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1 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Desplazamiento y polarización MagnetismoMagnetismo ElectricidadElectricidad y Ultima actualización: 25/03/2014 A. J. Barbero.

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1 1 ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO Desplazamiento y polarización MagnetismoMagnetismo ElectricidadElectricidad y Ultima actualización: 25/03/2014 A. J. Barbero Departamento de Física Aplicada UCLM

2 2 DIELÉCTRICOS. RESUMEN DE TEORÍA Vector polarización A partir de los momentos dipolares individuales Vector polarización (carga/superficie C/m 2 ) Densidades de carga de polarización Densidad volumétrica Densidad superficial MATERIA POLARIZADA MATERIA POLARIZADA Término dependiente de la carga volumétrica de polarización Término dependiente de la carga superficial de polarización Potencial debido a la polarización MagnetismoMagnetismo ElectricidadElectricidad y

3 3 Vector desplazamiento La divergencia del vector desplazamiento depende exclusivamente de la carga libre (Teorema de Gauss para el campo ) Susceptibilidad eléctrica relaciona la polarización con el campo Permitividad Condiciones de fronteraRelaciones entre las componentes de DIELÉCTRICO 1 DIELÉCTRICO 2 MagnetismoMagnetismo ElectricidadElectricidad y

4 4 CARGA PUNTUAL RODEADA DE UNA ESFERA DIELÉCTRICA Considere una esfera de material dieléctrico lineal e isótropo y homogéneo de permitividad relativa r cuyo radio es R. Existe una carga puntual Q situada en su centro. Calcular el campo eléctrico y el desplazamiento dentro y fuera de la esfera, la polarización y las densidades de carga volumétrica y superficial. Interior de la esfera Consideremos una superficie gaussiana de geometría esférica y radio r R centrada en la carga Q, a la cual aplicaremos el teorema de Gauss para el desplazamiento eléctrico. Por consideraciones de simetría Campo eléctrico Polarización MagnetismoMagnetismo ElectricidadElectricidad y

5 5 PROBLEMA (Continuación) Vectores eléctricos dentro de la esfera Cálculo de la densidad superficial de carga de polarización (carga ligada) es el vector unitario normal a la superficie, sentido saliente. El valor del vector polarización a considerar aquí es son paralelos entre sí. La carga total ligada sobre la superficie de la esfera es Es menor en un factor que la carga puntual situada en el centro a causa del apantallamiento ejercido por el dieléctrico. MagnetismoMagnetismo ElectricidadElectricidad y

6 6 MagnetismoMagnetismo ElectricidadElectricidad y PROBLEMA (Continuación) Cálculo de la densidad volumétrica de carga de polarización (carga ligada) Calculamos la divergencia en coordenadas esféricas teniendo en cuenta que por la simetría del problema la coordenada r es la única relevante. La densidad volumétrica de carga ligada es nula Comentario Comentario: el dieléctrico en su conjunto se mantiene neutro. Esta neutralidad se consigue debido a la aparición en la superficie interna de la cavidad que aloja la carga de una densidad de carga superficial de polarización negativa. Cavidad que rodea a la carga Q Sea el radio de la cavidad; es el vector unitario dirigido hacia adentro. Carga de polarización en la superficie de la cavidad La carga total de polarización del dieléctrico es nula, pues ésta está compensada por la carga de polarización en la superficie externa de la esfera.

7 7 MagnetismoMagnetismo ElectricidadElectricidad y PROBLEMA (Continuación) Exterior de la esfera (la polarización es cero) Aplicamos el teorema de Gauss sobre una superficie gaussiana concéntrica con la carga cuyo radio r sea mayor que el de ésta, r > R Por simetría se obtiene para el desplazamiento Campo eléctrico Comentario 2 Comentario 2: En el interior de la esfera (r R) los valores eran Véase que mientras que el desplazamiento es continuo, el campo eléctrico presenta una discontinuidad para r = R, puesto que en el interior de la esfera las cargas de polarización crean un campo opuesto al creado por la carga central. (Recuérdese que para el desplazamiento eléctrico la condición de frontera entre dos dieléctricos es que la componente normal permanezca constante si no hay cargas libres en la superficie; para el campo eléctrico es la componente tangencial la que permanece constante, y en este ejemplo el campo es radial, así que dicha componente tangencial es nula)

8 8 MagnetismoMagnetismo ElectricidadElectricidad y PROBLEMA (Continuación) Comentario 3 Comentario 3: Visto desde fuera de la esfera (r R) el campo eléctrico es el mismo que produciría la carga Q desnuda, pues la carga de polarización positiva situada sobre la superficie r = R tiene el mismo valor que la carga de polarización negativa de la cavidad y por lo tanto ambas contribuciones se cancelan mutuamente. Sin embargo, dentro de la esfera (r < R) lo que se ve es la carga Q apantallada por la carga de polarización negativa de la cavidad, y por tanto lo que vemos es una carga efectiva menor, cuyo valor sería Desde cualquier punto situado a la distancia r < R del centro se ve una carga efectiva menor en un factor r que la carga Q.


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