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H.K. Versteeg and W. Malalasekera
Intro to CFD II An introduction to computational fluid dynamics; the finite volume method H.K. Versteeg and W. Malalasekera
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Difusión div(Г grad(φ))+Sφ=0
La divergencia del gradiente la viscosidad “difunde” cantidad de movimiento. div(Г grad(φ))+Sφ=0
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Difusión en 1D En 1D la difusión es
Se puede representar un volumen de control
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Discretización 1D Se discretiza alrededor del pto. P
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El truco en volúmenes finitos
Se usa el teorema de la divergencia
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Discretización Si el coeff. de difusión no es cte. -> interp
Y los términos se discretizan como
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Discretización Términos fuente pueden depender de (x,y,z) Sustituyendo
Se puede expresar como
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Discretización Identificando coeficientes Se tiene
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Ejemplo Conducción de calor en una barra de área A
La ec. a resolver es k=1000W/m/K A=10E-03m2
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Ejemplo Discretizamos en 5 elementos Cada elemento (no frontera) tiene
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Ejemplo De modo que Donde
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Ejemplo Los nodos de los extremos se tratan diferente: Rearreglando
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Ejemplo Para el nodo 1 De igual manera
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Ejemplo
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Ejemplo Sistema de ecuaciones Es decir:
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Ejemplo Arreglando el sistema queda
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Ejemplo Resolviendo
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Ejemplo 2 (fuente) Ahora un ejemplo con fuente de calor:
L=2cm; k=0.5W/m/K; q=1000kW/m3; TA=100oC; TB=200oC;
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Ejemplo 2 Malla y discretización Se trata la fuente con un promedio
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Ejemplo 2 La discretización queda (nodos 2,3 y 4) Rearreglando queda
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Ejemplo 2 Para los nodos 1 (fronteras) Usando el mismo esquema ( )
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Ejemplo 2 Para el nodo 5 Procediendo de forma similar se llega a
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Ejemplo 2 El sistema de ecuaciones queda
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Y en 3D? Es lo mismo en las tres direcciones: Con más vecinos
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En 3D… Misma idea Discretizando
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En 3D Mismo manejo para los coeficientes
Mismas consideraciones para las condiciones de frontera (que en 1D y 2D)
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En resumen Para problemas de difusión en general:
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En resumen En la frontera (boundary) se hace cero el coeficiente de la frontera B (y tamaño ) para introducir las condiciones de frontera fijo: fijo:
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Convección-difusión Un término más
en términos de un volumen de control
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Caso 1D Convección-difusión 1D Y continuidad Dominio numérico:
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Caso 1D Discretizando, queda Continuidad
Definiendo el flujo convectivo y la conductancia (difusiva) Ojo: estamos suponiendo que conocemos u por el momento
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Caso 1D Los valores en las celdas quedan ( )
Empleando de nuevo diferencias centradas: Ojo: continuidad queda
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Caso 1D Interpolando los valores para las caras Queda
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Caso 1D Rearreglando:
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Caso 1D Los coeficientes quedan (esquema central differencing) donde
Igual que en difusión, agregando los flujos. Hablar sobre precisión centr. Diff.
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Ejemplo 1D Flujo de calor 1D. Caso 1: u=0.1 m/s. Discretizando:
Ojo: la sol. exacta es
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Ejemplo Caso 1 Para el nodo 1 queda Para el nodo 5 queda
Considerando difusión y advección como
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Ejemplo Caso 1 Las ecuaciones en el mismo formato Con coeficientes
Los demás:
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Ejemplo Caso 1 Valores:
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Ejemplo Caso 1 Comparación con sol. analítica
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Ejemplo Caso 2 u=2.5 m/s
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Ejemplo Caso 3 u=2.5 m/s con 20 nodos
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Propiedades de la discretización
Conservatividad Considérese la discretización central difference:
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Propiedades Hágase un balance global de flujos
Es consistente por construcción
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Propiedades Ejemplo de inconsistencias en flujos (esquema de 2º orden no muy bien pensado) Diferencias en las Ф’s
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Propiedades Cond. suficiente para convergencia (Scarborough, J.B. 1958) Diagonal dominante (ej. ver caso 2). Acotada: los coeficientes deben ser del mismo signo (compare caso 2 con demás ejs.)
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Propiedades Transportivenes (=transportabilidad?): debe tomar en cuenta la dirección del flujo.
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Propiedades Central Differencing
Conservativo OK Acotado: Continuidad cumple criterio de Scarborough Suponiendo flujos >0, coeffs. positivos Transportividad: no tiene (why?)
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Precisión Central Differences: 2º orden
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Upwind differencing Usando diferencias centradas y sustituyendo, queda (u<0)
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Upwind differencing Cuando u es negativa Queda En forma general
Donde los coeffs son
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Ejemplo Mismo ejemplo, caso 2 (Pe=5) Nodo 1 Nodo 5 Los coefs
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Ejemplo Mejor, no es así?
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Upwind differencing Conservativo OK Acotado OK Transportiveness OK
Precisión de orden uno False diffusion
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False diffusion
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Hybrid Combinar central y upwind differences de modo que upwind entre cuando Pe>=2 Si refinamos la malla, Pe se hace pequeño y podemos tener precisión adicional de orden dos.
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QUICK orden 2 Discretización consistente de orden 2
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QUICK fronteras En las fronteras se suele hacer una imagen extrapolada del último punto
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QUICK Conservativo OK Error orden 3 Transporte OK
Condicionalmente estable: para y Tridiagonal methods NO + costo cómputo Hay manera de rearreglar los coefs. para garantizar estabilidad
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¿Y si no conozco la velocidad?
Acoplamiento entre presión y velocidad Y si sí conozco la presión?
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Staggered grid Vel. y presión en el mismo punto no tiene sentido.
Backward staggered grid
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Discretización En la nueva notación Equivalentemente
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Flujos Se promedian las densidades
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Difusividades En las caras En los puntos de presión
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SIMPLE Algoritmo recursivo para resolver las ecuaciones acopladas
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SIMPLE, SIMPLEC, ETC No-linealidades y acoplamiento iterativos
Staggered grid: mejor adaptación a las variables y evita problemas con oscilaciones alta freq. Método basado en mejoras sucesivas hasta que se cumplen las ecuaciones acopladas. Un coeficiente llamado under-relaxation tiene que ser introducido en el cálculo de las correcciones para asegurar estabilidad.
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Flujos No-estacionarios
Lo mismo pero integrado en el tiempo Integrando el volumen de control:
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Y el tiempo? Veamos en 1D cómo se hace Se puede escribir
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No-estacionario 1D El lado izquierdo no es difícil
El lado derecho queda
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No estacionario 1D El término desconocido se puede tratar como una especie de promedio
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No estacionario 1D Se puede arreglar de modo estándar como antes se ha hecho donde
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Esquema explícito Aquí
Queda del lado izq. la incógnita y del lado derecho todo en función de tiempo anterior Para que haya estabilidad se tiene una condición Ememplo 8.1
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