FUNCIONES

FUNCIONES ¿Qué es una función? Funciones crecientes, decrecientes y tasa de cambio promedio Gráficas de funciones Elementos de una función Transformaciones de funciones

¿Qué es una función? Representación de una función Cómo reemplazar Dominio Definición de función Una función es una regla que asigna a cada elemento x en un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), en un conjunto B. Se debe reemplazar el número en la variable independiente x, para hallar la dependiente y . Es el conjunto de elementos que tienen imagen. Verbal Algebraica Visual Numérica El símbolo f(x) se llama el valor de f en x. El conjunto A se llama dominio de la función. El rango de f es el conjunto de los valores reales que toma la variable dependiente y o f(x). La variable independiente x es la que no varía dependiendo de la otra. La variable dependiente y es la que varía dependiendo del desplazamiento de x.

Elementos de una función Conjunto de salida Conjunto de llegada Rango Dominio Función Inyectiva Función sobreyectiva Función biyectiva

Graficación de funciones definidas por partes Ecuaciones de funciones Gráficas de Funciones Graficación Graficación de funciones definidas por partes Ecuaciones de funciones f(x)= mx + b se llama función lineal f(x)= b se llama función constante Se define mediante fórmulas distintas en su dominio, depende de la variable independiente x. Funciones lineales f(x) = mx + b Funciones exponenciales f(x) = xᵏ Funciones de raíz f(x) = x Funciones recíprocas f(x) = 1/xᵏ Función valor absoluto f(x) = IxI

Funciones Crecientes , Decrecientes y Tasa de Cambio Promedio Se dice que es creciente cuando la gráfica sube, asciende en y. Es la pendiente de la recta secante entre x = a y x = b en la gráfica de f es decir, la recta que pasa por (a , f(a)) y (a , f(b)). Tasa de cambio promedio es igual a Δy/Δx Funciones decrecientes Se dice que es decreciente cuando la gráfica baja, desciende con respecto a y.

Transformaciones de Funciones Desplazamiento vertical Desplazamiento horizontal Alargamiento vertical Alargamiento horizontal Sumar una constante a la función vertical: se desplaza hacia arriba si la constante es positiva y hacia abajo si es negativa. y= f(x + c) desplaza la gráfica c unidades a la izquierda y si se resta desplaza hacia la derecha: y= f (x - c) Para alargar verticalmente una gráfica se multiplica por un número c mayor que 1. Para acortar la gráfica se multiplica por un número a menor que uno pero positivo, entre 1 y 0. Para alargar horizontalmente una gráfica se divide por un número 1/a, a es mayor que 1. Para acortar la gráfica se divide por un número 1/a, cuando a es menor 1, pero positivo.

Conjunto de Salida Es el conjunto de números llamados conjunto A, que son las preimágenes, cada elemento debe estar relacionado una vez con un elemento del conjunto de llegada B o conjunto de imágenes. Por lo general formados por números reales (R).

Conjunto de Llegada Es el conjunto de números del conjunto B, llamados imágenes y están relacionados con los elementos del conjunto A. Generalmente son números reales (R).

Dominio Es el conjunto de preimágenes, el conjunto de números que del conjunto A están relacionados una vez con un solo elemento del conjunto B. Generalmente números reales (R).

Rango Es el conjunto de imágenes, el conjunto de números que del conjunto B, se relacionan una vez con los elementos del conjunto A.

Función Inyectiva Cuando todos los elementos del dominio están relacionados una sola vez con un elemento del rango. No puede haber dos o más elementos del dominio con la misma imagen: Cuando  f(x) = f(y), entonces  x = y Ejemplo:  f(x) = x+5 del conjunto de los números reales, es una función inyectiva A B C D 1 2 3 4 5

Función Sobreyectiva Si cada elemento del rango es imagen de al menos un elemento del dominio. f(x) = B Ejemplo: la función f(x) = 6x del conjunto de los números naturales al de los números pares es sobreyectiva. 1 2 3 4 5 D F G H i

Función Biyectiva 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 Cuando todos los elementos del conjunto A(dominio) tienen una imagen distinta en el conjunto B(rango): inyectiva, y a cada elemento del conjunto A le corresponde un elemento del conjunto B: sobreyectiva. Es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Ejemplo: La función f(x) = 3x del conjunto de números reales es inyectiva y sobreyectiva. Por lo tanto es biyectiva.

