@ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 U.D. 1 * 1º BCT NÚMEROS REALES.

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1 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT1 U.D. 1 * 1º BCT NÚMEROS REALES

2 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT2 U.D. 1.1 * 1º BCT NÚMEROS REALES

3 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT3 NÚMEROS RACIONALES ESO Y BACHILLERATO DE CIENCIAS SOCIALES NATURALES (N) ENTEROS ( Z) NEGATIVOS RACIONALES ( Q ) FRACCIONARIOS REALES ( R ) IRRACIONALES COMPLEJOS ( C ) REALES ( R ) IMAGINARIOS OTROS BACHILLERATOS Y CARRERAS TÉCNICAS Y CIENTÍFICAS

4 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT4 EXPRESIÓN DECIMAL DE UNA FRACCIÓN Toda fracción puede escribirse en forma decimal. Para ello basta dividir el numerador entre el denominador. Al hacerlo pueden darse tres casos: 1.-Que la expresión decimal sea EXACTA. Podemos saberlo sin necesidad de hacer la división: Bastará que el denominador tenga como factores únicamente el 2 o el 5. EJEMPLOS 1.-La fracción 7 / 4 Tiene como factor del denominador el 2 Dividimos 7 entre 4: 7 / 4 = 1,75  Expresión decimal EXACTA 2.-La fracción 7 / 5 Tiene como factor del denominador el 5 Dividimos 7 entre 5: 7 / 5 = 1,2  Expresión decimal EXACTA

5 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT5 2.-Que la expresión decimal sea PERIÓDICA PURA. Podemos saberlo sin necesidad de hacer la división: Bastará que el denominador tenga factores distintos de 2 y de 5. EJEMPLOS 1.-La fracción 7 / 3 Dividimos numerador entre denominador: 7 / 3 = 2,3333…  Expresión periódica pura. 2.-La fracción 4 / 7 Dividimos numerador entre denominador: 4 / 7 = 0,571428571428…  Expresión periódica pura. 3.-La fracción 5 / 11 Dividimos numerador entre denominador: 5 / 11 = 0,4545…  Expresión periódica pura.

6 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT6 3.-Que la expresión decimal sea PERIÓDICA MIXTA. Ahora presentará en su parte decimal una parte no periódica seguida de otra periódica. Podemos saberlo sin necesidad de hacer la división: Bastará que el denominador factores el 2 o el 5 y otros. EJEMPLOS 1.-La fracción 7 / 6 Dividimos numerador entre denominador: 7 / 6 = 1,16666…  Expresión periódica mixta. 2.-La fracción 4 / 35 Dividimos numerador entre denominador: 4 / 35 = 0,1142857142857…  Expresión periódica mixta.

7 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT7 EXPRESIÓN FRACCIONARIA DE UN DECIMAL PERIÓDICO Toda expresión decimal periódica puede escribirse como una fracción. Al hacerlo pueden darse tres casos: 1.-Que la expresión decimal sea EXACTA. Se multiplica por 10, 100, 1000, … y se despeja la incógnita asignada. EJEMPLOS 1.-Sea x = 4,3 Multiplicamos por 10: 10.x = 43 Despejamos x: x = 43 / 10 2.-Sea x = 2,175 Multiplicamos por 1000: 1000.x = 2175 Despejamos x: x = 2175 / 1000 = 435 / 200 = 87 / 40

8 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT8 2.-Que la expresión decimal sea periódica pura. Se multiplica por 10, 100, 1000, … para abarcar toda la parte periódica Se restan ambas expresiones, con lo que eliminamos la parte decimal igual en ambas. Y se despeja la incógnita asignada. EJEMPLOS 1.-Sea x = 4,33333… Multiplicamos por 10:10.x = 43,333 Restamos x = 4,333 Queda: 9.x = 43 - 4 Despejamos x: x = 39 / 9 2.-Sea n = 2,171717… Multiplicamos por 100:100.n = 217,1717… Restamos n = 2,1717… Queda: 99.n = 215 Despejamos n: n = 215 / 99

