GEOMETRÍA ANALÍTICA U. D. 9 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito

Presentación del tema: "GEOMETRÍA ANALÍTICA U. D. 9 * 4º ESO E. Angel Prieto Benito"— Transcripción de la presentación:

1 GEOMETRÍA ANALÍTICA U. D. 9 * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito
Matemáticas 4º ESO E. AC.

2 OPERACIONES CON VECTORES LIBRES
U. D * 4º ESO E. AC. @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

3 SUMA ANALÍTICA DE VECTORES
SUMA DE VECTORES Sea el vector v= (a,b) y el vector u= (c,d) La suma será: S = v+u = (a,b)+(c,d) = (a+c, b+d) EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) y el vector u= (2, 7) La suma será: S = (3+2, 4+7) = (5, 9) EJEMPLO_2 Sea el vector v =(- 3, 2) y el vector u =(5, - 7) La suma será: S = (-3+5, 2 - 7) = (2, - 5) EJEMPLO_3 Sea el vector v =(7, 4) y el vector u =(7, - 4) La suma será: S = (7+7, 4 - 4) = (14, 0)  Vector horizontal @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

4 SUMA GEOMÉTRICA DE VECTORES
Se lleva a continuación de uno cualquiera el otro, de forma que la suma es el vector que tiene: Como principio o punto de aplicación, el del primer vector; como final el final del segundo vector. El segundo vector, u, actúa como vector libre al desplazarse paralelamente a sí mismo para sumarse con el primer vector v. u =(5, 0) u =(5, 0) v =(5,3) S=(10,3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

5 SUMA ANALÍTICA DE VECTORES
Para sumar más de dos vectores se lleva a continuación de uno cualquiera otro, y a continuación del segundo el tercer vector. El segundo vector, u, al igual que el tercero, w, actúan como vectores libres al desplazarse paralelamente a sí mismos para sumarse con el primer vector v. w =(-2, 2) u =(3, 0) w =(-2, 2) v =(5, 3) u =(3, 0) S=(6, 1) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

6 PRODUCTO DE UN VECTOR POR UN NÚMERO REAL
El producto de un número real, k, no nulo por el vector libre v, es otro vector caracterizado por: Tener la misma dirección de v. Su módulo es k veces el módulo de v. El sentido el mismo que v si k es positivo, y sentido opuesto al de v si k es negativo. Ejemplo: Sea k=2 y v=(3,2) 2.v =(2.3, 2.2) = (6, 4) Ejemplo: Sea k= - 3 y u=(1,1) v =(3,2) (- 3).u =(´-3.1, -3.1) = (- 3, - 3) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

7 COMBINACIÓN LINEAL Sea el vector v= (a,b) y el vector u= (c,d)
Ambos vectores están expresados por sus coordenadas cartesianas. Las coordenadas a y c, corresponden al eje OX. Las coordenadas b y d, corresponden al eje OY. También se denota un vector de la forma: v = a.i + b.j , u = c.i + d.j Siendo i y j vectores unitarios, de módulo la unidad, en los ejes OX y OY. Cualquier otro vector, w, del plano se podrá conseguir mediante la combinación de los dos primeros vectores, siempre que v y u sean vectores linealmente independientes. Si u = k.v , siendo k un número real, u y v son linealmente dependientes. Es decir, siempre habrá un par de números, k y h, tal que: w=k.(a, b) + h.(c, d) Puesto de otra manera: w=k.(ai + bj) + h.(ci + dj) = k.ai + k.bj + h.ci + h.dj = = (k.a + h.c)i + (k.b + h.d)j @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

8 Ejemplo 1 EJEMPLO_1 Sea el vector v= (3, 4) , el vector u= (2, 1) y el vector w=(5, 10) Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u (5, 10) = a.(3, 4) + b.(2, 1) (5, 10) = (3a, 4a) + (2b, b) (5, 10) = (3a + 2b, 4a + b) 3.a + 2.b = 5 4.a + b = 10 Por Reducción: - 5.a = - 15  a = 3  b = -2 w =(5, 10) 3.v v =(3, 4) u =(2, 1) -2u @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

9 Ejemplo 2 EJEMPLO_2 Sea el vector v= (0, 4) , el vector u= (5, 0) y el vector w=(3, 6) Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u (3, 6) = a.(0, 4) + b.(5, 0) (3, 6) = (0.a, 4.a) + (5.b, 0.b) (3, 6) = (0, 4.a) + (5.b, 0) 0 + 5.b = 3 4.a + 0 = 6 b = 3/5 = 0,6 , a = 6/4 = 1,5 1,5.v w =(3, 6) v =(0, 4) 0,6u u =(5, 0) @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.

10 Ejemplo 3 EJEMPLO_3 Sea el vector v= (-3, 4) , el vector u= (2, -3) y el vector w=(5, 5) Hallar el valor de a y b para que se verifique w=a.v+b.u (5, 5) = a.(-3, 4) + b.(2, -3) (5, 5) = (-3a, 4a) + (2b, -3b) (5, 5) = (-3a + 2b, 4a – 3b) -3.a + 2.b = 5 4.a – 3b = 5 Por Reducción: -12.a + 8.b = 20 12.a – 9b = 15 Sumando ambas: - b = 35  a = (15 + 9b)/12 = -300/12= - 25 a = – 25 , b = – 35 @ Angel Prieto Benito Matemáticas 4º ESO E. AC.