Sistemas de modulación exponencial Pr. F. Cancino

Introducción En estos sistemas se varía el ángulo de la portadora en función del mensaje mientras que la Magnitud es constante. 𝑥 𝑐 (𝑡) = 𝐴𝑐 𝐶𝑜𝑠  𝑖 (𝑡) En este caso el espectro ya no tiene una relación lineal con el espectro de la señal en Banda-base.  Se consideran dos tipos de modulación exponencial:  Modulación de Fase (FM).  Modulación de frecuencia (PM).

Modulación de Fase (PM) Considerando una señal sinusoidal con ángulo:  𝑖(𝑡) = 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 +∅ (𝑡)   Donde el ángulo de fase es proporcional al mensaje: ∅(𝑡) = 𝐾𝑝 𝑥(𝑡)   𝑥(𝑡) es el mensaje en [volts] y 𝐾𝑝 es la constante de Sensibilidad de fase del módulo en [rad/volts].  La señal modulada en PM puede escribirse como:   𝑥 𝑃𝑀 𝑡 = 𝐴 𝐶 𝐶𝑜𝑠 (2 𝑓 𝑐 𝑡 + 𝐾 𝑝 𝑥(𝑡))   Frecuencia instantánea de la onda PM puede estudiarse como:  

Señal modulada en PM con onda cuadrada Una onda modulada en PM se muestra en la Figura, donde la señal moduladora es una onda cuadrada y se aprecian los cambios de fase abruptos en la señal modulada.

Modulación de Frecuencia La frecuencia instantánea en el FM depende del mensaje. 𝑓 𝑖 𝑡 = 𝑓 𝑐 + 𝐾 𝑓 𝑥(𝑡) Donde: 𝑓 𝑐 = Frecuencia de la portadora no modulada [Hz] 𝐾 𝑓 =Sensibilidad de la frecuencia [Hz/volt]  A partir del ángulo instantáneo de la señal, se puede obtener la frecuencia instantánea:    De donde se obtiene:  

Señal modulada en FM en el tiempo En consecuencia, el ángulo instantáneo se puede determinar como:  Finalmente la señal modulada en FM se puede escribir como: Si se comparan FM y PM en el tiempo se verán muy parecidos, no obstante es importante destacar que la amplitud de la portadora es constante y su potencia será:  

Señal modulada en FM

Modulación de Frecuencia de Tono Único Tomando en consideración la expresión analítica para el FM: Para 𝑥(𝑡) un tono único a la frecuencia 𝑓𝑚: 𝑥 𝑡 = 𝐴 𝑚 𝐶𝑜𝑠 2𝜋 𝑓 𝑚 𝑡 La frecuencia instantánea de la onda será: 𝑓 𝑖 𝑡 = 𝑓 𝑐 + 𝐾 𝑓 𝐴 𝑚 𝐶𝑜𝑠 2𝜋 𝑓 𝑚 𝑡 Llamando: ∆𝑓 = La desviación de frecuencia (máximo alejamiento de la frecuencia instantánea de la onda FM respecto a la frecuencia de la portadora 𝑓 𝑐 ). ∆𝑓 = 𝐾 𝑓 𝐴 𝑚

Índice de modulación en FM El ángulo instantáneo de la señal modulada con un tono será:   Llamando: 𝛽= Índice de modulación en FM: y en consecuencia el ángulo de la señal modulada será:

FM tono único En el sentido físico 𝛽 representa la desviación de la fase de FM es decir la máxima separación entre i(t) y el ángulo 2 fc t de la portadora. Luego la onda FM tono único será: Dependiendo del índice de modulación es posible distinguir 2 casos de modulación en frecuencia:  FM de banda angosta si 𝛽 es pequeño.  FM de banda ancha si 𝛽 es grande.

