Quadratic Assignment Problem

Presentación del tema: "Quadratic Assignment Problem"— Transcripción de la presentación:

1 Quadratic Assignment Problem
Problema de Asignación Cuadrática – Caso de Estudio 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

2 Seminario: Elementos de Metaheurísticas
Agenda Motivación Descripción del problema Ejemplo ¿Porqué QAP para el “Seminario: Elementos de Metaheurísticas”? Casos de Prueba 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

3 Seminario: Elementos de Metaheurísticas
Motivación Un importante productor decide instalar n fábricas en el país. Dispone de n lugares donde poder instalar las fábricas (una fábrica por lugar). Gran parte de la materia prima de cada fábrica es obtenida como un producto de alguna otra. Un importante productor decide instalar n fábricas en el país. Dispone de n lugares donde poder instalar las fábricas (una fábrica por lugar). Gran parte de la materia prima de cada fábrica es obtenida como un producto de alguna otra. El costo mas importante del productor es el transporte de los productos entre las fábricas. El problema a que se enfrenta el productor es decidir donde instalar cada fábrica, de forma de disminuir el costo de transporte de mercadería. 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

4 Seminario: Elementos de Metaheurísticas
Motivación (2) El costo mas importante del productor es el transporte de los productos entre las fábricas. El problema a que se enfrenta el productor es decidir donde instalar cada fábrica, de forma de disminuir el costo de transporte de mercadería. Un importante productor decide instalar n fábricas en el país. Dispone de n lugares donde poder instalar las fábricas (una fábrica por lugar). Gran parte de la materia prima de cada fábrica es obtenida como un producto de alguna otra. El costo mas importante del productor es el transporte de los productos entre las fábricas. El problema a que se enfrenta el productor es decidir donde instalar cada fábrica, de forma de disminuir el costo de transporte de mercadería. 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

5 Descripción del problema
Es un problema de asignación simple, donde se tienen n fábricas a asignar a n lugares. Existen n! posible asignaciones (n! soluciones factibles del problema). Se conocen las distancias entre los lugares. Se conoce el flujo de productos que existirá entre las fábricas. Es un problema de asignación simple, donde se tienen n fábricas a asignar a n lugares. Existen n! posible asignaciones (n! soluciones factibles del problema). Se conocen las distancias entre los lugares. Se conoce el flujo de productos que va a existir entre las fábricas. 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

6 Descripción del problema (2)
Se trata de encontrar la asignación de menor costo. Para medir el costo de una asignación se suman los costos de envío de productos entre todo par de fábricas. El costo de envío entre un par de fábricas es el producto del flujo esperado entre las fábricas por la distancia entre los lugares asignados a esas fábricas. Se trata de encontrar la asignación de menor costo. Para medir el costo de una asignación se suman los costos de envío de productos entre todo par de fábricas. El costo de envío entre un par de fábricas es la multiplicación del flujo esperado entre las fábricas por la distancia entre los lugares asignados a esas fábricas. 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

7 Formulación Matemática
Sea Dada la matriz de distancias entre los lugares y la matriz de flujos entre las fábricas: Una asignación es un vector permutación de N. Donde pi es el lugar donde se instala la fábrica i. Entonces QAP es encontrar la permutación que minimice el costo: 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

8 Formulación Matemática (2)
Ejemplo n=4 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

9 Representación en términos de Grafos
Los nodos son los lugares, además cada uno se etiqueta con la fábrica asignada. Las aristas que unen los nodos, se ponderan de acuerdo a la distancia entre las fábricas. Las aristas son los flujos, donde el grosor representa la cantidad de flujo. 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

10 Representación en términos de Grafos (2)
Ejemplo En el ejemplo los lugares se etiquetan con letras y las fábricas con números 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

11 Seminario: Elementos de Metaheurísticas
Ejemplo de Heurística Algorítmo goloso: Asigno la fábrica que recibe mas mercadería (mayor flujo total) al lugar con menor distancia al resto. Repito este proceso con las restantes fábricas hasta terminar la asignación. 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

12 Ejemplo de Heurística (2)
Ejecución en el ejemplo: 1. la fábrica 4 al lugar 2: 2. la fábrica 2 al lugar 1: 3. Es indistinto elegir la fábrica 1 o 3, asignemos la fábrica 1 al lugar 3: 4. Finalmente: 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

13 Ejemplo de Heurística (3)
Ejecución en el ejemplo: El resultado es la solución anterior: 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

14 Ejemplo de Heurística (4)
n= soluciones posibles Espacio de soluciones: 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

15 ¿Porqué QAP para el “Seminario: Elementos de Metaheurísticas”?
Muy fácil entendimiento. Casos de prueba de tamaño pequeño (n<25), fáciles de manejar. Permite una representación gráfica y analítica. Permite la aplicabilidad de una gama amplia de metaheurísticas. 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

16 Seminario: Elementos de Metaheurísticas
Casos de Prueba Metodología Tema de la próxima charla. Formato Entrada y Salida formato estándar para la especificación del QAP (referencia: QAPLIB- A Quadratic Assignment Problem Library). Formato de archivo de entrada n F D Donde n es el tamaño del problema, F la matriz de flujos y D la matriz de distancias (las matrices se representan una fila por renglón, separando las columnas con espacios) Formato de archivo de salida n sol p Donde n es el tamaño del problema, sol es el costo de la solución, y p es el vector permutación (vector representado en un renglón, con los valores separados por espacios). Entrada: n F D Salida: n sol p 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

17 Seminario: Elementos de Metaheurísticas
Casos de Prueba (2) Nuestro ejemplo Archivo Entrada: 4 Archivo Salida: 4 395 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

18 Seminario: Elementos de Metaheurísticas
Links útiles Seminario: Elementos de Metaheurísticas. QAPLIB - A Quadratic Assignment Problem Library. The Quadratic Assignment Problem: An Example of Combinatorial Optimization QAPLIB - A Quadratic Assignment Problem Library. [desde 1991 se encuentra disponible, principalmente para reunir casos de testeo, tiene software: la idea del curso es que ustedes implementen no que copien el código] 07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas

19 Seminario: Elementos de Metaheurísticas
07/12/2018 Seminario: Elementos de Metaheurísticas