* Dpto. Física Aplicada UCLM

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1 * Dpto. Física Aplicada UCLM
MAGNETISMO EN LA MATERIA DIPOLOS MAGNÉTICOS E IMANACIÓN. POTENCIAL VECTOR 𝐴 Y CAMPO 𝐵 . * EJEMPLO. CÁLCULO DEL CAMPO MAGNÉTICO DE UN DIPOLO VECTORES DE CAMPO 𝐵 , 𝑀 y 𝐻 MEDIOS NO LINEALES. MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. CICLO DE HISTÉRESIS PROBLEMAS 1.- CAMPO MAGNÉTICO ESFERA UNIFORMEMENTE IMANADA 2.- ESFERAS PARA y DIAMAGNÉTICAS DENTRO DE CAMPO UNIFORME 3.- CORRIENTES EQUIVALENTES DE IMANACIÓN (GEOMETRÍA CILÍNDRICA) 4.- CILINDRO INDEFINIDO CON IMANACIÓN ACIMUTAL Antonio J. Barbero * Dpto. Física Aplicada UCLM ** C.A. Albacete (UNED) Febrero 2016

2 Un dipolo se caracteriza por su momento magnético
DIPOLOS MAGNÉTICOS E IMANACIÓN. POTENCIAL VECTOR 𝑨 Y CAMPO 𝑩 . El potencial vector creado por un dipolo magnético 𝑚 en un punto lejano situado a la distancia 𝑟 (círculo rojo en la figura) es igual a Dipolo magnético (corriente I)  Desarrollo multipolar Un dipolo se caracteriza por su momento magnético S.I.  A·m2 En esta ecuación el momento dipolar 𝑚 es la fuente que origina el campo 𝐴 , el producto vectorial establece la dirección y sentido del mismo, y su módulo es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia, término r2 en el denominador. Imanación (magnetización): momento dipolar magnético por unidad de volumen S.I.  A·m-1 En el esquema mostrado arriba, el vector 𝐴 está dirigido hacia el interior de la página. Unidades potencial vector  S.I.  H·m-1= Wb·A-1·m-1  S.I.  A·m2·(m·m-3) = A S.I.  H·m-1·A = Wb·A-1·m-1·A 𝐴  S.I.  Wb·m-1 = T · m

3 DIPOLOS MAGNÉTICOS E IMANACIÓN. POTENCIAL VECTOR 𝑨 Y CAMPO 𝑩 .
Corrientes de imanación volumétricas y superficiales Potencial magnético vector en función de densidades de corriente de imanación Volumétrica S.I.  A·m-2 Volumétrica Superficial S.I.  A·m-1 dirigido desde dentro del material magnético hacia fuera Superficial Material imanado Material imanado Nota: cuando se trata de corriente circulando por un filamento (intensidad I) la expresión es

4 DIPOLOS MAGNÉTICOS E IMANACIÓN. POTENCIAL VECTOR 𝑨 Y CAMPO 𝑩 .
Ejemplo. Potencial vector generado por un dipolo  Desarrollo multipolar Campo magnético a partir del potencial vector Haciendo uso del desarrollo multipolar, el campo 𝐵 del dipolo se aproxima por

5 La componente radial es de sentido contrario a
DIPOLOS MAGNÉTICOS E IMANACIÓN. POTENCIAL VECTOR 𝑨 Y CAMPO 𝑩 . Ejemplo. Campo magnético generado por un dipolo Campo magnético a partir del potencial vector LÍNEAS DE CAMPO Cuando Cuando La componente radial es de sentido contrario a

6 DIPOLOS MAGNÉTICOS E IMANACIÓN. POTENCIAL VECTOR 𝑨 Y CAMPO 𝑩 .
Ejemplo. Campo magnético generado por un dipolo Campo magnético a partir del potencial vector Líneas de campo Igual módulo del potencial vectorial Potencial vectorial entrante (mitad derecha) Potencial vectorial saliente (mitad izquierda)

