tierra'; metrein, 'medir'), rama de las matemáticas que se ocupa de las propiedades del espacio. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros campos de la geometría son la geometría analítica, geometría descriptiva, topología, geometría de espacios con cuatro o más dimensiones, geometría fractal, y geometría no euclídea. GEOMETRÍA DEMOSTRATIVA PRIMITIVA El origen del término geometría es una descripción precisa del trabajo de los primeros geómetras, que se interesaban en problemas como la medida del tamaño de los campos o el trazado de ángulos rectos para las esquinas de los edificios. Este tipo de geometría empírica, que floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia, fue refinado y sistematizado por los griegos. En el siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la piedra angular de la geometría científica al demostrar que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría empírica se pueden deducir como conclusiones lógicas de un número limitado de axiomas, o postulados.

44 Estos postulados fueron considerados por Pitágoras y sus discípulos como verdades evidentes; sin embargo, en el pensamiento matemático moderno se consideran como un conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios. Un ejemplo típico de los postulados desarrollados y aceptados por los matemáticos griegos es la siguiente afirmación: "una línea recta es la distancia más corta entre dos puntos". Un conjunto de teoremas sobre las propiedades de puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos de cualquier triángulo es igual a la suma de dos ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados" (conocido como teorema de Pitágoras). La geometría demostrativa de los griegos, que se ocupaba de polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales, fue mostrada rigurosamente por el matemático griego Euclides, en su libro Los elementos. El texto de Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días. PRIMEROS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS Los griegos introdujeron los problemas de construcción, en los que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de una línea recta dos veces más larga que una recta dada, o de una recta que divide un ángulo dado en dos ángulos iguales.

45 Tres famosos problemas de construcción que datan de la época griega se resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir un cuadrado con área igual a un círculo determinado) y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en tres partes iguales). Ninguna de estas construcciones es posible con la regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura del círculo no fue finalmente demostrada hasta Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas. Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi (p), la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71. GEOMETRÍA ANALÍTICA La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado El Discurso del Método, publicado en 1637, hizo época.

46 Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna. Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro. Un ejemplo sencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1. Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas líneas están en una recta. De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cónica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas líneas se cortan en un punto único. Este teorema se denomina proyectivo, pues es cierto para todas las cónicas, y éstas se pueden transformar de una a otra utilizando las proyecciones apropiadas, como en la figura 3, que muestra que la proyección de una circunferencia es una elipse en el otro plano.

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48 MODERNOS AVANCES La geometría sufrió un cambio radical de dirección en el siglo XIX. Los matemáticos Carl Friedrich Gauss, Nikolái Lobachevski, y János Bolyai, trabajando por separado, desarrollaron sistemas coherentes de geometría no euclídea. Estos sistemas aparecieron a partir de los trabajos sobre el llamado "postulado paralelo" de Euclides, al proponer alternativas que generan modelos extraños y no intuitivos de espacio, aunque, eso sí, coherentes. Casi al mismo tiempo, el matemático británico Arthur Cayley desarrolló la geometría para espacios con más de tres dimensiones. Imaginemos que una línea es un espacio unidimensional. Si cada uno de los puntos de la línea se sustituye por una línea perpendicular a ella, se crea un plano, o espacio bidimensional. De la misma manera, si cada punto del plano se sustituye por una línea perpendicular a él, se genera un espacio tridimensional. Yendo más lejos, si cada punto del espacio tridimensional se sustituye por una línea perpendicular, tendremos un espacio tetradimensional. Aunque éste es físicamente imposible, e inimaginable, es conceptualmente sólido. El uso de conceptos con más de tres dimensiones tiene un importante número de aplicaciones en las ciencias físicas, en particular en el desarrollo de teorías de la relatividad. También se han utilizado métodos analíticos para estudiar las figuras geométricas regulares en cuatro o más dimensiones y compararlas con figuras similares en tres o menos dimensiones. Esta geometría se conoce como geometría estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque de la geometría es la definición de la figura geométrica más sencilla que se puede dibujar en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o más dimensiones.