9 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT9 3.-Que la expresión decimal sea periódica mixta. Se multiplica por 100, 1000, … para abarcar hasta el final de la parte periódica Se multiplica por 10,100, 1000, … para abarcar la parte decimal no periódica Se restan ambas expresiones, con lo que eliminamos la parte decimal igual en ambas. Y se despeja la incógnita asignada. EJEMPLOS 1.-Sea x = 4,7133333… Multiplicamos por 1000:1000.x = 4713,333 Multiplicamos por 100: 100.x = 471,333 Al restar queda: 900.x = 4713 - 471 Despejamos x:x = 3242 / 900 2.-Sea n = 2,0171717… Multiplicamos por 1000:1000.n = 2017,1717… Multiplicamos por 10: 10.n = 20,171717… Al restar queda 990.n = 2017 - 20 Despejamos n:n = 1997 / 990

10 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT10 CONCLUSIÓN Los números racionales se caracterizan porque pueden expresarse en forma de fracción, es decir como cociente de dos números enteros. x є Q ↔ existen a, b є Z tales que x = a / b También, en su forma decimal, los números racionales o bien son enteros o tienen una expresión decimal finita o periódica. PROPIEDAD En cualquier intervalo de la recta, por pequeño que sea, hay infinitos números racionales. Por ello el conjunto Q es un conjunto denso. Ejemplo: ¿Hay algún número racional entre 3 / 7 y 4 / 7 ? Aparentemente no, pero 3/7 = 6/14 y 4/7 = 8/14 Luego 7/14 es un racional comprendido entre 3/7 y 4/7 ¿Y entre 6/14 y 7/14 ? Pues lo mismo que entre 12/28 y 14/28  El 13 / 28 Y así podíamos seguir hasta el infinito.

11 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT11 Números IRRACIONALES DEFINICIÓN Las expresiones decimales no exactas ni periódicas se llaman números IRRACIONALES. Ejemplo: 21,303003000… No se pueden escribir en forma de fracción. Junto con los números racionales forman el conjunto de los números REALES ( R ) Los más importantes y característicos son: El número √2 = 1,4142… El número π = 3,1415 … El número e = 2,7182… y el número Phi, Ø = 1,618…

12 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT12 1 1 √2 El número √2 El primer radical irracional conocido fue √2. Se trata de la diagonal de un cuadrado cuyo lado vale la unidad. Si √2 fuera un número racional: √2 =p/q, siendo p y q números enteros. Elevando al cuadrado: 2 = p 2 / q 2 O sea: 2.q 2 = p 2 p 2 tiene que ser un número par, ya que es un múltiplo de 2. Eso obliga a que p sea par: p=2.k Queda: 2.q 2 = p 2 = 4.k 2 Es decir: q 2 = 2.k 2 Lo que obliga a que q 2 sea par, con lo que q debe ser también par. Conclusión: Si √2 fuera racional, p y q deben ser pares. Pero p y q no pueden ser pares, puesto que son números primos entre sí.

13 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT13 El número π Ya sabéis que es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. En el siguiente recuadro tienes una serie de números racionales que converge hacia π El número e Es tan importante o más que el número π. En el siguiente recuadro tenéis dos series de números racionales que converge hacia “e”.

14 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT14 El número e Está considerado el número por excelencia del cálculo, así como π lo es de la geometría e i del análisis complejo. El simple hecho de que la función e x coincida con su derivada hace que la función exponencial se encuentre frecuentemente en el resultado de ecuaciones diferenciales sencillas. Como consecuencia de lo anterior, describe el comportamiento de acontecimientos físicos regidos por leyes sencillas, como pueden ser la velocidad de vaciado de un depósito de agua, el giro de una veleta frente a una ráfaga de viento, el movimiento del sistema de amortiguación de un automóvil o el cimbreo de un edificio metálico en caso de terremoto. De la misma manera, aparece en muchos otros campos de la ciencia y la técnica, describiendo fenómenos eléctricos y electrónicos (descarga de un condensador, amplificación de corrientes en transistores BJT, etc.). También aparece en fenómenos biológicos (crecimiento de células, etc.), químicos (concentración de iones, periodos de semidesintegración, etc.), y muchos más.

15 @ Angel Prieto BenitoMatemáticas 1º Bachillerato CT15 A 1 B C D O 1 El número Phi ( Ø ) La divina proporción 1 x ----- = --------- x x+1 x ( Ø ) = 1,618281…