Estadística Administrativa II USAP Estadística Administrativa II 2016-1 Análisis de varianza

¿Qué es una Varianza? Es un estadístico o parámetro que mide la variación de los datos en unidades cuadradas.

Repaso ¿Varianza? 𝜎 2 = 𝑥 𝑖 −𝜇 2 𝑁 Poblacional 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 𝜎 2 = 𝑥 𝑖 −𝜇 2 𝑁 Poblacional 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 Muestral

Repaso ¿Media aritmética? Poblacional Muestral 𝜇= 𝑋 𝑖 𝑁 𝑋 = 𝑥 𝑖 𝑛

Le voy a decir que sí me acuerdo Repaso Varianza En una escuela se levantó una encuesta para conocer la variación de la edad de los infantes que asisten. Los resultados fueron: 5, 7, 6, 4 y 5 años. 𝑋 = 𝑥 𝑖 2 𝑛 = 5+7+6+4+5 5 = 27 5 = 5.4 Le voy a decir que sí me acuerdo 𝑠 2 = 𝑥 𝑖 − 𝑋 2 𝑛−1 = 5−5.4 2 + 7−5.4 2 + 6−5.4 2 + 5−5.4 2 + 5−5.4 2 5−1 = 0.16+2.56+0.36+1.96+0.16 4 = 5.2 4 =1.3

𝜎 2 Distribución F Estadístico para probar la igualdad entre dos varianzas o la igualdad entre más de dos medias.

Características Existe una familia de distribuciones F Es una distribución continua No puede ser negativa Tiene sesgo positivo Es asintótica

Localización de valor crítico Tamaño de cada muestra La varianza mayor es la muestra N°1 Grados de libertad Ubicación en la tabla de distribución F Niveles de significancia 0.05 ≡ 5% 0.01 ≡ 1%

Ejemplo 2.1. . . Encontrar el valor crítico para un nivel de significancia de 0.01. La primera muestra es de tamaño 8 y la segunda de tamaño 11. 𝑛 1 =8 𝑔𝑙 1 =8−1=7 𝑛 2 =11 𝑔𝑙 2 =11−1=10 𝛼=0.01 𝐹=5.20

. . . Ejemplo 2.1 Encontrar el valor crítico para un nivel de significancia de 0.05 de dos muestras. La primera de tamaño 8 y la segunda de 11. 𝑛 1 =8 𝑔𝑙 1 =8−1=7 𝑔𝑙 2 =11−1=10 𝑛 2 =11 𝛼=0.05 𝐹=3.14

Proceso para formular la regla de decisión Determinar la varianza muestral ( 𝑠 1 2 ) de mayor valor y varianza muestral ( 𝑠 2 2 ) de menor valor. Evaluar si hipótesis nula es = ó ≤. Determinar si es de 2 colas o 1 cola. Actualizar nivel de significancia Tamaño de cada muestra Grados de libertad para cada muestra Localizar valor F en la distribución según el nivel de significancia Miercoles, 13 de mayo de 2015

Comparación de dos varianzas poblacionales 𝐻 0 : 𝜎 1 2 = 𝜎 2 2 𝐻 𝑎 : 𝜎 1 2 ≠ 𝜎 2 2 𝐻 0 : 𝜎 1 2 ≤ 𝜎 2 2 𝐻 𝑎 : 𝜎 1 2 > 𝜎 2 2 Estadístico de prueba para comparar dos varianzas 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2 Análisis para 1 o 2 colas

Prueba de hipótesis con distribución F USAP Prueba de hipótesis con distribución F Establecer la hipótesis nula y la alternativa Seleccionar el nivel de significancia Identificar el estadístico de prueba Formular la regla de decisión Tomar decisión

Formato de la prueba de hipótesis con varianzas Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 : 𝜎 1 2 = 𝜎 2 2 𝐻 𝑎 : 𝜎 1 2 ≠ 𝜎 2 2 2. Nivel de significancia 𝛼=0.05 ó 𝛼=0.01 3. Estadístico de prueba 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2

Formato de la prueba de hipótesis con varianzas 4. Regla de decisión 𝐻 0 : 𝜎 1 2 = 𝜎 2 2 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼=0.𝑥𝑥 𝑛 1 =? 𝑔𝑙 1 = 𝑛 1 −1 𝑛 2 =? 𝑔𝑙 2 = 𝑛 2 −1 𝐹= ?

