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Funciones Exponenciales La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por: donde Ejemplos de funciones exponenciales: Base.

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Presentación del tema: "Funciones Exponenciales La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por: donde Ejemplos de funciones exponenciales: Base."— Transcripción de la presentación:

1 Funciones Exponenciales La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por: donde Ejemplos de funciones exponenciales: Base 2 Base 3 Base 10 Base (1/2) D e f i n i c i ó n

2 Ejemplos: Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece: Si se compara con: Funciones Exponenciales

3 Gráfica de la función exponencial Funciones Exponenciales

4 Gráfica de las funciones Grafica de las funciones

5 Función Exponencial Natural La función exponencial natural es la función exponencial de base e El número e es un interesante número que tiene que ver con la naturaleza, la ciencia y la tecnología. Apartir de e se determina la ecuación de la curva de un puente colgante, el tiempo de enfriamiento de un cuerpo, la antigúedad de la materia orgánica por desintegración del carbono 14, el creciemiento de la población y otras Funciones Exponenciales Recordar que las características de esta función son las mismas que la función exponencial para a > 1 (0,1) El numero e es un numero irracional cuyo valor es aproximadamente 2, … Gráfica de

6 Ejemplo estructural El arco Gateway en San Luis, Missouri, tiene la forma de la gráfica de una combinación de funciones exponenciales, no una parábola como parecería. Es una función de la forma: Se eligió esta forma porque es óptimo para dirtibuir las fuerzas estructurales internas del arco. Funciones Exponenciales Ecuación de la curva de un puente colgante

7 Sea a un número positivo con. La función logarítmica con base a, denotada por se define Funciones Logarítmicas DefiniciónDefinición

8 Comparación Comparemos la forma Exponencial y la forma Logarítmica Exponencial: Logarítmica: Base Exponente Base Exponente En ambas formas la base es la misma. Funciones Logaritmicas

9 © copywriter Forma Logarítmica Forma Exponencial Funciones Logarítmicas Ejemplo:

10 Evaluación de logarítmos Funciones Logaritmicas

11 Se debe elevar a a la potencia x para obtener. Propiedad de los logarítmos PropiedadRazón Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1. Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a. es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x. Funciones Logaritmicas

12 Ejemplo Aplicación de las propiedades logarítmicas Propiedad 1 Propiedad 2 Propiedad 3 Propiedad 4 Funciones Logaritmicas

13 Ejemplo : Graficas de funciones logarítmicas Traza la gráfica de Resolución: x Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para x como potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad sus logaritmos. Funciones Logaritmicas

14 Familia de Funciones Logarítmicas Funciones Logaritmicas

15 Logarítmos Comunes Veamos logarítmos con base 10 © copywriter Definición: Logarítmo común El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se denota omitiendo la base: Funciones Logaritmicas

16 Ejemplo :Evaluación de logarítmos comunes Use una calculadora para hallar los valores apropiados de f(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica. xLog x Funciones Logaritmicas

17 Logarítmo natural El logarítmo con base e se llama logarítmo natural y se denota por ln: La función logarítmo natural y = ln x es la función inversa de la función exponencial, : Funciones Logaritmicas

18 Funciones Logarítmicas GRÁFICAS PARA 0

19 Las funciones exponenciales y logarítmicas pueden ser utilizadas para resolver y modelar algunas situaciones de la vida real. Algunas de estas situaciones son: el crecimiento de bacterias en un cultivo, el crecimiento de la población de una ciudad, el tiempo que toma un objeto para llegar a cierta temperatura, etc. APLICACIONES

20 Modelo de crecimiento y decrecimiento de poblaciones Donde Ao es la población inicial. Si el modelo es de crecimiento la tasa k > 0, si es de decrecimiento la tasa k < 0. APLICACIONES

21 Desintegración radiactiva Donde C o es la cantidad de masa inicial del elemento radiactivo APLICACIONES Los elementos radiactivos tienden a disminuir su masa conforme transcurre el tiempo, sea t el tiempo medido en años y C(t) la cantidad medida en gramos del elemento radiactivo, entonces la cantidad de masa C(t) esta dada por :