7 Ecuaciones de la magnetostática en medios materiales Campo H
VECTORES DE CAMPO 𝑩 , 𝑴 y 𝑯 S.I.  A·m-1 Ecuaciones de la magnetostática en medios materiales Campo H Corrientes libres Corrientes de imanación Densidad de “carga magnética” Corrientes libres Condiciones en los límites campo B: sus componentes normales son continuas Condiciones en los límites campo H: Si no hay corrientes superficiales sus componentes tangenciales son continuas Si hay corrientes superficiales K Medio 2 Medio 2 Medio 2 Medio 1 Medio 1 Medio 1

8 Susceptibilidad magnética (adimensional)
VECTORES DE CAMPO 𝑩 , 𝑴 y 𝑯 MEDIOS MAGNÉTICOS LINEALES Susceptibilidad magnética (adimensional) La imanación M es proporcional al campo H El campo B también: Permeabilidad magnética del medio Permeabilidad relativa Experimentan fuerzas que los dirigen hacia regiones donde los campos magnéticos son menos intensos (resultan repelidos) SUSTANCIAS DIAMAGNÉTICAS Susceptibilidad negativa En casi todos ellos  Experimentan fuerzas que los dirigen hacia regiones donde los campos magnéticos son más intensos (resultan atraídos) SUSTANCIAS PARAMAGNÉTICAS Susceptibilidad positiva En muchos casos El carácter paramagnético está asociado la presencia de electrones desapareados. Video corto (6 min) propiedades magnéticas (en inglés).

9 MEDIOS MAGNÉTICOS LINEALES (EJEMPLO CURIOSO)
En esta región la divergencia de las líneas de campo origina un gradiente de campo magnético La fuerza sobre la rana diamagnética tiende a llevarla hacia donde el campo magnético es más débil, y finalmente el animal queda levitando cuando se alcanza el equilibrio entre la fuerza magnética que tiende a expulsarla y el peso que tiende a hacerla caer. El cuerpo de la rana contiene mucha agua   la rana es diamagnética Fuerza sobre rana diamagnética Peso Foto tomada desde arriba Rana viva levitando dentro del orificio de 32 mm de diámetro de un solenoide de alto campo (16 T). Vista en alzada

10 MEDIOS NO LINEALES. MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. CICLO DE HISTÉRESIS
En el eje de ordenadas puede representarse bien la imanación M o bien el campo B Material imanado hasta saturación por alineación de dominios H M Campo magnético aplicado Imanación del material Cuando el campo magnético aplicado cae a cero, sigue existiendo magnetismo remanente (esto tiene utilidad para almacenamiento magnético de datos) Curva de primera imanación cuando el material ferromagnético se imana desde campo cero El campo magnético aplicado debe invertirse y alcanzar un valor llamado campo coercitivo para que la imanación vuelva a ser nula El ciclo de histéresis muestra que la imanación de un material ferromagnético depende de su historia previa. Una vez se ha llevado el material a saturación el campo aplicado H puede ser reducido a cero pero el material retiene buena parte de su imanación (“recuerda su historia”). Saturación en sentido opuesto

11 PROBLEMA 1.- CAMPO MAGNÉTICO ESFERA UNIFORMEMENTE IMANADA
Una esfera de radio R0 está uniformemente imanada en la dirección del eje Z, 𝑀 = 𝑀 0 𝑢 𝑍 . Calcular el potencial vector 𝐴 y los campos 𝐵 y 𝐻 en el interior y en puntos exteriores alejados de la esfera. Ayuda: generalizando el caso de un dipolo magnético, el potencial vector puede expresarse en términos de la imanación del siguiente modo: Material imanado Radio R0 Como la imanación es uniforme dentro de la esfera y nula fuera de ella, la expresión para el potencial vector puede escribirse extrayendo la imanación de la integral: Para resolver la integral entre corchetes, observamos que la misma es un caso particular de la integral del campo eléctrico creado por una esfera con densidad de carga uniforme r = e0 (para r ≤ R0). Esfera cargada Radio R0 Aunque el nuestro NO ES un problema de campo eléctrico, la solución de esta integral la conocemos gracias a la aplicación del teorema de Gauss en situación de simetría esférica con el centro de la esfera ocupando el origen de coordenadas:

12 PROBLEMA 1.- CAMPO MAGNÉTICO ESFERA UNIFORMEMENTE IMANADA
Una esfera de radio R0 está uniformemente imanada en la dirección del eje Z, 𝑀 = 𝑀 0 𝑢 𝑍 . Calcular el potencial vector 𝐴 y los campos 𝐵 y 𝐻 en el interior y en puntos exteriores alejados de la esfera. Ayuda: generalizando el caso de un dipolo magnético, el potencial vector puede expresarse en términos de la imanación del siguiente modo: Potencial vector en el interior de la esfera Campo magnético en el interior de la esfera El campo magnético dentro de la esfera tiene la misma dirección y el mismo sentido que el vector imanación

13 PROBLEMA 1.- CAMPO MAGNÉTICO ESFERA UNIFORMEMENTE IMANADA
Una esfera de radio R0 está uniformemente imanada en la dirección del eje Z, 𝑀 = 𝑀 0 𝑢 𝑍 . Calcular el potencial vector 𝐴 y los campos 𝐵 y 𝐻 en el interior y en puntos exteriores alejados de la esfera. Ayuda: generalizando el caso de un dipolo magnético, el potencial vector puede expresarse en términos de la imanación del siguiente modo: Empleamos la aproximación multipolar, por lo que los cálculos relativos al exterior son aproximados en puntos cercanos a la esfera. Potencial vector en el exterior de la esfera (r > R0) Respecto a puntos exteriores la esfera se comporta como un dipolo 𝑚 que produce un potencial vector 𝐴 Además, como la imanación es uniforme, el dipolo magnético puede expresarse fácilmente en función de dicha imanación: (Mismo resultado que el obtenido al considerar anteriormente la analogía con el problema electrostático) Campo magnético en el exterior de la esfera

14 PROBLEMA 1.- CAMPO MAGNÉTICO ESFERA UNIFORMEMENTE IMANADA
Una esfera de radio R0 está uniformemente imanada en la dirección del eje Z, 𝑀 = 𝑀 0 𝑢 𝑍 . Calcular el potencial vector 𝐴 y los campos 𝐵 y 𝐻 en el interior y en puntos exteriores alejados de la esfera. Ayuda: generalizando el caso de un dipolo magnético, el potencial vector puede expresarse en términos de la imanación del siguiente modo: El campo 𝐻 es uniforme dentro de la esfera, pero su sentido es contrario al de la imanación Campo 𝐻 en el interior de la esfera Conocemos Campo 𝐻 en el exterior de la esfera Fuera el campo 𝑀 =0 y el campo 𝐻 es proporcional a 𝐵 , que es dipolar.

15 PROBLEMA 2. ESFERAS PARA y DIAMAGNÉTICAS DENTRO DE CAMPO UNIFORME
Una esfera homogénea de material magnético lineal y radio R = 2 cm se encuentra dentro de una región donde existe un campo magnético uniforme B0 = 100 mT. Esto produce una imanación uniforme dentro de la esfera. Calcúlese el valor de la imanación, el momento magnético inducido en la esfera y el campo interior en a en los dos casos siguientes: 1. La esfera está hecha de uranio (m = 40 · 10-5) 2. La esfera está hecha de bismuto (m = · 10-5) Por lo tanto el campo magnético en el interior de la esfera rodeada del campo magnético uniforme 𝐵 0 es (VÉASE PROBLEMA 1) La permeabilidad m del medio de susceptibilidad m es Las relaciones entre los campos M, B y H son (siempre hablamos del interior de la esfera)