Formato de la prueba de hipótesis con varianzas 5. Toma de decisión 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2 Comparar con valor crítico y determinar si la hipótesis se acepta o se rechaza.

Ejemplo 2.2 . . . Muestra de tamaño 8 de una población con distribución normal y varianza muestral 56.0. Muestra de tamaño 10 de una población con distribución normal y varianza muestral 24. Utilizar el nivel de significancia 0.10 para probar que no hay diferencia en las dos varianzas poblacionales contra la alternativa de que sí existe evidencia de una diferencia significativa en las varianzas poblacionales.

. . .Ejemplo 2.2 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2 1. Hipótesis nula y alternativa Datos iniciales 𝑆 1 2 =56 𝑆 2 2 =24 1. Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 : 𝜎 1 2 = 𝜎 2 2 𝐻 𝑎 : 𝜎 1 2 ≠ 𝜎 2 2 2. Nivel de significancia 𝛼=0.10 3. Estadístico de prueba 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2

. . .Ejemplo 2.2 Valor crítico 𝐹=3.29 𝑆 1 2 =56 𝑆 2 2 =24 𝑆 1 2 =56 𝑆 2 2 =24 4. Regla de decisión 𝐻 0 : 𝜎 1 2 = 𝜎 2 2 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼 2 = 0.10 2 =0.05 𝑛 1 =8 𝑔𝑙 1 =8−1=7 𝑔𝑙 2 =10−1=9 𝑛 2 =10 𝐹=3.29 Valor crítico

La hipótesis nula se acepta 𝑆 1 2 =56 𝑆 2 2 =24 . . .Ejemplo 2.2 5. Toma de decisión 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2 = 56 24 =2.33 La hipótesis nula se acepta No hay evidencia para concluir que exista diferencia en la variación de ambas muestras.

Ejemplo 2 . . . Productos Eléctricos Steele, ubicada en el Zip Constantine, ensambla componentes eléctricos para teléfonos celulares. Durante 10 días el Turno A de Control de Despachos ha promediado 9 productos rechazados, con una desviación estándar de 2 rechazos por día. El Turno B promedió 8.5 productos rechazados, con una desviación estándar de 1.5 rechazos durante el mismo periodo. Con un nivel de significancia de 0.05, ¿podría concluir que hay más variación en el número de productos rechazados por día en la muestra del Turno B o en el A?

. . .Ejemplo 2 Datos iniciales 𝑆 1 2 =4 (turno A) 𝑆 2 2 =2.25 1. Hipótesis nula y alternativa 𝐻 0 : 𝜎 1 2 ≤𝜎 2 2 𝐻 𝑎 : 𝜎 1 2 > 𝜎 2 2 2. Nivel de significancia 𝛼=0.05 3. Estadístico de prueba 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2

. . .Ejemplo 2 Valor crítico 𝐹=3.18 𝑆 1 2 =4 𝑆 2 2 =2.25 𝑆 1 2 =4 𝑆 2 2 =2.25 4. Regla de decisión 𝐻 0 : 𝜎 1 2 ≤ 𝜎 2 2 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝛼=0.05 𝑛 1 =10 𝑛 2 =10 𝑔𝑙 1 =10−1=9 𝑔𝑙 2 =10−1=9 𝐹=3.18 Valor crítico

La hipótesis nula se acepta 𝑆 1 2 =4 𝑆 2 2 =2.25 . . .Ejemplo 2 5. Toma de decisión 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2 = 4 2.25 =1.78 La hipótesis nula se acepta No hay suficiente evidencia para determinar que la variación en el turno A es mayor que en el Turno B.

Práctica 1 En una agencia de servicio de Taxis, del centro de la ciudad al aeropuerto internacional, utilizan dos rutas para llegar, la autopista y la carretera alterna. La distancia que recorre el taxi desde el centro de la ciudad al aeropuerto es mayor que la que se recorre por la carretera alterna; sin embargo, las condiciones de la carretera alterna son deficientes y aunque es más corta, se llega casi al mismo tiempo. El Gerente de la empresa desea estudiar el tiempo que se tarda en conducir por cada una de las rutas y luego comparar los resultados, usando un nivel de significancia de 0.10.