49 En los cuatro primeros casos, las figuras son los bien conocidos punto, línea, triángulo y tetraedro respectivamente. En el espacio de cuatro dimensiones, se puede demostrar que la figura más sencilla está compuesta por cinco puntos como vértices, diez segmentos como aristas, diez triángulos como caras y cinco tetraedros. El tetraedro, analizado de la misma manera, está compuesto por cuatro vértices, seis segmentos y cuatro triángulos. Otro concepto dimensional, el de dimensiones fraccionarias, apareció en el siglo XIX. En la década de 1970 el concepto se desarrolló como la geometría fractal.

50 Euclides( 325 a.C a C.) : Euclides es, sin lugar a dudas, uno de Los tres mayores matemáticos de la Antigüedad junto a Arquímedes y a Apolonio. Quizás sea el más nombrado y también uno de Los mayores de todos los tiempos. Se conoce poco de La vida de Euclides, sin embargo, su obra sí es ampliamente conocida. Todo Lo que sabemos de su vida nos ha Llegado a través de los comentarios de un historiador griego llamado Proclo. Sabemos que vivió en Alejandría, al parecer en torno al año 300 a.C. convocado por Tolomeo para fundar una escuela de estudios matemáticos LLamada Primera Escuela de Alejandría. Por otra parte también se dice que estudió en la escuela fundada por Platón. El nombre de Euclides está indisolublemente Ligado a la geometría, al escribir su famosa obra Los Elementos. Este es el libro más famoso de La Historia de la Matemática. Esta obra está constituida por trece libros, cada uno de los cuales consta de una sucesión de teoremas y en éL se exponen las bases esenciales de la geometría. A veces se añaden otros dos, Los Libros 14 y 15 que pertenecen a otros autores pero por su contenido, están próximos aL último libro de Euclides. En ella se enuncia el postulado de Euclides: por un punto del plano sólo se puede trazar una paralela y una sola, a una recta. Este postulado es la base de La geometría euclideana.

51 El contenido de Los Elementos, se ha estado (y aún se sigue de alguna manera) enseñando hasta el siglo XVIII, cuando aparecen Las geometrías no euclideanas. Fue Lobachevskí el que dio La solución al problema del y postulado: El postulado no puede ser probado y Lo que es más curioso, si consideramos La proposición opuesta (que por un punto del plano se puede trazar mas de una paralela a una recta dada) se pueden desarrollar otras geometrías que no contienen contradicción alguna. La conclusión es importantísima: existe más de una geometría lógicamente concebible. Pocos de los teoremas que aparecen en sus textos son propios. Lo que Euclides hizo fue, en realidad, reunir en una sola obra todos los conocimientos acumulados desde La época de Thales. El único teorema que La tradición asigna definitivamente a Euclides es el Teorema de Pitágoras que se demuestra en Las proposiciones 47 y 48 del primer libro de Los Elementos. Aunque La mayoría de Los tratados versan sobre geometría, también prestó atención a problemas de proporciones y a lo que hoy conocemos como Teoría de números. Euclides recoge gran parte de Los conocimientos pitagóricos sobre tos números y define los números primos y compuestos de forma geométrica: un número entero es compuesto cuando tiene divisores distintos de éL mismo y de la unidad, es decir cuando se puede dibujar como un rectángulo numérico.

52 Los Elementos ha tenido más de ediciones desde su primera publicación en imprenta en Se puede afirmar, por tanto, que Euclides es el matemático más Leído de la historia. Los Elementos ha sido la primera obra matemática fundamental que ha Llegado hasta nuestros días, el texto más venerado y que mayor influencia ha tenido en toda la historia de La Matemática De hecho, después de la Biblia, es Los Elementos de Euclides la obra que más ediciones ha Conocido desde que Gutenberg inventara La imprenta. Los Elementos están Constituidos por XIII Libros que contienen 465 proposiciones todas verdaderas, que han resistido e! paso del tiempo como ninguna otra científica permaneciendo vigente e insuperada a lo largo de más de 2300 años. Esta obra es importante, no tanto por la originalidad de sus contenidos, sino por la sistematización el orden y la argumentación la que está constituida Los Elementos no contienen únicamente un resumen sumario y exhaustivo de toda La Geometría griega. En realidad contienen una gran síntesis no sólo de la producción geometría griega hasta el siglo III a. C. sino también de un compendio, usando e! lenguaje geométrica de toda La Matemática elemental: Geometría plana y espacial, Aritmética y Álgebra. Euclides construye su argumentaciones basándose en un conjunto de axiomas (principios o propiedades que se admiten como ciertas por ser evidentes) y a partir de los cuales se deduce todo lo demás que llamó Postulados.

53 A Continuación enunciamos los famosos cinco Postulados de Euclides I.- Dados dos puntos se pueden trazar una recta que los une. II.- Cualquier segmento puede ser prolongado de forma Continua en una recta ilimitada en La misma dirección. III. - Se puede trazar una circunferencia de centro en cualquier punto y radio cualquiera. IV. - Todos los ángulos rectos son iguales. V.. - Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos. Este axioma es conocido con el, nombre de axioma de las paralelas y también se enunció más tarde así: V-. Por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela. Este axioma, que al parecer no satisfacía al propio Euclides, ha sido el más controvertido y dió pie en los siglos XVIII y XIX al nacimiento de las Geometrías no euclideanas. Los Elementos consta de trece libros sobre geometría y aritmética. LIBROS del 1 al VI: Geometría plana. o El libro I trata de triángulos, paralelas, incluye postulados, etc. o El. libro II trata del álgebra geométrica. o EL libro III trata de la geometría del circulo.

54 o El libro IV de los polígonos regulares. o EL libro V incluye una nueva teoría de las proporciones, aplicable tanto a las cantidades mensurables (racionales) como a las inconmensurables (irracionales). o El libro VI es una aplicación de la teoría a La geometría plana. LIBROS del VII al X: o Del VII al IX :Tratan de la teoría de los números (aritmética), se discuten relaciones como números primos, (Euclides prueba ya en un teorema que no hay una cantidad finita de números primos), mínimo común múltiplo, progresiones geométricas, etc. o El libro X trata de Los segmentos irracionales, es decir, de aquetlos que pueden representarse por raíz cuadrada. LIBROS del. XI al. XIII : Geometría espacial. o En el libro XII aplica un método que abarca la medida de Los círculos, esferas etc. Los Elementos es una verdadera réflexión teórica de y sobre Matemática. Prácticamente en la totalidad de su obra, que consta de 465 proposiciones, 93 problemas y 372 teoremas, ¡no aparecen números! Euclides, además, escribió sobre música y óptica, tiene una obra titulada Sofismas que, dice Proclo, sirve para ejercitar la inteligencia. Para acabar podemos citar un par de anécdotas que nos ilustrarán, aún más, sobre la vida y gestos de Euclides:

55 En una ocasión, el rey Ptolomeo preguntó a Euclides si había un camino más breve que el que él utilizaba en Los Elementos para estudiar Geometría, él respondió que no existen caminos reales en la Geometría. Con este juego de palabras, Euclides le vino a decir al rey que no existen privilegios en la Geometría. En otra ocasión, uno de sus estudiantes preguntó a Euclides qué ganaba con Lo que había aprendido de la Geometría: EL maestro ordenó a su esclavo que Le entregase una moneda (óbolo) a aquel estudiante, para que ganara algo con lo que aprendía de Geometría, dando a entender que aquel muchacho no había entendido nada de la grandeza de La Geometría y de lo desinteresado de ésta. Euclides y los Números perfectos En el libro IX de Los Elementos, Euclides en su proposición, proporciona un método original. para encontrar números perfectos. Si tantos números como se quiera a partir de una unidad se disponen en proporción duplicada hasta que su total resulte primo, y el total multiplicado por el último produce algún número, el producto será perfecto Es decir: Si la suma de las n primeras potencias de 2 es un número primo, entonces el producto de la suma por la última potencia sumada es un número perfecto. Si ( n) es primo, entonces ( n).2n es perfecto