16 PROBLEMA 2. ESFERAS PARA y DIAMAGNÉTICAS DENTRO DE CAMPO UNIFORME
Una esfera homogénea de material magnético lineal y radio R = 2 cm se encuentra dentro de una región donde existe un campo magnético uniforme B0 = 100 mT. Esto produce una imanación uniforme dentro de la esfera. Calcúlese el valor de la imanación, el momento magnético inducido en la esfera y el campo interior en a en los dos casos siguientes: 1. La esfera está hecha de uranio (m = 40 · 10-5) 2. La esfera está hecha de bismuto (m = · 10-5) Valor de la imanación Si la esfera es paramagnética, 𝜒 𝑚 >0, caso del uranio, entonces 𝜇> 𝜇 0 y por tanto 𝐵 𝑖𝑛𝑡 >𝐵 0 . Si la esfera es diamagnética, 𝜒 𝑚 <0, caso del bismuto, entonces 𝜇< 𝜇 0 y por tanto 𝐵 𝑖𝑛𝑡 <𝐵 0 . Paramagnético (U) Diamagnético (Bi)

17 PROBLEMA 2. ESFERAS PARA y DIAMAGNÉTICAS DENTRO DE CAMPO UNIFORME
Una esfera homogénea de material magnético lineal y radio R = 2 cm se encuentra dentro de una región donde existe un campo magnético uniforme B0 = 100 mT. Esto produce una imanación uniforme dentro de la esfera. Calcúlese el valor de la imanación, el momento magnético inducido en la esfera y el campo interior en a en los dos casos siguientes: 1. La esfera está hecha de uranio (m = 40 · 10-5) 2. La esfera está hecha de bismuto (m = · 10-5) Momento magnético de la esfera Puesto que la imanación es constante, de su definición (momento dipolar por unidad de volumen) resulta que  

18 PROBLEMA 2. ESFERAS PARA y DIAMAGNÉTICAS DENTRO DE CAMPO UNIFORME
Una esfera homogénea de material magnético lineal y radio R = 2 cm se encuentra dentro de una región donde existe un campo magnético uniforme B0 = 100 mT. Esto produce una imanación uniforme dentro de la esfera. Calcúlese el valor de la imanación, el momento magnético inducido en la esfera y el campo interior en a en los dos casos siguientes: 1. La esfera está hecha de uranio (m = 40 · 10-5) 2. La esfera está hecha de bismuto (m = · 10-5) Campo magnético en el punto a Éste se encuentra dentro de la esfera, el valor del campo será Bint, ya calculado antes para U y para Bi, sin que importe la posición concreta del punto a respecto al centro, mientras que esté en el interior de la esfera. Campo magnético fuera de la esfera. Discusión adicional (campo B0 + término dipolar) Véase que el término dipolar depende de 1/r3 (ya que tenemos r2 en el numerador y r5 en el denominador). Esto implica que el campo magnético dipolar decrece muy rápidamente con la distancia a la posición ocupada por el dipolo (el centro de la esfera) y por eso el mapa de líneas de campo a cierta distancia coincidirá básicamente con el mapa del campo uniforme B0.

19 PROBLEMA 2. ESFERAS PARA y DIAMAGNÉTICAS DENTRO DE CAMPO UNIFORME
(campo B0 + término dipolar) Dentro de la esfera paramagnética las líneas del campo B son todas paralelas, ya vimos anteriormente que Bint es constante. La configuración de campo dipolar solamente existe fuera de la esfera. Configuración del campo de un dipolo magnético (para mejor ilustrar la situación, se ha exagerado el tamaño de la componente dipolar respecto a B0)

20 PROBLEMA 2. ESFERAS PARA y DIAMAGNÉTICAS DENTRO DE CAMPO UNIFORME
(campo B0 + término dipolar) Dentro de la esfera diamagnética las líneas del campo B son todas paralelas, ya vimos anteriormente que Bint es constante. La configuración de campo dipolar solamente existe fuera de la esfera. Configuración del campo de un dipolo magnético (para mejor ilustrar la situación, se ha exagerado el tamaño de la componente dipolar respecto a B0) Líneas de campo fuera de la esfera diamagnética

