Introducción Representación de señales utilizando senos y cosenos (en otras palabras, exponenciales complejas). señales y sistemas utilizando exponenciales complejas se denomina análisis de Fourier.

Representaciones de Fourier para cuatro clases de señales Propiedad de tiempo Periódica No periódica Continua Serie de Fourier (FS) Transformada de Fourier (FT) Discreta Serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS) Transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT)

Señales periódicas: representaciones mediante las series de Fourier Considérese la representación de una señal periódica cualquiera como una superposición de senos y cosenos (exponenciales complejas). La frecuencia de cada senoide debe ser un múltiplo de la frecuencia fundamental de la señal. Supongamos que se tiene una señal periódica con periodo fundamental N, su representación mediante la serie de Fourier es: Donde Ω0 = 2π/N es la frecuencia fundamental de la señal periódica. La frecuencia de la exponencial k-ésima en la superposición es kΩ0.

Señales periódicas (cont.) En el caso de una señal continua periódica con periodo fundamental T, la serie de Fourier se define como: donde ω0 = 2π/T es la frecuencia fundamental de la señal periódica continua.

Señales periódicas (cont.) Pensando en el caso de una secuencia discreta periódica surge la pregunta ¿cuántos términos y pesos debe usarse en cada suma? Recordemos que, en el caso discreto, exponenciales complejas con frecuencias distintas no siempre son diferentes. Tenemos: Es decir, hay sólo N exponenciales complejas distintas de esta forma.

Señales periódicas (cont.) En consecuencia, podemos reescribir la ecuación de la serie de Fourier de una señal discreta periódica: donde la notación k = <N> indica dejar que k varíe sobre cualesquiera N valores consecutivos (comúnmente se usan los valores de k = 0 hasta N-1).

La DTFS La representación mediante la DTFS está dada por Decimos que x[n] y X[k] son un par DTFS y denotamos esta relación como

Importante: La DTFS es la única representación de Fourier que puede evaluarse y manipularse numéricamente (con la computadora). Esto se debe a que tanto la secuencia en el tiempo como la representación en frecuencia están caracterizadas por un conjunto finito de N números.

La representación mediante la FS está dada por: Afirmamos que x(t) y X[k] son un par FS y denotamos esta relación como

La serie de Fourier nos conduce a...

¡La transformada de Fourier!

Representación mediante la DTFT La DTFT se expresa como donde Representación del par de DTFT:

Ejemplo: Primer figura: Señal de voz de hombre (Homer Simpson en inglés) Segunda figura: Su transformada de Fourier (para valores de ω entre –π y π)

Otro ejemplo: Canción punchis punchis Su transformada de Fourier

Dominio de la frecuencia Dominio de tiempo Periódica No periódica Continua FS FT Discreta DTFS DTFT Dominio de la frecuencia