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1 PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA Antonio J. Barbero Dpto. Física Aplicada UCLM C.A. UNED Albacete RESUMEN FUNDAMENTOS PROBLEMAS RESUELTOS TEMA 2.

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1 1 PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA Antonio J. Barbero Dpto. Física Aplicada UCLM C.A. UNED Albacete RESUMEN FUNDAMENTOS PROBLEMAS RESUELTOS TEMA 2. ECUACIONES DE MAXWELL (2ª parte) PROBLEMA 0. VECTOR DE POYNTING CONDENSADOR TEMA 3. PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA PROBLEMA 1. CABLE COAXIAL PROBLEMA 2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNÉTICO PROBLEMA 3. IMÁN PERMANENTE PROBLEMA 4. CÁLCULO INDUCTANCIA PROBLEMA 5. CIRCUITO MAGNÉTICO

2 2 RESUMEN FUNDAMENTOS Potencial magnético vector debido a corrientes de imanación Imanación (magnetización) S.I. A·m 2 S.I. A·m -1 Momento magnético (corriente I) S.I. Wb·m -1 S.I. T (= Wb·m -2 ) Material imanado

3 3 RESUMEN FUNDAMENTOS / 2 Corrientes de imanación Volumétrica Superficial S.I. A·m -2 S.I. A·m -1 Potencial magnético vector en función de densidades de corrientes de imanación S.I. Wb·m -1 Corrientes libres Corrientes de imanación Ecuaciones de la magnetostática en medios materiales Campo H S.I. A·m -1 Densidad de carga magnética Corrientes libres Condiciones en los límites campo B: sus componentes normales son continuas Medio 1 Medio 2 Condiciones en los límites campo H: Si no hay corrientes superficiales sus componentes tangenciales son continuas Medio 1 Medio 2 Si hay corrientes superficiales K Medio 1 Medio 2

4 4 RESUMEN FUNDAMENTOS / 3 MEDIOS MAGNÉTICOS LINEALES La imanación M es proporcional al campo H Susceptibilidad magnética (adimensional) El campo B también: Permeabilidad magnética del medio Permeabilidad relativa MEDIOS DIAMAGNÉTICOS En casi todos ellos Susceptibilidad negativa MEDIOS PARAMAGNÉTICOS En muchos casos Susceptibilidad positiva INDUCTANCIA El flujo magnético debido a la corriente que circula por un circuito es proporcional al valor de dicha corriente Coeficiente de proporcionalidad entre flujo y corriente L autoinducción Unidades S.I. H Si se trata del flujo magnético inducido en un circuito (1) por la corriente que circula por otro circuito (2) inducción mutua Unidades S.I. H

5 5 RESUMEN FUNDAMENTOS / 4 ENERGÍA CAMPOS ELÉCTRICOS La energía del campo eléctrico se encuentra distribuida de forma continua a través del espacio con una densidad de energía dada por Energía campo eléctrico ENERGÍA CAMPOS MAGNÉTICOS La energía magnética se encuentra distribuida de forma continua a través del espacio con una densidad de energía que viene dada por Energía magnética total VECTOR DE POYNTING El vector de Poynting representa la densidad de potencia asociada con el campo electromagnético. Teorema de Poynting: el flujo del vector de Poynting a través de una superficie cerrada es igual a la potencia que sale del volumen encerrado por la misma. Flujo densidad de potencia óhmica Densidad energía Eléctrica Magnética

6 6 H M Campo magnético aplicado Imanación del material Material imanado hasta saturación por alineación de dominios Curva de primera imanación cuando el material ferromagnético se imana desde campo cero El ciclo de histéresis muestra que la imanación de un material ferromagnético depende de su historia previa. Una vez se ha llevado el material a saturación el campo aplicado H puede ser reducido a cero pero el material retiene buena parte de su imanación (recuerda su historia). Cuando el campo magnético aplicado cae a cero, sigue existiendo magnetismo remanente (esto tiene utilidad para almacenamiento magnético de datos) El campo magnético aplicado debe invertirse y alcanzar un valor llamado campo coercitivo para que la imanación vuelva a ser nula Saturación en sentido opuesto MATERIALES FERROMAGNÉTICOS. CICLO DE HISTÉRESIS En el eje de ordenadas puede representarse bien la imanación M o bien el campo B RESUMEN FUNDAMENTOS / 5