21 PROBLEMA 2. ESFERAS PARA y DIAMAGNÉTICAS DENTRO DE CAMPO UNIFORME
Una esfera homogénea de material magnético lineal y radio R = 2 cm se encuentra dentro de una región donde existe un campo magnético uniforme B0 = 100 mT. Esto produce una imanación uniforme dentro de la esfera. Calcúlese el valor de la imanación, el momento magnético inducido en la esfera y el campo interior en a en los dos casos siguientes: 1. La esfera está hecha de uranio (m = 40 · 10-5) 2. La esfera está hecha de bismuto (m = · 10-5) Mapa de líneas de campo dentro y fuera de material magnético uniformemente imanado sumergido en un campo magnético externo Las líneas de campo magnético son “atraídas” hacia el material Las líneas de campo magnético son “repelidas” hacia fuera del material

22 a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.
PROBLEMA 3. CORRIENTES EQUIVALENTES DE IMANACIÓN (GEOMETRÍA CILÍNDRICA) Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, hecho de un material magnético lineal de permeabilidad relativa r. Determine: c) Resolver numéricamente los apartados anteriores en los puntos r1 = 1 mm, r2 = 10 mm y r3 = 40 si I = 20 A, mr = , a = 8 mm, b = 20 mm a) Los campos H, B y M alrededor del filamento. b) Las corrientes superficiales de imanación. 1. r1 < a 2. a  r2  b 3. r3 > b Cálculo de los campos: se distinguen tres regiones alrededor del filamento Región 1. r1 < a Aplicamos el teorema de Ampère a una circunferencia centrada en el hilo de radio r1 a b I Por la simetría del problema, el campo H está en cada punto en la dirección del unitario r2 r1 Región 2. a  r2  b Dentro del material magnético

23 a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.
PROBLEMA 3. CORRIENTES EQUIVALENTES DE IMANACIÓN (GEOMETRÍA CILÍNDRICA) Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, hecho de un material magnético lineal de permeabilidad relativa r. Determine: c) Resolver numéricamente los apartados anteriores en los puntos r1 = 1 mm, r2 = 10 mm y r3 = 40 si I = 20 A, mr = , a = 8 mm, b = 20 mm a) Los campos H, B y M alrededor del filamento. b) Las corrientes superficiales de imanación. (A/m2) (A/m) Región 3. r3 > b Corrientes de imanación Véase que en la región 2 la forma de M es a b Los términos tachados con aspa son nulos porque M2 no tiene componentes r ni z. El término tachado con flecha inclinada a la derecha es nulo porque la derivada de M2 respecto a z es cero. I r3 r2 El término tachado con flecha inclinada a la izquierda es nulo porque rM2 es constante y su derivada respecto a r es cero. r1 Véase que No hay corrientes volumétricas de imanación

24 a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.
PROBLEMA 3. CORRIENTES EQUIVALENTES DE IMANACIÓN (GEOMETRÍA CILÍNDRICA) Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, hecho de un material magnético lineal de permeabilidad relativa r. Determine: c) Resolver numéricamente los apartados anteriores en los puntos r1 = 1 mm, r2 = 10 mm y r3 = 40 si I = 20 A, mr = , a = 8 mm, b = 20 mm a) Los campos H, B y M alrededor del filamento. b) Las corrientes superficiales de imanación. Densidades de corrientes superficiales de imanación a b I En r2 = a Sobre la cara interna r2 = a En r2 = b Sobre la cara externa r2 = b Véase que Superficie interna Superficie externa

25 a) Los campos H, B y M alrededor del filamento.
PROBLEMA 3. CORRIENTES EQUIVALENTES DE IMANACIÓN (GEOMETRÍA CILÍNDRICA) Un filamento rectilíneo indefinido que transporta una corriente I es el eje de un tubo cilíndrico también indefinido, de radios interior y exterior a y b respectivamente, hecho de un material magnético lineal de permeabilidad relativa r. Determine: c) Resolver numéricamente los apartados anteriores en los puntos r1 = 1 mm, r2 = 10 mm y r3 = 40 si I = 20 A, mr = , a = 8 mm, b = 20 mm a) Los campos H, B y M alrededor del filamento. b) Las corrientes superficiales de imanación. c) Cálculos numéricos. Corrientes de imanación Región interior 1 (r1 < a) Superficie interna a b I Superficie externa Región intermedia 2 (a < r2 < b) Región exterior 3 (r2 > b)