56 Euclides (325 a.C a C.)

57 Isaac Newton ( ): Matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal. Nació el 25 de diciembre de 1642 (según el calendario juliano vigente entonces; el 4 de enero de 1643, según el calendario gregoriano vigente en la actualidad), en Woolsthorpe, Lincolnshire. Cuando tenía tres años, su madre viuda se volvió a casar y lo dejó al cuidado de su abuela. Al enviudar por segunda vez, decidió enviarlo a una escuela primaria en Grantham. En el verano de 1661 ingresó en el Trinity College de la Universidad de Cambridge y en 1665 recibió su título de bachiller. Después de una interrupción de casi dos años provocada por una epidemia de peste, Newton volvió al Trinity College, donde le nombraron becario en 1667.

58 Recibió el título de profesor en Durante esa época se dedicó al estudio e investigación de los últimos avances en matemáticas y a la filosofía natural, que consideraba la naturaleza como un organismo de mecánica compleja. Casi inmediatamente realizó descubrimientos fundamentales que le fueron de gran utilidad en su carrera científica. EL MÉTODO DE LAS FLUXIONES Newton obtuvo en el campo de la matemáticas sus mayores logros. Generalizó los métodos que se habían utilizado para trazar líneas tangentes a curvas y para calcular el área bajo una curva, y descubrió que los dos procedimientos eran operaciones inversas. Uniéndolos en lo que él llamó el método de las fluxiones, Newton desarrolló en el otoño de 1666 lo que se conoce hoy como cálculo, un método nuevo y poderoso que situó a las matemáticas modernas por encima del nivel de la geometría griega. Aunque Newton fue su inventor, no introdujo el cálculo en las matemáticas europeas. En 1675 Leibniz llegó de forma independiente al mismo método, al que llamó cálculo diferencial; su publicación hizo que Leibniz recibiera en exclusividad los elogios por el desarrollo de ese método, hasta 1704, año en que Newton publicó una exposición detallada del método de fluxiones, superando sus reticencias a divulgar sus investigaciones y descubrimientos por temor a ser criticado. Sin embargo, sus conocimientos trascendieron de manera que en 1669 obtuvo la cátedra Lucasiana de matemáticas en la Universidad de Cambridge.

59 ÓPTICA La óptica fue otra área por la que Newton demostró interés muy pronto. Al tratar de explicar la forma en que surgen los colores llegó a la idea de que la luz del Sol es una mezcla heterogénea de rayos diferentes representando cada uno de ellos un color distinto y que las reflexiones y refracciones hacen que los colores aparezcan al separar la mezcla en sus componentes. Newton demostró su teoría de los colores haciendo pasar un rayo de luz solar a través de un prisma, el cual dividió el rayo de luz en colores independientes. En 1672 Newton envió una breve exposición de su teoría de los colores a la Royal Society de Londres. Su publicación provocó tantas críticas que confirmaron su recelo a las publicaciones, por lo que se retiró a la soledad de su estudio en Cambridge. En 1704, sin embargo, publicó su obra Óptica, en la que explicaba detalladamente su teoría. LOS PRINCIPIOS En agosto de 1684 la soledad de Newton se vio interrumpida por la visita de Edmund Halley, un astrónomo y matemático con el que discutió el problema del movimiento orbital. Newton había estudiado la ciencia de la mecánica como estudiante universitario y en esa época ya tenía ciertas nociones básicas sobre la gravitación universal. Como resultado de la visita de Halley, volvió a interesarse por estos temas.