22 Ley de enfriamiento de Newton. k > 0 APLICACIONES donde u es la temperatura del medio, T es la temperatura inicial del cuerpo y K es la constante de enfriamiento del cuerpo

23 Modelo logístico de crecimiento APLICACIONES Donde a, b y c son constantes, c > 0 y b > 0

24 MAGNITUD DE UN TERREMOTO APLICACIONES Donde I es la intensidad del terremoto e I o es la intensidad de un terremoto estándar de referencia Para medir la magnitud de un terremoto se realizan lecturas en un sismógrafo que deben ser representadas en una escala por ejemplo : La Escala Richter cuya magnitud se halla :

25 Interés compuesto El interés compuesto se calcula mediante la fórmula donde: A(t) = cantidad después de t años P =Capital o valor actual r = tasa de interés por año n = número de veces que el interés se compone por año t = número de años APLICACIONES

26 Interés compuesto en forma continua El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula: donde A(t) = cantidad después de t años P = capital o valor actual r = tasa de interés por año t = número de años APLICACIONES

27 Modelo exponencial para la diseminación de un virus Una enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en una ciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, el número de personas que ha sucumbido al virus se modela mediante la función: CALCULAR: 1.Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0) b) Calcule el número de personas infectadas despues de un día, despues de dos dias y después de cinco días. c) Haz la gráfica de la función y describe su comportamiento. (puedes utilizar la hoja de cálculo y la calculadora WIRIS) Practicando lo aprendido Problema Nº01

28 Interés compuesto El interés compuesto se calcula mediante la fórmula donde: A(t) = cantidad después de t años P = Principal r = tasa de interés por año n = número de veces que el interés se compone por año t = número de años Practicando lo aprendido

29 Problema Nº02 Cálculo del interés compuesto Una suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12% anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después de tres años si el interés se compone anualmente, cada medio año, por trimestre, mensualmente o diario. : Datos P = 1000 r = 12% = 0.12 t = 3 Luego estos datos se reemplazan en A(t) donde n= 1, 2, 4, 12, 365 para anualmente, semestralmente, trimestral, mensualmente y diariamente respectivamente. Los cálculos y resultados se muestran en la siguiente tabla: Practicando lo aprendido RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 02:

30 CapitalizaciónnCantidad después de tres años Anual1 Semianual2 Trimestral4 Mensual12 Diaria365 Practicando lo aprendido Utiliza Wiris para los cálculos y completa una Tabla como ésta en Writer

31 Practicando lo aprendido Interés compuesto en forma continua El interés compuesto en forma continua se calcula mediante la fórmula donde A(t) = cantidad después de t años P = principal r = tasa de interés por año t = número de años

32 Problema Nº03 Practicando lo aprendido RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 03: Calcular el interés compuesto de manera continua Calcule la cantidad después de tres años si se invierten $1000 a una tasa de interés de 12% por año, capitalizado de forma continua. Datos: P = 1000 r = 0.12 y t = 3 Por lo tanto la cantidad después de tres años es $ ( compararlo con el ejemplo anterior)

33 Problema Nº 04 Practicando lo aprendido RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 04: Magnitud de un sismo El terremoto de Lima de 1940 tuvo una magnitud de 8,2 ¿Qué tan intenso fue el sismo de Ica del 15 de Agosto de 2007de 1,9 ? Considerando Luego el sismo de 2007 fue aproximadamente la mitad de intenso que el sismo de 1940

34 Problema Nº 05 Practicando lo aprendido RESOLUCION DEL PROBLEMA Nº 05: Desintegración de una sustancia Una sustancia radiactiva se desintegra siguiendo una función exponencial. La cantidad inicial de masa es de 10 gramos pero después de 200 años la masa se reduce a 2 gramos. Calcular la cantidad de masa después de 100 años i) Como la sustancia radiactiva se desintegra de acuerdo a Para Co = 10 se tiene ii) Ademas C(200) =2

35 Luego reemplazando k en i) se tiene: iii) Nos piden C(100) Luego la cantidad de masa después de 100 años es de 4,47 gramos aproximadamente Practicando lo aprendido


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