26 PROBLEMA 4. CILINDRO INDEFINIDO CON IMANACIÓN ACIMUTAL
donde M0 = 100 A/m y r es la distancia desde el eje del cilindro. Ayuda: Rotacional en coordenadas cilíndricas (a) Calcular las corrientes volumétrica y superficial de imanación. (a) La imanación del cilindro nos permitirá calcular la corriente volumétrica equivalente mediante la relación En cuanto a la corriente superficial equivalente  Vectores unitarios coordenadas cilíndricas Vector 𝑀 Corte de la sección recta del cilindro. Vista superior. Vista lateral de un segmento del cilindro indefinido

27 PROBLEMA 4. CILINDRO INDEFINIDO CON IMANACIÓN ACIMUTAL
donde M0 = 100 A/m y r es la distancia desde el eje del cilindro. Ayuda: Rotacional en coordenadas cilíndricas (a) Calcular las corrientes volumétrica y superficial de imanación. Componentes del vector imanación (a) Cálculos Corriente volumétrica equivalente Corriente superficial equivalente

28 Ayuda: Rotacional en coordenadas cilíndricas
PROBLEMA 4. CILINDRO INDEFINIDO CON IMANACIÓN ACIMUTAL donde M0 = 100 A/m y r es la distancia desde el eje del cilindro. Ayuda: Rotacional en coordenadas cilíndricas (a) Calcular las corrientes volumétrica y superficial de imanación. Interior del cilindro: tomamos como camino de integración para el cálculo del campo 𝐵 𝑖 una circunferencia de radio 𝑟< 𝑅 0 centrada en el eje del cilindro. Según el valor de r, esta circunferencia encerrará más o menos corriente r < R0 Campo 𝐻 𝑖 (interior)

29 Ayuda: Rotacional en coordenadas cilíndricas
PROBLEMA 4. CILINDRO INDEFINIDO CON IMANACIÓN ACIMUTAL donde M0 = 100 A/m y r es la distancia desde el eje del cilindro. Ayuda: Rotacional en coordenadas cilíndricas (a) Calcular las corrientes volumétrica y superficial de imanación. Exterior del cilindro: ahora el camino de integración para el cálculo del campo 𝐵 𝑒 será una circunferencia de radio 𝑟≥ 𝑅 0 centrada también en el eje del cilindro. En este caso la corriente encerrada será siempre la misma: la suma de las corrientes volumétrica y superficial. Además, véase que las corrientes 𝑗 𝑀 y 𝐾 𝑀 son de sentidos opuestos. Campo 𝐻 𝑒 (exterior): puesto que el campo 𝐵 𝑒 es nulo, el campo 𝐻 𝑒 también es cero. Vista desde arriba r > R0

30 BIBLIOGRAFÍA LIBROS 1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill 2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa. 3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley. 4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall. LIBROS DE PROBLEMAS 1. González Fernández A. Problemas de campos electromagnéticos. Schaum. McGraw-Hill. 2. López Pérez E. y Núñez Cubero F. 100 problemas de electromagnetismo. Alianza Editorial. RECURSOS EN LA RED VIDEOCONFERENCIAS CURSOS ANTERIORES 2013  2014  2015  RECOMENDADOS Eugene Khutoryansky. Electromagnetism - Maxwell’s laws. Video en inglés, en su mayor parte subtitulado, con lo cual puede seguirse sin problemas aunque se tenga alguna dificultad con la comprensión oral. Muy recomendable. Canal de física de Eugene Khutoryansky. Contiene bastantes videos interesantes, incluido el anterior.