7 7 RESUMEN FUNDAMENTOS / 6 CIRCUITOS MAGNÉTICOS Cuando la permeabilidad de los materiales que intervienen es alta, puede suponerse que las líneas de campo magnético permanecen confinadas dentro del material, y que el flujo magnético no se dispersa. En esas condiciones el flujo desempeña un papel análogo al de la intensidad de corriente y puede procederse por analogía con un circuito eléctrico y resolver el problema considerando las equivalencias entre magnitudes eléctricas y magnéticas que se indican a continuación. Fuerza electromotriz (fem) Ley de Ohm L = longitud media del circuito (línea discontinua) r = permeabilidad relativa del material del circuito Circuito eléctrico Circuito magnético Circuito magnético equivalente Fuerza magnetomotriz (fmm) Reluctancia (A·v/Wb) S = área de la sección recta del circuito La reluctancia magnética de un medio depende de su permeabilidad r 0, su longitud L y del área de su sección recta S. La resistencia eléctrica de un conductor depende de su conductividad, su longitud L y del área de su sección recta S. fmm fem flujo magnético intensidad I reluctancia resistencia Equivalente ley de Ohm para circuitos magnéticos Equivalencias

8 8 PROBLEMAS RESUELTOS

9 99 Un condensador plano consta de dos placas circulares paralelas de radio R = 10 cm colocadas a una distancia d = 0.2 cm. El medio entre las placas es aire. Hay una intensidad de corriente I que entra por la placa inferior y sale por la placa superior, tal y como muestra el esquema. Suponiendo que los efectos de bordes son despreciables, se pide: (a) Calcular la energía total almacenada en el campo eléctrico del condensador y su tasa de variación con el tiempo. (b) Calcular el campo magnético B a una distancia genérica r del eje central del condensador (r R). (c) Calcular el vector de Poynting S a una distancia genérica r del eje central del condensador (r R). (d) Determinar el flujo de energía a través de la superficie cilíndrica de radio R si I = 4.87·10 -7 A y la carga almacenada Q = 7.13· C. 0 = 8.85· F·m -1 (a) Si se ignoran los efectos de bordes, el campo eléctrico entre las armaduras del condensador es proporcional a la densidad de carga superficial en las placas y se puede calcular por el teorema de Gauss: Energía total almacenada en el campo eléc- trico, siendo Q la carga que hay en la placa positiva en un momento determinado: Tasa de variación de la energía almacenada: Carga almacenada En función de la intensidad de corriente: P0. VECTOR DE POYNTING CONDENSADOR

10 10 (b) A medida que la corriente fluye a través del condensador mientras dura su proceso de carga no hay corriente de conducción a través del mismo, sino corriente de desplazamiento, la cual es originada por la variación temporal del campo eléctrico. Para calcular el campo magnético usaremos la ley de Ampère generalizada. Circulación del campo magnético a través de una línea cerrada L que rodea la superficie A Corriente conducción a través de la superficie A Corriente desplazamiento a través de la superficie A = + = La corriente de desplazamiento se debe aquí a la variación del campo eléctrico que atraviesa la superficie abierta A (radio r) + La corriente de conducción a través del condensador es cero Circunferencia de radio r Igualando Dirección y sentido Campo magnético a la distancia r del eje del condensador Área del círculo de radio r P0. Vector Poynting condensador/ 2

11 11 (c) Cálculo del vector de Poynting Área del círculo de radio r El vector de Poynting apunta hacia el eje del cilindro, su sentido es hacia adentro (ver la ampliación en el diagrama inferior) El significado físico del resultado (módulo de S) es la densidad de potencia (W·m -2 ) que atraviesa la superficie cilíndrica de radio r; el signo negativo significa que dicha densidad de potencia es entrante: nótese que esto cuantifica cuántos julios entran por segundo y por metro cuadrado dentro del volumen delimitado por el cilindro de radio r. Si hacemos r = R, tendremos la densidad de potencia que atraviesa el contorno externo del condensador, y si multiplicamos dicho valor por la superficie lateral tendremos… Véase apartado siguiente P0. Vector Poynting condensador/ 3