FM Banda Angosta en General De acuerdo a la expresión obtenida: Si se asume que la fase es: La señal modulada puede verse como: Dado que:

FM banda angosta La expresión del FM se simplifica para el FM banda angosta (Narrow Band =NB): Aplicando Transformada de Fourier: Y teniendo encuenta que: Se puede deducir que si el ancho de banda de 𝑥(𝑡) es 𝑊, el ancho de banda de la señal 𝑥𝐹𝑀𝑁𝐵(𝑡) será 2𝑊.

FM Banda Angosta para un Tono Si x(t) es un tono: 𝐴𝑚𝐶𝑜𝑠𝑚𝑡, donde: La expresión del FM será: Como 𝛽<<1 radian 

Espectro de una señal en FMNB modulada con un tono Espectro de la señal para el caso de un tono.

¿Cómo generar una señal xFMNB(t)? Basados en la ecuación: Se puede deducir el diagrama de bloques de un modulador en FM banda angosta: Esta configuración funciona bien hasta en una desviación de fase máxima de 30°.

Comparación entre AM Y FMNB Esquemas fasoriales de una modulación en AM y en FMNB: Espectros de una modulación en AM y en FMNB

FM Banda Ancha cuando el mensaje es un Tono Partiendo de la expresión del FM para un tono: Ecuación que se puede transformar como: Llamando: Luego: Es una señal periódica cuya frecuencia fundamental es fm.

FM Banda Ancha con un tono Donde, los coeficientes de la serie de Fourier son: Efectuando un cambio de variable: x = 2 fm t ; dx=2 fm dt  dt=dx/2 fm Para los límites: Si Si

FM Banda Ancha con un tono Remplazando en: Simplificando: Donde: Jn(b) = Función de Bessel de 1era clase de orden n y argumento b. Luego: 𝐶 𝑛 =𝐴𝑐 𝐽 𝑛 (𝛽) 

FM Banda Ancha con un tono FM Banda ancha 1 tono El espectro de esta señal es: Es decir que se tienen las líneas espectrales en:

Funciones de Bessel de diferente orden vs el argumento b Por tanto el ancho de banda teórico del es:  y por esta razón, el peso de cada uno de los pulsos del espectro, lo dan las funciones de Bessel.  Veamos el comportamiento de Jn(b) en función de b.

Funciones de Bessel de diferente b vs la relación (n/b)

Propiedades de la función Jn(b) Los Jn(b) son valorados en los números reales. Jn(b)= J-n(b), para n par Jn(b)= -J-n(b), para n impar Para b pequeño: FM Banda angosta Los Coeficientes de Bessel se simplifican: Por tanto, el espectro de la señal FM será:

Espectro de la señal FMNB

Tabla de funciones de Bessel X J0 J1 J2 J3 1.00 .25 0.984 0.124 0.00777 0.00032 .50 0.938 0.242 0.0306 .00256 .75 0.864 0.349 0.067 .00850 0.765 0.440 0.115 0.0196 1.5 0.512 0.558 0.232 0.0610 2.0 0.2241 0.578 0.353 0.129 2.40 +0.00250 0.520 0.431 0.198 2.41 -0.00270 0.518 0.433 0.200 3.00 +0.260 0.339 0.486 0.309 3.83 -0.403 +.007 0.403 0.420 3.84 -.0033 0.399 0.421 4.00 -0.397 -.0660 0.364 0.430 5.00 -0.178 -0.328 0.293 0.356 5.13 -0.134 -0.339 +0.00191 0.340 5.14 -0.13 -0.340 -0.00148 5.52 -0.00002 -0.3403 -0.123 0.251 5.53 +0.0037 -0.126 0.248 6.00 0.151 -0.277 -0.243 7.00 0.300 -0.00468 -0.301 -0.168 7.02 0.3001 +0.00132 -.299 -0.172 8.00 0.172 0.235 -.113 -0.291 8.66 -0.0017 0.272 +0.064 -0.242 9.00 -0.090 0.245 0.145 -0.181 10.00 -0.246 0.043 0.255 +0.058

