Exponentes y Logaritmos.

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1 Exponentes y Logaritmos.
Menú Propiedades exponenciales. Activar HE con Ejemplos y Ejercicios Propiedades logarítmicas. Solución de ecuaciones logarítmicas. Gráficas de funciones exponenciales. Gráficas de funciones logarítmicas. Resumen del capítulo. Exponentes y Logaritmos. © Manuel Pontigo Alvarado. ISBN Instituto Tecnológico de Costa Rica.

2 Propiedades Exponenciales: Multiplicación
2 La multiplicación de los exponentes está definida por: Considere: x = 6 ; a = b; = 4 Fórmula a operar: Resuelto mediante la HE La instrucción para la HE es =6^6 Respuesta: 2 6; 4; =6^6 R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

3 Propiedades Exponenciales: División caso 1
3 La división de los exponentes está definida por: Considere: x = 6; a = 6 b; = 4. Fórmula a operar: Instrucción para la He: =(6^6)/(6^4) R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

4 Propiedades Exponenciales: División caso 2
4 La división de los exponentes está definida por: Considere: x = 6; a = 6 b; = -4. Fórmula a operar: Instrucción para la He: =(6^6)/(6^-4) R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

5 Propiedades Exponenciales: División caso 3
5 La división de los exponentes está definida por: Considere: x = −6; a = 6 b; = -4. Fórmula a operar: Instrucción para la He: =(6^(-6-4) R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

6 Propiedades Exponenciales: Distributiva de la multiplicación.
6 La distribución de la multiplicación en los exponentes está definida por: Considere; x = 5; y = 4; a = 3 Formula a operar: Instrucción para la He: =(5  4)^3 ó 5^3  4^3 ó =(B115*B116)^B117 ó =(B115*B116)^B117 R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

7 Propiedades Exponenciales: Distribución de la división.
7 La distribución de la división en los exponentes está definida por: Considere; x = 5; y = 4; a = 3 Fórmula a operar: R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

8 Propiedades Exponenciales: La potencia de una potencia.
8 La potencia de una potencia en los exponentes está definida por: Considere; x = 5; y = 4; a = 3 Fórmula a operar: R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

9 Propiedades Exponenciales: La potencia inversa.
9 La potencia inversa en los exponentes está definida por: Considere; x = 5; a = 3 Fórmula a operar: R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

10 Propiedades Exponenciales: La potencia raíz.
10 La potencia raíz en los exponentes está definida por: Considere; x = 5; a = 2 Fórmula a operar: R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

11 Propiedades Exponenciales: La potencia racional.
11 La potencia racional en los exponentes está definida por: Considere; x = 5; a = 2; b = 3 Fórmula a operar: R: Elija cualquier juego de numerales para x, a y b diferentes a los usados y resuelva.

12 Propiedades Logarítmicas: La forma logarítmica.
12 La forma logarítmica esta definida por: Esto se lee como: y es exponente al que debe elevarse a para obtener x Considere En otras palabras: los logaritmos son exponentes para una base cuya potencia arrojan el valor del número.

13 3.13 Logaritmos y bases de uso común.
Logaritmo de base 10. Se dice que todo número positivo N puede expresarse como una potencia de 10, es decir, se pueden encontrar siempre una base a tal que N = 10a. Se dice que y es el logaritmo de N en base 10 = a o logaritmo decimal de N. Se puede escribir: Por ejemplo; = 103, por tanto, log = 3. Análogamente, como: 0,01 = 10–2, log10 0,01= –2 Cuando N es un número entre 1 y 10, es decir 100 y 101, a log10N está comprendido entre 0 y 1. Logaritmo neperiano. Existe un logaritmos muy especial en la matemática conocido como Logaritmo Neperiano cuya base es 2, … que por su importancia se conoce como Logaritmo Natural y la instrucción para calcular el logaritmo natural de cualquier número (excepto 0) en la Hoja Electrónica es =LN(Número).

14 Propiedades Logarítmicas: La multiplicación.
14 La multiplicación en los logaritmos está definida por: Considere; x = 2.350; y = 2.410 Logaritmo de base 10 La función inversa Logaritmo natural La función inversa R: Elija cualquier juego de numerales para x, y, diferentes a los usados y resuelva.

15 3.15 La multiplicación mediante logaritmos en forma gráfica.
El cuadro muestra las transformaciones de x e y en funciones logarítmicas de 10, el resultado de la exponenciación de la suma de los logaritmos y el producto directo de x con y. En estudiante habrá comprendido las facilidades que dan los logaritmos en la operación de unidades astronómicas. Responda: Desarrolle la función para el logaritmo natural.

16 Propiedades Logarítmicas: La division.
16 La división en los logaritmos está definida por: Considere: x = 4.230; y = 3.230 Logaritmo de base 10 La función inversa Logaritmo natural La función inversa R: Elija cualquier juego de numerales para x, y, diferentes a los usados y resuelva.

17 3.17 La división mediante logaritmos como función.
El cuadro muestra las transformaciones de x e y en funciones logarítmicas de BASE 10, el resultado de la exponenciación de la resta de los logaritmos y el cociente directo de x entre y. Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.

18 Propiedades Logarítmicas: La potencia.
18 La potencia en los logaritmos está definida por: Considere: x = 50; b = 4 Logaritmo de base 10 La función inversa Logaritmo natural La función inversa R: Elija cualquier juego de numerales para x, b, diferentes a los usados y resuelva.

19 Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.
3.19 Potencia mediante logaritmos como función. 19 Gráfico de las funciones: y ; y comprobación del uso de las potencias con logaritmos. Responda: Desarrolle la función para usando el logaritmo natural.

20 Propiedades Logarítmicas: Propiedad de identidad y propiedad de cambio de base.
La propiedad de identidad esta definida por: En esta propiedad de identidad debe entenderse que los logaritmos de los números x e y son iguales, si la base a que hay que elevar con el logaritmo da un número idéntico: La propiedad del cambio de base: Si x, y, z son números positivos, además x e y son diferentes de 1, entonces:

21 Algunas soluciones de ecuaciones logarítmicas:
21 Pregunta: Escriba log = 3 en forma exponencial. Respuesta: = 103 Pregunta: Resuelva

22 Resuelva para x usando una base a:
3.22 Algunas soluciones de ecuaciones logarítmicas: Cambio de base 22 Resuelva para x usando una base a: Resuelva para x usando una base a: Considere una base a cualquiera, dígase 5. Por definición por tanto, implica: Sustituyendo: R: Efectúe el mismo desarrollo con una base 2 ≤ a ≤ 10 excluyendo el 5

23 3.23 Soluciones a ecuaciones logarítmicas: Potencia inversa.
Usando logax = y, resuelva: Por definición: Resolviendo para x potenciando ambos lados por –3: Recuerde que afectando a ambos lado de una igualdad por el mismo valor no se altera el resultado R: Efectúe el mismo desarrollo con una base 2 ≤ a ≤ 10 excluyendo el 5

24 Graficas de funciones exponenciales.
24 Construya en la HE valores de dominio y rango y grafique las funciones: Se dice que la potencia de una constante crece y la ponencia inversa decrece exponencialmente a mediada que x se incrementa o decrementa. Responda: decrece; incrementa o decrementa ; crece

25 Graficas de funciones exponenciales. Ej: 3,22
25 Grafique la función lineal: donde k, y b son constantes Ejercicio: Elabore un gráfico modificando los parámetros de la ecuación incluyendo valor inicial e incrementos.

26 3.26 Grafica de función exponencial para ubicar asíntotas.
Grafique las funciones: y Las asíntotas de la función ocurren en -2 para y1 y en +2 para y2. Ejercicio: Elabore un gráfico modificando los parámetros de la ecuación incluyendo vlor inicial e incrementos; -2; +2.

27 3.27 Función logarítmica: Asíntotas.
Desarrolle y grafique las funciones: y La asíntota ocurre cuado el dominio se aproxima a la indefinición, esto es a 0. Mientras el rango, tiende ha hacerse paralelo al eje x a medida que los valores del dominio aumentan. Ejercicio: Elabore el gráfico usando el logaritmo neperiano o natural.

28 3.28 Función logarítmica: Función lineal con dos parámetros.
Desarrolle y grafique las funciones: y La asíntota depende de la función, en y1 la función se indefine cuando x = 2 ya que se hace cero y los logaritmos no están definidos para el cero. Así, en y2 se indefine cuando x llega a −2. Ejercicio: Elabore el gráfico usando el logaritmo neperiano o natural.

29 Resumen de las operaciones exponenciales
29 Multiplicación: División: Propiedad distributiva con multiplicación: Propiedad distributiva con división: Potencia de una potencia: Potencia Inversa: Potencia Racional: Las funciones exponenciales se hacen asintóticas al eje y. Responda: eje x; eje y.

30 Resumen de las operaciones logarítmicas
30 Forma logarítmica: a = base; b = Número; y = exponente. En donde y es la cantidad a la que hay que elevar a para obtener x. Multiplicación: División: Potencia: Propiedad de identidad: Propiedad de cambio de base: si x, y y z son números positivos, y si x e y diferentes de 1, entonces Las funciones logarítmicas se hacen asintóticas al eje x. Responda: eje x; eje y.

31 Resumen El capítulo 3 del curso denominado Precálculo dedicado a exponentes y logaritmos contiene el material didáctico necesario para que el estudiante cuente con una base mínima sólida para comprender cursos de cálculo u álgebra avanzados y de la estadística que usualmente se imparte a carreras que no son del área de la matemática. Consta de tres herramientas computacionales cuyos fines son complementarios: El editor de textos que contiene el material del curso con respuestas en bastardilla de color azul; el Libro Electrónico que contiene las operaciones ejemplificadas y el ejercicio mínimo para el estudiante; y este proyector de diapositivas cuyo objeto es que sea elaborado como complemento del estudiante con ejercicios particularizados. Manuel Pontigo Alvarado, Enero 2007.