12 12 (d) El flujo de energía a través de una superficie de área dada es igual a la potencia que atraviesa dicha superficie. Conocemos ya el vector de Poynting a través de cualquier superficie cilíndrica de radio r R. Lo que se nos pide aquí es el flujo P del vector de Poynting a través de la superficie lateral del cilindro de radio R. Área del círculo de radio r Superficie lateral del cilindro de radio R Área Compárese este resultado con el obtenido en (a) para la tasa de variación con el tiempo de la energía total almacenada en el campo eléctrico. Significado físico de la igualdad La potencia que fluye a través de la superficie del cilindro se almacena en el campo eléctrico. Cálculo numérico I = 4.87·10 -7 A; Q = 7.13· C. P0. Vector Poynting condensador/ 4

13 13 El modelo de cable coaxial consiste en un conductor cilíndrico no magnético infinitamente largo, de radio a, rodeado por una funda exterior conductora de radio b > a y grosor infinitesimal, la cual lleva la corriente de retorno. Entre ambos conductores hay un material magnético no conductor, homogéneo y lineal de susceptibilidad m. Por el conductor interior circula una densidad de corriente uniforme J 0 A·m -2. P1. CABLE COAXIAL Explicar cómo está distribuida la corriente de retorno en el conductor exterior y calcular los valores de los vectores magnéticos H, M y B en todos los puntos del espacio. Densidad de corriente Intensidad = flujo densidad de corriente La corriente de retorno transporta la misma intensidad distribuida en una película muy fina sobre la superficie del conductor exterior: se trata de una densidad superficial de corriente cuyo sentido es contrario al del vector J del conductor interno. Material magnético no conductor Conductor interior no magnético Conductor exterior (funda de grosor infinitesimal)

14 14 Conductor interno Ley de Ampère: C 1 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r 1 e I es la corriente encerrada por C 1. Vista desde arriba, eje Z saliente Conductor interno Densidad de corriente La corriente libre I genera un campo que sólo tiene componente ya que sólo tiene componente Z. Válido en Campo La susceptibilidad del conductor interior es (material no magnético) Campos H, M, B P1. Cable coaxial / 2

15 15 Material magnético Ley de Ampère: C 2 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r 2 e I es la corriente encerrada por C 2. Válido en Campo La susceptibilidad del material magnético es Vista desde arriba, eje Z saliente Material magnético Densidad de corriente La corriente libre I genera un campo que sólo tiene componente ya que sólo tiene componente Z. radio a Material magnético lineal Campos H, M, B P1. Cable coaxial / 3

16 16 Zona exterior Campos H, M, B Densidad de corriente Vista desde arriba, eje Z saliente Material magnético radio a Ley de Ampère: C 3 es la circunferencia centrada en el origen y de radio r 3 e I es la corriente encerrada por C 3. Como la línea C 3 abraza la corriente I 0 del conductor interno y la corriente –I 0 del conductor externo, la corriente neta que abarca es nula, y por tanto el campo H es igual a cero para r > r b. Además, al estar fuera del material magnético, M también es igual a cero, y por tanto también B es igual a cero. Fuera del cable coaxial todos los campos son nulos. P1. Cable coaxial / 4

17 17 Gráficas campos H, M, B No hay discontinuidad en H porque en la superficie del conductor interior r = a no hay densidad superficial de corriente libre. La densidad de corriente libre superficial K en r = b es la causa de la discontinuidad de H. Las densidades de corrientes superficiales de imanación K m s son la causa de la discontinuidad de M en r = a y en r = b. El campo B sólo tiene componentes tangentes, aparecen discontinuidades en r = a y en r = b. Cálculo de corrientes de imanación en transparencia siguiente P1. Cable coaxial / 5

18 18 dirigido desde dentro del material magnético hacia fuera Corriente superficial de imanación Densidades corriente superficial Libre: De imanación: CORRIENTES SUPERFICIALES DE IMANACIÓN P1. Cable coaxial / 6

19 19 Un toroide de material ferromagnético de espesor muy pequeño comparado con su diámetro tiene un entrehierro d = 2 mm. Sobre él se enrollan N = 517 espiras por las que se hace pasar una corriente I = 2 A. La circunferencia completa de la sección central del toroide mide L = 942 mm (línea discontinua en la figura). La gráfica es la curva de primera imanación del material ferromagnético. Determinar el campo magnético en el entrehierro. ¿Cuál es la permeabilidad de este material ferromagnético en las condiciones de operación indicadas? Solución: Ley de Ampère aplicada a lo largo de la línea discontinua: Continuidad componente normal de B: Subíndices: f, ferromag; 0, entrehierro Permeabilidad del material P2. TOROIDE MATERIAL FERROMAGNÉTICO

20 20 Determinar el campo magnético en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es Representar gráficamente. (0,0,z) X Y Z El cilindro imanado se comporta como una lámina cilíndrica por la que circula una corriente superficial J s cuyo módulo es M 0 (A/m) Las fuentes del campo B son las cintas de altura dz que transportan la corriente superficial J s. Cada una de esas cintas se encuentra a una altura z sobre el plano XY, y cada punto de la cinta situada en z se encuentra a una distancia del punto donde hay que determinar el campo magnético. El campo magnético de una espira circular (radio R) que transporta la corriente I en un punto z de su eje es Análogamente el campo creado en z por cada una de las cintas que transportan la corriente M 0 dz es P3. IMAN PERMANENTE

21 21 Representación gráfica del módulo del campo B frente a z/L para distintos valores de R/L P3. IMAN PERMANENTE / 2

22 22 Partiendo del resultado anterior, determinar el campo magnético H en el eje de un cilindro recto imanado de radio R y altura L, cuya imanación constante es: Representar gráficamente para R/L = 0.25 Dentro del imán 0 z/L 1 Fuera del imán Fuera del imán H tiene el mismo sentido que B; dentro tiene sentido contrario. P3bis. IMAN PERMANENTE / 3

23 23 P4. CÁLCULO INDUCTANCIA Vista en perspectiva Zona donde hay que calcular el flujo magnético Campo total: Flujo: Relación flujo / autoinducción Coeficiente de autoinducción por unidad de longitud: Calcular la inductancia por unidad de longitud de una línea bifilar de cables paralelos de radio a cuyos centros están separados en el vacío una distancia d (d >> a). Campo magnético creado por cada conductor a la distancia x de su respectivo centro (ley de Ampère)

24 24 P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO El contorno exterior del doble cuadro de la figura está formado por un material de permeabilidad relativa 5024 cuya longitud media (línea discontinua abcdefa) es 40 cm. El material del separador central tiene una permeabilidad relativa de 3024, y su longitud es 5 cm. El arrollamiento de la parte izquierda está formado por 100 espiras, por las que se hace circular una corriente de 1.2 A. Determinar el flujo magnético, el campo B y el campo H en las tres ramas del doble cuadro. (Pueden despreciarse las pérdidas de flujo). Datos: Permeabilidad magnética del vacío: 0 = 4 ·10 -7 H/m. El área de sección recta del doble cuadro es S = 10 cm 2. Solución. Veamos el circuito magnético equivalente Rama Longitud Propiedades magnéticas Reluctancias del circuito magnético Rama 1Rama 3 Rama 2

25 25 P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO /2 Reluctancias del circuito magnético Asociación de reluctancias en paralelo R 2 //R 3 Reluctancia equivalente del circuito: serie + paralelo R 1 + (R 2 //R 3 ) Fuerza magnetomotriz: Ecuación del circuito: Flujo en el bobinado: Cálculos de flujo en ramas 2 y 3: hay un divisor de flujo similar al divisor de corriente en un circuito eléctrico.

26 26 Cálculos de campos B Campos B en el interior Cálculos de campos H Comprobación de Ampère bucle izquierdo, camino efabe (hay fmm) Comprobación de Ampère bucle derecho, camino bcdeb (no hay fmm) Comprobación de Ampère bucle exterior, camino efabcde (hay fmm) P5. RESOLUCIÓN CIRCUITO MAGNÉTICO /3

27 BIBLIOGRAFÍA LIBROS 1. Kraus J.D. Electromagnetismo, 3ª edición. Caps. 5 y 6. McGraw-Hill 2. Wangsness R.K. Campos electromagnéticos. Cap. 20. Limusa. 3. Cheng D.K. Fundamentos de electromagnetismo para ingeniería. Cap. 5. Addison-Wesley. 4. Ulaby F.T. et al. Fundamentals of Applied Electromagnetics. Chapter 5. 6th Ed. Prentice-Hall. RECURSOS EN LA RED 27


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