Variación del número de líneas significativas en función de b ; a Variación del número de líneas significativas en función de b ; a. b =1;b. b =2; c. b =5)

si Ancho de Banda en FM Teniendo encuenta que el FM puede expresarse como: Por tanto Jn(b) disminuye cuando n crece y en consecuencia, la mayor cantidad de potencia se concentra en una banda limitada.  Se puede decir que cuando n > b +2 la Jn(b) es pequeña, luego el número de líneas significativas = b +2 y el ancho de banda puede calcularse para el caso de modulación con un tono como: 𝐵𝑊=2 (𝛽+2) 𝑓𝑚

Regla de Carlson 𝐵𝑊=2(𝐾𝑓 𝑥(𝑡)𝑚á𝑥 +𝑊)=2𝑓+2 Pero esta fórmula subestima el ancho de banda: En general si x(t)máx= 1 se define (La regla de Carlson) en función del parámetro :   𝐵𝑊=2(+1)𝑊  2𝐾𝑓 𝑆𝑖 >>1 𝐵𝑊=2 +1 𝑊  2𝐾𝑓 𝑆𝑖 <<1 𝐵𝑊=2(+2)𝑊 Si  tiene valores intermedios.

Modulación Multitono en FM Sea la siguiente señal multitono: 𝑥(𝑡)= 𝐴 1 𝐶𝑜𝑠  1 𝑡+ 𝐴 2 𝐶𝑜𝑠  2 𝑡 Donde f1  kf2: no están armónicamente relacionados. Extendiendo el concepto de modulación FM de 1 tono: 𝑥 𝐹𝑀 (𝑡)=𝐴𝑐 𝐶𝑜𝑠(𝑐𝑡 + 𝛽 1 𝑆𝑒𝑛  1 𝑡 + 𝛽 2 𝑆𝑒𝑛  2 𝑡) Donde: Desarrollando un procedimiento similar al de 1 tono:

Espectro de banda ancha para un FM modulada con un tono Si f1<<f2 y b1  b2, se puede graficar XFM(f) como se muestra en la Figura:

Moduladores FM Existen 2 métodos básicos para generar FM: METODO DIRECTO: Basado en el funcionamiento de un VCO (Oscilador Controlado por Voltaje), el cual cambia la frecuencia instantánea de la señal de salida, según la magnitud del voltaje de entrada que se convierte en señal de control al emplear el PLL.

Circuito básico Varactor empleado como modulador de FM En frecuencias más bajas se utilizan circuitos discretos paralelos donde uno de los elementos (bobina ó condensador) varia su valor con una tensión aplicada, permitiendo así la variación de frecuencia. El caso más común es la variación de la capacidad con diodos VARACTOR ó VARICAP: La capacidad del circuito de salida C(t), es función del mensaje de entrada x(t): C(t) = Co - c x(t) Donde: Co= Capacidad en ausencia de modulación. c = Cambio máximo de capacidad

Capacidad de salida en función de la polarización inversa del diodo En consecuencia, la frecuencia de la señal de salida se puede analizar como:  

Método indirecto Para aumentar el rango de variación de la frecuencia del método directo, se introducen multiplicadores de frecuencia, tal como se muestra en la Figura: Sin embargo la salida de este método, produce una frecuencia central N veces la frecuencia central (Nf0) distinta a la frecuencia deseada.

Método indirecto con mezclador En este caso se utiliza un mezclador para trasladar la frecuencia Nf0 a la frecuencia fc deseada. VENTAJA DE ESTE METODO: Se puede conseguir grandes desviaciones de frecuencia. DESVENTAJA: La frecuencia central no proviene de un cristal, luego la frecuencia de salida puede sufrir corrimientos que en el detector se verían como cambios del mensaje.

Método indirecto con mezclador y Oscilador a Cristal

Demoduladores FM Para recuperar la señal modulante x(t) a partir de la señal modulada en FM se requiere un circuito cuya salida varíe linealmente con la frecuencia de la señal de entrada. Se tienen 2 tipos de esquemas que realizan esta operación: DISCRIMINADORES DE FRECUENCIA: El principio de un discriminador de frecuencia es el siguiente: 𝑥 𝐹𝑀 𝑡 = 𝐴 𝑐 𝐶𝑜𝑠 (𝑡); Al derivar:

Discriminadores de frecuencia Con la derivación una señal FM se ha convertido en AM-FM y por tanto la señal demodulada se puede obtener con un circuito derivador y un detector de envolvente. Como derivador puede utilizarse el filtro pasa altos

Limitador de dos niveles para eliminar ruido Limitador a dos niveles empleando diodos en oposición

Demodulador de FM completo Empleando un filtro pasabanda como derivador:

Señal a la salida del filtro (AM+FM) Si se tiene una señal FM como se muestra en la Figura: A la salida del filtro pasabanda, se obtiene la señal de la Figura

Filtro diseñado con dos estructuras Circuitalemente esto se logra de dos formas

Discriminador de Travis Este circuito no requiere bloquear el DC de salida. C1 y C2 se ajustan a las frecuencias f1 y f2, R1 y R2 determinan los anchos de banda respectivos. Cuando fin = fc, los 2 circuitos dan la misma salida pero con signos opuestos y por tanto la salida final es 0. Cuando fin > fc, el circuito sintonizado 1 da una salida grande >0 y el sintonizado 2 da una salida pequeña (negativa)  la salida final será grande y mayor que 0. Cuando fin < fc la salida será grande pero menor que 0.  Esto permite un rango lineal grande, pero difícil de calibrar.

Discriminador Foster-Seely En este caso los 2 tanques están sintonizados a f0. Por el tap central se sabe que 1está en contrafase con 2: A cada diodo le llega: a D1: (t) + 1; a D2: (t) + 2 (fasorialmente).

Esquema fasorial para el detector Foster Seely Esquema fasorial si f = f0 Esquema fasorial si f > f0 Esquema fasorial si f < f0 La salida neta es 0 La salida neta > 0 La salida neta < 0

Demodulador por Lazo de Enganche (PLL) El PLL (de sus siglas: PHASE LOCKED LOOP) es un circuito de laso cerrado cuyo objetivo es detectar los cambios de fase que se producen en el puerto de entrada al ser comparados con la señal del VCO (oscilador controlado por voltaje).

Demodulación FM usando Línea de Retardo Para detectar xFM(t) es necesario derivar: Si se hace  tan pequeño como un :

Detector de Cruces por Cero Puesto que la información de una onda en FM viene en la frecuencia, los cruces por cero de esta onda tienen importancia, pues contienen la información de la señal que se quiere demodular. Si el ancho de banda W<<fc, entre t1 y t3 el mensaje debe ser más o menos constante

Detector de Cruces por Cero x(t1)(t3-t1) se puede ver como el área bajo la curva. Luego: Si se mide el tiempo entre las cruces por cero fi, se puede obtener el mensaje. Esto se puede efectuar de la siguiente forma: Asumiendo que W<<fc, en un tiempo dado t se mide el número de cruces por cero (con pendiente positiva). N= Número de cruces por cero; y t3-t1 = T   fc se aprecia como un Nivel D.C

Circuito para la detección de cruces por cero

Receptor FM Las diferencias entre receptores AM y FM son los filtros de énfasis en la salida. El receptor de FM comercial en la banda de 88 a 108 MHz, es un receptor superheterodino que emplea como frecuencia intermedia 10.7 MHz y ancho de banda de 200 KHz.

Modulación de Fase La ecuación que describe la modulación de fase es: Teniendo encuenta que en este caso: PM Banda Estrecha:

Modulador XPMNB(t) ANCHO DE BANDA del PMNB = 2W Como caso particular, efectuar x(t)=Am Senmt y comparar xPMNB(t) con xFMNB(t)

PM Banda Ancha Analizando la modulación de tono: Expresión similar al FM solo que bp no depende de fm. Si se varía fm, varia la distancia entre líneas espectrales, pero no varía su amplitud. xPM(t) en términos de los coeficientes de Bessel

PM en el dominio de la frecuencia En el dominio de f: Ancho de Banda en PM: Para un caso general en FM: