Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

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2 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Prof. Eduardo Alejandro Barrio 1er cuatrimestre de 2005 Facultad de Filosofía y Letras, UBA.

3 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Una S es lógicamente verdadera sss S es verdadera en todo modelo. K int S sss ( M ) ( t K t S) ¿Qué representa un modelo? -Un modo posible en los que el mundo podría haber sido. (Semántica Metafísico- Representacional) -Un posible valor lógico que podrían llegar a tener las expresiones pertenecientes a la misma categoría lógica. (modelo preformal- MGC) -Un posible valor conjuntistico que podrían llegar a tener las expresiones de un L. (G.Sh.) -Una interpretación alternativa que las expresiones no lógicas podrían llegar a tener (semántica interpretacional)

4 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Tesis de Etchemendy: El enfoque tarskiano presupone el enfoque de la semántica interpretacional (que los modelos son modos alternativos de interpretar las expresiones no lógicas). O presupone el enfoque representacional o presupone el interpretacional. El primero no es reductivo (no reduce las modalidades a nada). El segundo es reductivo, pero inapropiado (conduce a la falacia modal, y es extensionalmente inadecuado).

5 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Tesis de Sher: El enfoque taskiano se ubica a medio camino entre el enfoque interpretacional y el enfoque representacional. -evitar reducción de la consecuencia lógica a la consecuencia material (el enfoque interpretacional deflaciona demasiado al permitir esta reducción). - Naturaleza formal de la lógica: los términos lógicos denotan propiedades y relaciones que son intuitivamente estructurales o matemáticos. - Identificar las relaciones de consecuencia dentro de un lenguaje L se reduce a identificar esas relaciones dentro de un L´ en el cual los términos lógicos ya están interpretados. (donde L´representa las estructuras formalmente posibles de objetos respecto de L)

6 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Tesis de García Carpintero: -el enfoque tarskiano se ubica a medio camino entre el enfoque interpretacional y el enfoque representacional. - Modelos preformales: no son mundos posibles, ni situaciones contrafácticas, ni extensiones posibles que las funciones oracionales podrían llegar a tener. Son posibles valores lógicos que expresiones pertenecientes a la misma categoría lógica (como las expresiones no lógicas) podrían llegar a tener. -Hay un sentido previo de modelo en el cual están establecidos los posibles valores lógicos de las expresiones de L. (Hay una sintaxis lógica que permite presuponer que hay algo más que un modo semántico de representar que permite asignar valores. -Dos propiedades distintas: ser verdadera en virtud de las constantes lógicas vs ser verdadera en todos los modelos preformales.

7 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Lo que Etchemendy cita de Tarski In particular, it can be proved, on the basis of this definition, that every consequence of true sentences must be true, and also that the consequence relation... is completely independent of the sense of the extralogical constants which occur in these sentences. (Etchemendy p. 86.)

8 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Quineanos vs Modalistas: Quineanos (Gómez Torrente – Ray - Hart): Lo supuestamente modal no es más que el cumplirse para todas las instancias de cierto tipo. Máximo grado de generalización sobre lo actual (lo material) Modalistas (Etchemendy – García Carpintero): Lo modal, aunque quizás reductible, es parte constitutiva del concepto intuitivo de consecuencia lógica.

9 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción informal del argumento Supongamos (1) K t S Supongamos(2) No es cierto que (S se siga con nec de K) (3) Si K t S, entonces no hay modelo de K que no sea también modelo de S Pero(4) Si S no se sigue con necesidad de K, hay un modo de interpretar en el cual todas las fórmulas de K son actualmente verdaderas y S es actualente falsa. (5) Hay un modelo (el que representa la interpretación actual de las expresiones no lógicas), en el que K es verdadera y S falsa. (5) (1) y (2) se contradicen

10 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Posición de Mario Gómez Torrente, William Hart (reseña) y de Greg Ray (1) Tarski no dio un argumento. Posición de Etchemendy: (1) Tarski dio un argumento a favor de la tesis se gún la cual su análisis del concepto intuitivo de consecuencia captura el componente modal. (2) Tarski cometió una falacia al dar el argumento. Posición de Manuel García Carpintero (1993), de Gila Sher (1991) y de McGee (1992) (1)Tarski dio un argumento (2)No cometió ninguna falacia

11 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Posición de Mario Gómez Torrente (no hay argumento): (1) Los giros modales (must) tienen que ser interpretados como afirmaciones acerca del máximo nivel de generalidad: Vale para todas las instancias de cierto tipo. Tanto en la condición (F) como en (σ) (el texto citado por Etchemendy) (2) La condición (F) no puede interpretarse modalmente cuando Tarski considera la posibilidad de tomarla no sólo como una condición necesaria sino también suficiente, ya que considera que (F) está formulada de un modo preciso y los giros modales no lo son. (3) Si (F) no contiene modalidades, cómo puede implicar algo acerca de una relación modal. (4) Tarski considera que distinción entre verdad lógica y fáctica es sólo una cuestión de grado.

