Teorema de Gödel

Qué es una demostración TEOREMA … … … .

Qué es una demostración TEOREMA Y: } DEMOSTRACIÓN X … … … . Dem(X,Y) es verdadero

Axiomatización de los Naturales Peano (1889) Términos básicos: número, 1, sucesor 1 es un número Para todo número n existe otro número Sn llamado el sucesor de n. 1 no es el sucesor de ningún número Si Sn= Sm entonces n = m Adición Para todo n, n+1 = Sn Para todo n, m, n+Sm = S(n+m). Multiplicación Para todo n, n·1 = n Para todo n, m, n·Sm = n·m+n

Demostración Teorema de Lógica: Conclusión definición axioma 1 regla modus ponens 2 y 3 definición regla conjunción 1 y 5 axioma regla modus ponens 6 y 7

Ambición de la Escuela Formalista De la Teoría Axiomática de Conjuntos con los Axiomas de la Lógica (Russell) se deduce toda la matemática (casi) Utilización de símbolos para no equivocarse– Sistema Formal: Teoría Formal de Conjuntos ¿La matemática se reduce a un juego de símbolos?

Respuesta de los Intuicionistas Nos rehusamos a que la matemática se reduzca a un juego de símbolos La matemática tiene como base la intuición, como en los números naturales (Platón) No estamos de acuerdo con la teoría de los Reales ni con la de Conjuntos, por su uso del infinito “actual” No estamos de acuerdo con la lógica de Russell, por su uso del “Tercio Excluso”

Propuesta de Hilbert Tarea: Utilizar lógica intuicionista para demostrar completitud y consistencia de la Teoría Formal de Conjuntos Consistencia - no lleva a contradicciones Completitud - todas las verdades se pueden demostrar

Kurt Gödel (Austria 1906-Princeton 1978) 1931 Teorema de Incompletitud “El Sistema Formal de los Números Naturales es incompleto” Su demostración se basa en analizar la afirmación: “Esta afirmación no se puede demostrar.”

Completitud Completo Incompleto Axiomas ~p q ~q p Verdadero = Demostrable Falso Completo Incompleto ~p q ~q Verdadero r p ~r Falso Axiomas

La Metamatemática Tres niveles Meta-Aritmética: Lenguaje del entendimeinto (Intuicionista). Nos va a decir si la Aritmética está bien hecha. Si es consistente. Aritmética Formal: sólo fórmulas lógicas que representan funciones, afirmaciones, cadenas de demostraciones sobre números Números: Naturales únicamente MC Escher (1955)

Codificación de Gödel ( ) S 9. 1 10. = Número de Gödel 11. 12. + 13. P 16. Q 19. R 22. T ( ) S 9. 1 10. = 11. 12. + Símbolos Predicados Variables Proposiciones 14. n 17. m 20. x 23. y 15. E 18. F G …… Número de Gödel 22314517611813141710199237 Decodificación: 3280500000000 = 283859 que corresponde a SS1 ó 3

Demostración Conclusión es verdadero en este caso m1 m1 m3 m4 m5 m6 m7

Desenlace es una función de la aritmética; si x, y son números, es Verdadera o Falsa. también, si y es un número Po un proceso de “diagonalización” Gödel muestra que existe un número G tal que G es el número de Gödel de es una afirmación de la aritmética ¿Es Verdadera o Falsa? ¿Qué significa esto?

El método de Gödel Reflejar la Meta-Aritmética en la Aritmética y la Aritmética en los números Meta-Meta-Aritmética interpretar Meta-Aritmética Aritmética reflejar Números René Magritte (1930)