Funciones Polinómicas Otras Lineal Constante Grado par Grado impar Cuadrática Lineal Cúbica Afín Lineal Identidad Valor absoluto Logarítmica Racional A trozos Exponencial Trigonométrica

Polinómicas Son aquellas funciones que surgen de evaluar los polinomios sobre las variables en las que están definidos. donde es un polinomio en , , es decir, una suma finita de potencias de multiplicados por coeficientes reales.

Ejemplo:

Por lo general es la función cuadrática. Funciones de Grado Par Son funciones que como máximo grado de un término es un número par. Está dada por la ecuación: Punto de corte con y igualando x a 0 Puntos de corte con x igualando y a 0 Vértice = +/- b/2a Conjunto de salida = Dominio = R Conjunto de llegada = R Rango = máximos y mínimos. F(x) ≥0 en x R positivos. F(x) ≤0 en x R negativos. Por lo general es la función cuadrática.

Se divide en función cúbica y lineal. Funciones de Grado Impar Son funciones en las cuales el máximo grado de un término es un número impar . Está dada por la ecuación: Función cúbica Punto de corte con y igualando x a 0 Punto de corte con x igualando y a 0 Conjunto de salida = Dominio = R Conjunto de llegada = R Rango = R F(x) ≥0 en x R positivos F(x) ≤ 0 en x R negativos Conjunto de salida = Dominio = R Conjunto de llegada = R Rango = R En la función constante el rango es la variable f(x) = a Se divide en función cúbica y lineal.

Lineal Un polinomio de primer grado de una variable real es una función matemática de la forma: f(x)= mx + b donde m y b son constantes. La función lineal , pasa por el punto (0,0) como origen a diferencia de la función lineal afín. Una función lineal de una única variable independiente x suele escribirse en la forma siguiente: y = mx + b m es denominada la pendiente de la recta. b es la ordenada en el origen, el valor de y para x= 0, es el punto (0,b).

Ejemplo: y = 5x + ? Pendiente: ?

Afín Una función lineal afín es aquella cuya expresión matemática viene dada por: y = mx + n donde x e y son variables, m una constante que se denomina pendiente y n otra constante denominada ordenada en el origen. Su gráfica es una recta que corta al eje de ordenadas en n La pendiente m de una recta mide la inclinación de la siguiente manera: Si m > 0 la función es creciente. Si m = 0 la función es constante(recta horizontal). Si m < 0 la función esdecreciente. La pendiente de una recta se puede hallar de la siguiente manera: para lo cual es necesario disponer de dos puntos de la recta y hallar las variaciones restando sus coordenadas x e  y   respectivamente.

Ejemplo: y = 4x + 2 (aplicando la fórmula anterior)

Identidad Una función identidad es una función matemática, de un conjunto M a sí mismo, que devuelve su propio argumento. f(x) = x / f(x) = y La función identidad puede describirse de la forma siguiente:

Ejemplo: x 1 2 3 4 y f(x) = x

Constante Se llama función Polinómica de grado cero o función matemática constante, a la que no depende de ninguna variable. Se representa de la forma: f(x) = a donde a es la constante.

Ejemplo: f(x) = 5

Función Cuadrática Una función cuadrática es una función polinómica de grado par, que tiene el grado el número 2. Se define por la ecuación siguiente : Para hallar el mínimo y máximo relativos, se usa la ecuación: x = - b/2a Conjunto de salida: R = dominio Conjunto de llegada = R Rango = máximos y mínimos de la función Punto de corte con y= c Punto de corte con

Ejemplo:

Función Cúbica Es una función polinómica de grado impar, cuyo grado mayor en el término de la ecuación es de 3. Se da por la siguiente ecuación: Conjunto de salida = R = dominio Conjunto de llegada = R = rango Punto de corte con y = d Punto de corte con x: factorizacion ( teorema del factor)

Función: