Resolución de triángulos esféricos oblicuángulos Método general

Repaso de las fórmulas generales de los Triángulos esféricos

Resolución de triángulos esféricos - Caso general -

← Caso 1º. Conocidos los tres lados a, b, c. Partimos de: cos a = cos b cos c + sin b sin c cos A cos b = cos c cos a + sin c sin a cos B cos c = cos a cos b + sin a sin b cos C ← Obtenemos:

← Caso 2º. Conocidos los tres ángulos A, B, C. Partimos de: cos A = - cos B cos C + sin B sin C cos a cos B = - cos C cos A + sin C sin A cos b cos C = - cos A cos B + sin A sin B cos c ← Se deduce:

↓ ← Caso 3º. Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. Conocemos a, b, C ; hay que calcular: c, A, B. Cálculo de c: ↓ Cálculo de A y B: ← ctg a sin b = cos b cos C + sin C ctg A ctg b sin a = cos a cos C + sin C ctg B Obtenemos:

↓ ↓ Caso 4º. Conocidos dos ángulos y lado entre ellos. Conocemos c, A, B ; hay que calcular: a, b, C. Cálculo de C: ↓ Cálculo de a y b: ↓ ctg a sin c = cos c cos B + sin B ctg A ctg b sin c = cos c cos A + sin A ctg B Obtenemos:

Analogías de Neper. Primera analogía de Neper: Segunda analogía de Neper:

Analogías de Neper (tercera y cuarta): Tercera analogía de Neper: Cuarta analogía de Neper:

Atención: Analogías de Neper (1ª y 3ª) Primera analogía de Neper: Tercera analogía de Neper:

Caso 5º. Conocidos dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos. Conocemos a, b , A ; hay que calcular: c, B, C. Cálculo de B: Hacer discusión → Cálculo de C: 1ª analogía → Cálculo de c: 3ª analogía →

Discusión del caso 5º. Se realiza basándose en: 1º. La suma de dos ángulos (*) es >, < ó = 180º si, y solo si, la suma de los dos lados opuestos también lo es: A + B > 180º ↔ a + b > 180 A + B < 180º ↔ a + b < 180 A + B = 180º ↔ a + b = 180 2º. A lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa. a = b ↔ A = B 3º. A un mayor lado se opone un mayor ángulo y viceversa. a > b ↔ A > B

Discusión caso 5º. Número de soluciones (A < 90º):

Número de soluciones (A > 90º):

Discusión: → a < b → A < B A > 90º → B > 90º Ejemplo 1: Discutir el triángulo esférico oblicuángulo: a = 82º 23’ 41”, b = 115º 14’ , A = 103º 36’ Discusión: ¿B ?. → a +b > 180º → A + B > 180º → a < b → A < B A > 90º → B > 90º [Hay una solución]

A < 90º → B1 < 90º (Imposible) , B2 >90 Ejemplo 2: Discutir y resolver el triángulo esférico oblicuángulo: a = 75º 14’ 5”, b = 107º 25’ , A = 128º 15’ 20” Discusión: ¿B ?. a +b > 180º → A + B > 180º a < b → A < B A < 90º → B1 < 90º (Imposible) , B2 >90 Hay una solución B > 90.

c = 175º 45’ 49.4” Resolución: Cálculo de B: Solución válida Cálculo de C y c: tercera analogía: c = 175º 45’ 49.4”

Primera analogía: C = 176º33’ 39.3”

Caso 6º. Conocidos dos ángulos y el lado opuesto a uno de ellos. Conocemos A, B , a ; hay que calcular: b, c, C. Cálculo de b: Hacer estudio → Cálculo de c: 3ª analogía → Cálculo de C: 1ª analogía →

2º. A lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa. Discusión del caso 6º. Se realiza basándose en: 1º. La suma de dos ángulos es >, < ó = 180º si, y solo si, la suma de los dos lados opuestos también lo es: A + B > 180º ↔ a + b > 180 A + B < 180º ↔ a + b < 180 A + B = 180º ↔ a + b = 180 2º. A lados iguales se oponen ángulos iguales y viceversa. a = b ↔ A = B 3º. A un mayor lado se opone un mayor ángulo y viceversa. a > b ↔ A > B

Número de soluciones (a < 90º):