60 Durante los dos años y medio siguientes, Newton estableció la ciencia moderna de la dinámica formulando las tres leyes del movimiento. Aplicó estas leyes a las leyes de Kepler sobre movimiento orbital formuladas por el astrónomo alemán Johannes Kepler y dedujo la ley de la gravitación universal. Probablemente, Newton es conocido sobre todo por su descubrimiento de la gravitación universal, que muestra cómo a todos los cuerpos en el espacio y en la Tierra les afecta la fuerza llamada gravedad. Publicó su teoría en Principios matemáticos de la filosofía natural (1687), obra que marcó un punto de inflexión en la historia de la ciencia, y con la que perdió el temor a publicar sus teorías. La aparición de Principios también implicó a Newton en un desagradable episodio con el filósofo y físico Robert Hooke. En 1687 Hooke afirmó que Newton le había robado la idea central del libro: que los cuerpos se atraen recíprocamente con una fuerza que varía inversamente al cuadrado de la distancia entre ellos. Sin embargo, la mayor parte de los historiadores no aceptan los cargos de plagio de Hooke. En el mismo año de 1687, Newton apoyó la resistencia de Cambridge contra los intentos del rey Jacobo II de Inglaterra por convertir la universidad en una institución católica. Después de la Revolución Gloriosa de 1688, que expulsó a Jacobo II de Inglaterra, la universidad eligió a Newton como uno de sus representantes en una convocatoria especial del Parlamento británico.

61 Los cuatro años siguientes fueron de gran actividad para Newton, que animado por el éxito de Principios, trató de compendiar todos sus primeros logros en una obra escrita. En el verano de 1693 Newton mostró síntomas de una severa enfermedad emocional. Aunque recuperó la salud, su periodo creativo había llegado a su fin. Las conexiones de Newton con los dirigentes del nuevo régimen de Inglaterra le llevaron a su nombramiento como inspector y más tarde director de la Casa de la Moneda en Londres, donde vivió hasta En 1703 fue elegido presidente de la Royal Society, un cargo que ocupó hasta el final de su vida. Como presidente, ordenó la inmediata publicación de las observaciones astronómicas del primer astrónomo real de Inglaterra John Flamsteed. Newton necesitaba estas observaciones para perfeccionar su teoría lunar; este tema le ocasionó ciertos conflictos con Flamsteed. Newton también se implicó en una violenta discusión con Leibniz acerca de la prioridad de la invención del cálculo. Utilizó su cargo de presidente de la Royal Society para que se formara una comisión que investigara el tema, y él, en secreto, escribió el informe de la comisión que hacía a Leibniz responsable del plagio. Newton incluso recopiló la relación de acusaciones que esta institución había publicado. Los efectos de la disputa se alargaron casi hasta su muerte. Además de su interés por la ciencia, Newton también se sintió atraído por el estudio de la alquimia, el misticismo y la teología. Muchas páginas de sus notas y escritos especialmente en los últimos años de su carrera están dedicadas a estos temas. Sin embargo, los historiadores han encontrado poca relación entre estas inquietudes y sus trabajos científicos.

62 Nació : 4 de Enero 1643 en Woolsthorpe, Lincolnshire, Inglaterra Falleció : 31 de Marzo 1727 en Londres, Inglaterra

63 John Nappier( ): John Napier nació en Edimburgo, Escocia en Su padre, Archiblad Napier, era un rico terrateniente de Edimburgo y su madre, Janet Bothwell era la hermana de uno de los obispos más importantes de Escocia, se habían casado cuando ambos tenían quince años, en 1549, y eran un matrimonio noble y acomodado de la época. Su hijo John nació sólo un año después del casamiento y vivió siempre lleno de comodidades, baste decir que su padre fue nombrado caballero real en 1565 Napier fue educado hasta los trece años en su casa, como era común entre los nobles, con los mejores maestros de Escocia; durante estos años aprendió a leer y escribir, estudió aritmética, literatura, música y religión. En 1563 ingresó a la Universidad de Saint Andrews y fue recibido con honores tal y como correspondía al hijo de un noble. Su madre murió al poco tiempo de ingresar él a la universidad y parece ser que esto le afectó de manera tal que decidió no volver a su casa y quedarse internado en un monasterio mientras estudiaba en la universidad; fue ahí donde aprendió teología que fue su verdadera vocación y profesión en la vida. Cuando Napier dejó la Universidad de Saint Andrews viajó por Europa y estudió en la Universidad de París, en Italia y en Holanda En 1571 regresó a Escocia a la boda de su padre y en ese mismo año él también se casó. Para ese entonces era un teólogo muy reconocido y uno de los hombres más ricos de Escocia.