12 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción del presunto argumento Tarskiano: (Aplicado a Fórmulas Universalmente Válidas) Hay que probar t S t S tiene características modales Supongamos (i) t S Y (ii) t S no tiene carácterísticas modales (iii) Si t S, (Para Toda I), I(S)=1 (iv) Nec (Si t S, (Para Toda I), I(S)=1) (v) Si t S, Nec (Para Toda I), I(S)=1) (Paso dónde se comete la falacia modal)

13 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción del presunto argumento Tarskiano: Hay que probar K t S S es implicada necesariamente por K Supongamos (i) K t S Y (ii) S no es implicada necesariamente por K (iii) Si S no es implicada necesariamente por K, hay un argumento que va de K´ a S´ en el cual K´es verdadera, y S es falsa (de (ii) ) (iv) I, tal que I(K) es actualmente verdadera y I(S) es actualmente falsa. Sin embargo, (v) Estas afirmaciones son contradictorias: (i) dice que S es verdadera en toda interpretación en el cual todas las oraciones que integran K son verdaderas, pero (iv) dice que hay una I, nominalmente, una que está representando el mundo actual en la cual K es verdadera y S es falsa.

14 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Sin embargo, Etchemendy señala que lo que se prueba es (B) Necesariamente (Si K t S, entonces (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) Pero, (B) no implica (A) (A) (Si K t S, entonces necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera)

15 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Tesis de Sher: Para toda modo de interpretar los lenguajes que Tarski tomó en cuenta, hay una interpretación conjuntista isomófica a ella. Se prueba (A) (Si K t S, entonces necesariamente (Si todas las oraciones de K son verdaderas, X es verdadera) Bajo la suposición de que S es implicado con necesidad de K sss no hay un modelo (posible) (un modo de interpretar conjuntista) de K que no sea un modelo de S.

16 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Reconstrucción del argumento de Sher: Supongamos (1) Si K t S Supongamos(2) Es posible que (toda K sea V & S falsa) (3) Sea Σ = K U {¬ S}, tales que las fórmulas de Σ sean parte de una T. (4) Si es intuitivamente posible que todas las fórmulas de Σ resulten verdaderas, hay un modelo tarkiano (un modelo de T) que realiza esa posibilidad. Resultado de Kreisel (cfr MGT cap. 7): Si Σ es parte de una teoría de primer orden, (4) es verdadero.

17 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Límites del resultado: (Sher p. 657 y MGT Cap. 7) La definición de consecuencia tarskiana no sólo se aplica a primer orden. Parte del resultado supone que la teoría es completa y las de orden superior no lo son. Es dudoso que el argumento pueda extenderse más allá. Aún para T de primer orden, podemos estar tentados a ir más allá de lo que establece la prueba. Cómo modelos cuyos dominios resultan ser incontables pueden ser proyectados sobre dominios contables Cómo interpretaciones que representan posibilidades intuitivas pueden ser exhaustivamente proyectadas sobre interpretaciones conjuntistas.

18 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Argumento de McGee (1992): Consideremos Una S es lógicamente verdadera sss S es verdadera en todo modelo. S es lógicamente verdadera es una verdad conceptual, mientras que S es verdadera en todo modelo no lo es. Un modelo es un tipo de conjunto y se requiere de su existencia para que sea verdadera esa afirmación. La inexistencia de conjuntos es lógicamente posible. Que haya conjuntos apropiados para convertir en falsa una fórmula no es un asunto lógico.

19 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Cuatro formas de entender modo de interpretar (1) entender modo de interpretar como estructura para ese lenguaje. Si la noción que tenemos en mente de modo de interpretar las constantes no lógicas de un lenguaje es simplemente la noción precisa de estructura tarskiana entonces trivialmente siempre que K t S, se daria que K int S y entonces K implicaría por necesidad lógica a X.

20 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Otras formas de entender la noción de modo de interpretar (2) Estructura cuyo dominio es una clase (aparición explícita en la estructura de una colección de objetos, que puede variar de estructura en estructura, y que puede ser un conjunto o una clase) Un (modo de interpretar)Cl el lenguaje L es una secuencia donde U es una clase no vacía, a es un... En este sentido, una estructura es un modo de interpretar un lenguaje donde el universo es una colección de objetos del mundo real. La pregunta aquí es si siempre que K t S, entonces K cl S, La respuesta no es inmediata, dado que hay más (modos de interpretar)CoP que estructuras tarskianas

21 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (3) Entender modo de interpretar como estructura cuyo dominio es un conjunto de objetos posibles Un (modo de interpretar)CoP el lenguaje es una secuencia donde U es un conjunto no vacío de objetos posibles (todos los cuales existen juntos en un mundo posible m), a es... La pregunta aquí es si siempre que K t S, entonces K conjunto posible S, La respuesta no es inmediata, dado que hay más (modos de interpretar)CoP que estructuras tarskianas

22 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales (4) Entender modo de interpretar como estructura cuyo dominio es una clase de objetos posibles Un (modo de interpretar)ClP el lenguaje LAr es una secuencia donde U es una clase no vacía de conjuntos e individuos posibles (todos los cuales existen juntos en un mundo posible m), a es... La pregunta correspondiente es si siempre que La pregunta aquí es si siempre que K t S, entonces K clase posible S La respuesta no es inmediata, ya que naturalmente hay incluso más (modos de interpretar)ClP que (modos de interpretar)CoP y que (modos de interpretar)Cl.

23 Seminario: Consecuencia Lógica: modelos y hechos modales Resultados Toda estructura es o un (modo de interpretar)Cl, o un (modo de interpretar)CoP y un (modo de interpretar)ClP. Para todo lenguaje formal, no hay un argumento que garantice que para todo modo de interpretar exista una estructura tarskiana equivalente.