Número de soluciones (a > 90º):

Ejemplo: Resolver el triángulo esférico: A = 161º 41’ 35” B = 18º 18’ 25” a = 22º 15’ 39” Solución: a < 90º , A + B = 180º → a + b = 180º A > B → a > b (Imposible) ---- No hay solución -----------

Ejemplo: Resolver el triángulo esférico: a = 150º 35’ 12” B = 68º 57’ 34” Solución: a >90º , A + B > 180º → a + b > 180º A > B → a > b (Dos soluciones b1, b2) Cálculo de b:

* Sustituimos A+B, A - B, a + b1 : Cálculo de c: 3ª analogía → * Sustituimos A+B, A - B, a + b1 : c1= 146º 17’ 59.4” ; * Sustituimos A+B, A - B, a + b2 : c2= 10º 48’ 52.6”

* Sustituimos a, A, B, b1 : c1= 146º 17’ 59.4” ; c2= 10º 48’ 52.6” Cálculo de C: 3ª analogía → * Sustituimos a, A, B, b1 : c1= 146º 17’ 59.4” ; * Sustituimos a, A, B, b2 : c2= 10º 48’ 52.6”

* Sustituimos a, A, B, b1 : C1= 114º 24’ 46.4” ; C2= 17º 56’ 5” Cálculo de C: 1ª analogía → * Sustituimos a, A, B, b1 : C1= 114º 24’ 46.4” ; * Sustituimos a, A, B, b2 : C2= 17º 56’ 5”

Método del perpendículo Resolución de triángulos oblicuángulos

Método del perpendículo. Todo triángulo oblicuángulo se puede descomponer en dos triángulos rectángulos al trazar el perpendículo p. Caso en que A<90º, B<90º.

Caso en que A>90º ó B>90º.

REGLAS - El perpendículo p, a ser posible, debe trazarse desde un ángulo diferente al ángulo conocido. - Al trazar el perpendículo p, en uno de los triángulos rectángulos deben conocerse dos de sus elementos. - Cuando los datos conocidos son los tres lados, el método se complica demasiado.

Resolver el triángulo esférico, con los datos conocidos: Ejemplo 1: Resolver el triángulo esférico, con los datos conocidos: A = 75º 40’ b = 42º 23’ c = 107º 14’

Resolver el triángulo esférico, con los datos conocidos: Ejemplo 1: Resolver el triángulo esférico, con los datos conocidos: A = 75º 40’ b = 42º 23’ c = 107º 14’ 1º) En el triángulo I conocemos: b , A. Calculamos: ……………. p, x, X. 2º) En el triángulo II ahora conocemos: p,y Calculamos: ……………. B, a, Y . C = X + Y

sin p = sin A sin b = 0.96887 * 0.67408 = 0.65309 → p = 40º 46’ 32”. Triángulo I sin p = sin A sin b = 0.96887 * 0.67408 = 0.65309 → p = 40º 46’ 32”. tan x = cos A tan b = 0.24756 * 0.91259 = 0.22592 → x = 12º 43’ 50”. → y = c – x = 94º 39’ 10” → X = 19º 04’ 54”

Triángulo II cos a = cos p cos y = 0.75727 * (-0.08111) = -0.06142 → a = 93º 24’ 30”. → B = 40º 52’ 08” → Y = 93º 02’ 33” → C = X + Y = 112º 07’ 27”

Resolver el triángulo esférico oblicuángulo, con los datos conocidos: Ejemplo 2: Resolver el triángulo esférico oblicuángulo, con los datos conocidos: b = 51º 08’ c = 49º 27’ A = 118º 42’ I) Trazando el perpendículo p desde el ángulo B. II) « « « p desde « « C.

→ I) Trazando p desde B: Calculamos: X, p, x. Cálculo de X: Triáng. Rectángulo I Calculamos: X, p, x. Cálculo de X: →

Cálculo de p: cos (90º - p) = sin c . sin (180º -A) → sin p = sin c . sin A sin p = 0.75983 * 0.87714 = 0.66647 → p = 41º 47’ 42” Cálculo de x: cos (180º - A) = cot c . cot (90º - x) → → tan x = -cosA . tan c = -(-0.48022) * 1.16878 → x = 41º 47’ 42”

cos(90º - p) = cot (90º- Y) . cot(90º - Y) → Triáng. Rectángulo II Calculamos: a, Y , C. y = x + b = 80º 26’ 15” Cálculo de a: cos a = sin(90º - p) . sin(90º - y) = cos p cos y = 0.12384 → a = 82º 53’ 08” Cálculo de Y: cos(90º - p) = cot (90º- Y) . cot(90º - Y) → → Y = 83º 35’ 38”

cos (90º - y) = cot(90º - p) . cot C → Triáng. Rectángulo II Cálculo de C: cos (90º - y) = cot(90º - p) . cot C → → C = 42º 11’ 43”

→ → X = 41º 06’ 14” Perpendículo desde C Triáng. Rectángulo I Calculamos: X, p, x . Cálculo de X: cos b = cot X . cot (180º - A) = → → X = 41º 06’ 14”

Cálculo de p: cos(90º - p) = sin b . sin(180º - A) → sin p = sin b sin A = 0.68249 → p = 43º 04’ 26” Cálculo de x: cos(180º - A) = cot b . cot(90º - x) → → tan x = - cos A . tan b = 0.59584 → x = 30º 47’ 18” c + x = y → y = 80º 14’ 18”

Triángulo rectángulo II Conocemos: p, y Calculamos: B, Y , a. Cálculo de a : cos a = sin(90º - p) . sin(90º - y) = cos p . cos y = 0.12384 → a = 82º 53’ 10”

cos(90º - p) = cot Y . cot(90º - y) → Cálculo de Y: cos(90º - p) = cot Y . cot(90º - y) → → Y = 83º 17’ 56” → Y – X = C = 42º 11’ 43” Cálculo de B : cos(90º - y) = cot B . cot(90º - p) → → B = 43º 29’ 26”

A < 90º; a + c < 180º → A + C < 180º ; Ejemplo 3: Resolver por el método del perpendículo, el triángulo esférico, con los datos conocidos: a = 58º 43’ ; c = 78º 29’ ; A = 40º 12’ . Solución: A < 90º; a + c < 180º → A + C < 180º ; a < c → A < C  Dos soluciones

Primera solución (C1 < 90º) Triángulo I: (Datos conocidos): c, A 1. Cálculo de X1 : → X1 = 80º 25’ 24”

(C1 < 90º) Triángulo I: (Datos conocidos): c, A 2. Cálculo de p1 : cos(90º - p1) = sin A . sin c → sin p1 = sin A . sin c = 0.63245 → p1 = 39º 13’ 52”

(C1 < 90º) Triángulo I: (Datos conocidos): c, A 3. Cálculo de x1 : cos A = cot c . cot (90º - x1) = tan x1 = cos A . tan c = 3.74855 → x1 = 75º 03’ 47”

(C1 < 90º) Triángulo II: (Datos conocidos): p1, a. 4. Cálculo de y1 : cos a = sin (90º - y1) . sin (90º - p1) = cos y1 . cos p1 → → y1 = 47º 54’ 15”

(C1 < 90º) Triángulo II: (Datos conocidos): p1, a. 5. Cálculo de Y1 : cos Y1 = cot a . cot (90º - p1) → → Y1 = 60º 15’ 25”

(C1 < 90º) Triángulo II: (Datos conocidos): p1, a. 6. Cálculo de C1 : cos (90º - p1)= sin a . sin C1 → sin p1 = sin a . sin C1 → C1 = 47º 44’ 06”

B1 < 90º x1 + y1 = b1 = 122º 58’ 02” X1 + Y1 = B1 = 140º 40’ 46”

Segunda solución: C2 > 90º . Triángulo I Conocidos: A, c Segunda solución: C2 > 90º . Y2 = X1 = 80º 25’ 24” . p2 = p1 = 39º 13’ 52” y2 = y1 = 75º 03’ 47” ¡ Atención! : Corregir la errata de pag. 118 (libro)

Triángulo II Conocidos: a, p2 Segunda solución: C2 > 90º . x2 = y1 = 47º 54’ 15” . X2 = Y1 = 60º 15’ 25” 180º - C2 = C1 = 47º 44’ 06”

C2 = 132º 15’ 48.5” b2 = y2 – x2 = 27º 09’ 31” B2 = Y2 – X2 = 20º 09’ 31”