64 En 1572 se mandó construir un castillo en las tierras de Gartness y en 1574 se mudó a vivir ahí junto con su esposa. Napier se dedicó entonces a cuidar de sus propiedades y transformó su castillo en una residencia para científicos y artistas, usando su gran fortuna para invitar y mantener en su castillo a inventores, matemáticos, astrónomos, poetas, literatos pintores, etc. El mismo fue un gran inventor y logró varios resultados en el campo de la agricultura que aplicó directamente a sus tierras, pues trabajaba inventando fertilizantes y sustancias que ayudaran a controlar las plagas y mejorar las cosechas. En uno de sus muchos libros escribió:...he estado experimentando en mis tierras con diversas sales y he logrado cosechas más sanas y abundantes... Sin embargo, seguía siendo un gran teólogo y tomaba parte en todas las disputas religiosas de la época, se definía a sí mismo como un ferviente protestante y publicó varios libros defendiendo el protestantismo contra el catolicismo. El estudio de las matemáticas era un simple pasatiempo y sus libros y publicaciones sobre el tema van siempre precedidas de una disculpa por lo poco profundo de sus argumentos pues decía que nunca tenía tiempo suficiente para dedicarse de lleno a esta disciplina.

65 Pero eso sólo lo pensaba él, pues pasó a la historia como un célebre matemático por la invención de los logaritmos y de varias contribuciones a distintas ramas de las matemáticas: la geometría, la trigonometría, el álgebra y lo que en ese tiempo se llamaban matemáticas comerciales. Invento lo que se conoce como regletas de Napier que era un instrumento para multiplicar que luego se popularizó y que varios hombres del renacimiento usaron, en toda Europa, como una herramienta de cálculo muy útil Dice en su libro Mirifici logarithmorum canonis descriptio... viendo que no hay nada más problemático en la práctica matemática y nada más molesto que hacer cálculos, multiplicaciones, divisiones, raíces cuadradas y cúbicas de números muy grandes... he trabajado arduamente en resolver esos problemas... Napier, murió en Edimburgo el 4 de abril de 1617 habiendo no sólo hecho muchísimas aportaciones propias a la ciencia sino también habiendo apoyado a cientos de hombres que como él hicieron del renacimiento una época muy fecunda en la historia del conocimiento.

66 Reglas para multiplicar. se preocupó siempre por encontrar métodos sencillos para realizar los cálculos numéricos. Como resultado de esta búsqueda inventó los logaritmos, que lo hicieron famoso y por lo cual pasó a la historia; pero inventó también una herramienta muy útil para multiplicar que se conoce como las Regletas de Napier. Regletas Nappier En la época en la que Napier inventó sus regletas, se usaba en Europa un método para multiplicar llamado el método de la celosía que había inventado un matemático italiano llamado Luca Pacioli 100 años antes. Durante el Renacimiento, las regletas de Napier se hicieron muy famosas y los matemáticos solían tener un juego de regletas hechas de madera que llevaban siempre consigo en estuches de cuero. En realidad no llevaban solamente 10 regletas, llevaban muchísimas, pues era necesario tener regletas repetidas por si se quería multiplicar, por ejemplo, números como , en los que algunas cifras se repiten. Además los matemáticos de aquella época usaban las regletas para multiplicar números de varias cifras por números de varias cifras. ¿Cómo harías tú eso mismo?

67 Murió en Edimburgo el 4 de abril de 1617 Nació en Edimburgo, Escocia en 1550

68 Baskara: debido a ciertos inconvenientes no hemos podido encontrar infamación sobre la vida de Baskara. Sin embargo encontramos algunos datos que también pueden llegar a serles útiles. Por favor sepan disculparnos, atentamente lus alumnos de la EPET Nº 2. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita Las ecuaciones de segundo grado o cuadráticas son aquellas en las que la variable está elevada al cuadrado, el siguiente es un ejemplo de una ecuación cuadrática: La ecuación solo tiene una incógnita, y ésta se encuentra elevada a la 1 y al cuadrado, además hay términos independientes (números). Las ecuaciones de segundo grado tienen dos soluciones o ninguna. Este es un ejemplo de una ecuación cuadrática completa, ya que posee coeficientes distintos de cero en los términos cuadráticos (x^2), lineales (x^1) e independientes (x^0). Veamos entonces algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas incompletas:

69 Esta ecuación es muy fácil de resolver, ya que no se encuentra presente el término lineal: Pero las ecuaciones cuadráticas tienen siempre dos soluciones, o bien ninguna, así que en este caso una raíz cuadrada genera dos soluciones, una con signo positivo y otra negativo: Y esto es cierto ya que tanto 2 como -2 elevados al cuadrado dan 4, así que siempre que calculemos la solución de una raíz cuadrada se debe tener en cuenta que ésta genera dos signos. Esto suele expresarse de la siguiente manera: Esto es un poco confuso pero en realidad nos dice que hay dos soluciones, vemos que ambas soluciones verifican la ecuación inicial. Veamos ahora otro caso, si la ecuación tiene términos cuadráticos y lineales, pero no tiene términos independientes:

70 En este caso sacamos factor común X y razonamos de la siguiente forma: Vemos que las soluciones verifican. Finalmente vamos al caso más complejo que es el que teníamos inicialmente: Para que el primer miembro se haga 0 solo hay 2 alternativas: x es igual a 0 o (x+4) es igual a 0. De aquí se obtienen las dos soluciones (que llamamos X1 y X2): Es muy difícil despejar x de esta ecuación (pero no imposible como veremos más adelante). Para resolverla se utiliza una fórmula muy famosa, la fórmula de las soluciones de la ecuación de segundo grado, la cual es atribuída a un indú de apellido Baskara, en primer lugar hay que pasar todos los términos a un lado de la expresión de manera que quede igualada a cero. En segundo lugar se identifican tres coeficientes llamados a, b y c (a=coeficiente cuadrático, b=coeficiente linearl, c=término independiente). La ecuación debe expresarse de la forma:

71 Por lo tanto operamos con la ecuación hasta llevarla a este formato (a, b y c son números en definitiva). Comparando encontramos que: La fórmula que da las soluciones es la siguiente: Fórmula de Baskara Así que reemplazando los valores a, b y c:

72 Con lo cual obtenemos 2 soluciones, (ambas verifican la ecuación), una con el signo + y otra con el – Puede darse el caso que la ecuación no tenga solución (cuando queda una raíz negativa). El tema es: de dónde sacó Baskara esta fórmula?, bueno, en realidad es sencillo, él encontró la forma de construir un trinomio cuadrado perfecto (tercer caso de factoreo), aplicando algunos "truquillos". Fórmula de Baskara - Demostración Ahora viene la parte divertida, la demostración. En primer lugar hay que llevar la ecuación a la forma: Luego se multiplica todo por 4a (la igualdad se mantiene desde luego):

73 Ahora sumamos y restamos b^2, de esta manera no cambia nada tampoco: Ahora observemos los primeros 3 términos, se trata de un trinomio cuadrado perfecto, así que factoreando se obtiene: Y ahora es fácil despejar X: Pero como vimos antes una raíz arroja 2 resultados, uno positivo y uno negativo así que queda: Esta última es la famosa fórmula que nos da las soluciones para X.

74 Buscador GOOGLE (www.google.com.ar)www.google.com.ar Enciclopedia Microsoft Encarta

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