Práctica 1 Se recopiló una muestra del tiempo en minutos que tarda un taxi en llegar hasta el aeropuerto de cada una de las rutas y se obtuvieron los siguientes resultados: ¿Hay alguna diferencia entre las variaciones de los tiempos del manejo de las dos rutas? Sugerencia: La hipótesis nula es una igualdad

Desarrollo práctica 1 Pasos previos Calcular las varianzas de las muestras. 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 1 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑝𝑖𝑠𝑡𝑎 : 𝑠 2 2 =19.14 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 2 𝐶𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 : 𝑠 1 2 =80.9

Desarrollo práctica 1 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2 Prueba de hipótesis Paso 1: Hipótesis nula y alternativa Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.10 Paso 3: Estadístico de prueba 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2

Desarrollo práctica 1 Valor crítico 𝐹=3.87 Paso 4: Regla de decisión 𝐻 0 : 𝜎 1 2 = 𝜎 2 2 2 𝑐𝑜𝑙𝑎𝑠 𝛼= 0.10 2 =0.05 𝑛 1 =7 𝑔𝑙 1 =7−1=6 𝑔𝑙 2 =8−1=7 𝑛 2 =8 𝐹=3.87 Valor crítico

La hipótesis nula se rechaza Desarrollo práctica 1 Paso 5: Toma de decisión 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 2 𝐶𝑎𝑟𝑟𝑒𝑡𝑒𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎 : 𝑠 1 2 =80.9 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 1 𝐴𝑢𝑡𝑜𝑝𝑖𝑠𝑡𝑎 : 𝑠 2 2 =19.14 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2 = 80.9 19.14 =4.23 La hipótesis nula se rechaza Hay suficiente evidencia de que si hay diferencia entre las variaciones de los tiempos recorridos en ambas rutas.

Práctica 2 Un profesor del departamento de contaduría en una escuela de negocios afirma que existe una mayor variabilidad en las calificaciones del examen final de los alumnos que toman el curso de introducción a la contaduría como requisito, que en las de alumnos que toman la materia como parte de su especialidad en contaduría. Se toman muestras aleatorias de la lista de alumnos del profesor, 13 alumnos que no se especializan en contaduría, con varianza de 210.2 y 10 alumnos que se especializan en contaduría con varianza de 36.5. En un nivel de significancia de 0.05, ¿existe evidencia que apoye la afirmación del profesor?

Desarrollo práctica 2 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2 Prueba de hipótesis Paso 1: Hipótesis nula y alternativa Paso 2: Nivel de significancia 𝛼=0.05 Paso 3: Estadístico de prueba 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2

Desarrollo práctica 2 Valor crítico 𝐹=3.07 Paso 4: Regla de decisión 𝑆 1 2 =210.2 𝑆 2 2 =36.5 Paso 4: Regla de decisión 𝐻 0 : 𝜎 1 2 ≤ 𝜎 2 2 1 𝑐𝑜𝑙𝑎 𝛼=0.05 𝑛 1 =13 𝑔𝑙 1 =13−1=12 𝑔𝑙 2 =10−1=9 𝑛 2 =10 𝐹=3.07 Valor crítico

La hipótesis nula se rechaza Desarrollo práctica 2 Paso 5: Toma de decisión 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 1: 𝑠 1 2 =210.2 𝑀𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 2: 𝑠 2 2 =36.5 𝐹= 𝑠 1 2 𝑠 2 2 = 210.2 36.5 =5.76 La hipótesis nula se rechaza Hay suficiente evidencia de que si hay diferencia entre las variaciones de los tiempos recorridos en ambas rutas.

Análisis de Varianza ANOVA Lind, D.A., Marchal, W.G., Wathen, S.A. (15). (2012). Estadística Aplicada a los Negocios y la Economía. México: McGrawHill David M. Levine, Timothy C. Krehbiel, Mark L. Berenson. 2006. Estadística para Administración. (4° edición). Naucalpan de Juárez, México.: Pearson Prentice Hall