Múltiplos y divisores 5º. lo multiplicamos por los números naturales ACTIVIDADES DE REPASO lo multiplicamos por los números naturales Para hallar los múltiplos de 6 x x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 … 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 …

MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.). El Mínimo Común Múltiplo( M.C.M ) de dos o más números es el menor de sus múltiplos comunes . MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (M.C.M.). M. C( 4 y 6)= :{ 12, 24, 36…} M.C.M.(4y 6)= :{ 12 } Ejemplo M(4) = { 4, 8, 12, 16, 20, 24, 32, 36 …} 12 24 36 M(6)={ 6, 12, 18, 24, 30, 36, …} 12 24 36 Los nºs. 12, 24, 36 son múltiplos comunes al 4 y al 6. y el menor es el 12, se escribe:

Por lo tanto podemos decir: DIVISORES DE UN NÚMERO.(D) Son los números por los que al dividirlos el resto o resíduo es “cero” 24 : 1 2 3 4 6 8 12 24 Ejemplo 8 6 4 3 2 1 24 12 Se escribe D24={1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24} Por lo tanto podemos decir: 24 es divisible por 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 y al mismo tiempo1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24 son divisores de 24

DIVISORES DE UN NÚMERO ( D ) Para hallar los divisores de un número buscamos todas sus descomposiciones en producto de dos factores. Se escribe D30= { , , , , , , , } 1 2 3 5 6 10 15 30 30 = X 30 = X 1 1 30 30 30 = X 30 = X 2 2 15 15 30 = X 30 = X 3 3 10 10 30 = X 30 = X 5 5 6 6

DIVISORES DE UN NÚMERO ( D ) Para hallar los divisores de un número buscamos todas sus descomposiciones en producto de dos factores. Se escribe D24= { , , , , , , , } 1 2 3 4 6 8 12 24 24 = x 24 = x 1 1 24 24 24 = x 24 = x 2 2 12 12 24 = x 24 = x 3 3 8 8 24 = x 24 = x 4 4 6 6

MÁXIMO COMÚN DIVISOR (M.C.D.). El Máximo Común Divisor( M.C.D) de dos o más números es el mayor de sus divisores comunes. D18:{1, 2, 3, 6, 9, 18} 2 3 6 Ejemplo M.C.D.(12,18)= { 6 } D12={1, 2, 3, 6, 12 } 2 3 6 Los nºs. 1, 2, 3, 6 son divisores comunes al 18 y al 12. y el mayor es el 6, se escribe: D. C( 12 y 18)= { 1, 2, 3, 6}

1. Escribe el Mínimo Común Múltiplo(M. C. M )de los siguientes números 1. Escribe el Mínimo Común Múltiplo(M.C.M )de los siguientes números.15 primeros números M8 = { } M10 = { } M.C (8 y 10) = { } M.C.M ( 8 y 10) = { } M6 = { } M12 = { } M.C (6 y 12) = { } M.C.M ( 6 y 12 )= { } M7 = { } M5 = { } M.C( 7 y 5 ) = { } M.C.M( 7 y 5 ) = { } Actividad

2. Escribe el Máximo Común Divisor( M.C.D)de los siguientes números. D.C (48 y 24) = { } M.C.D( 48 y 24) = { } D30 = { } D40 = { } D.C (30 y 40 = { } M.C.D ( 30 y 40 )= { } D50 = { } D60= { } D.C( 50 y 60 ) = { } M.C.D( 50 y 60 ) = { }

3. Descompone en sus factores primos los siguientes números: 44 36 60 50 44= 36= 60= 50= 200 80 100 120 200 = 80= 100= 120= 200= 80= 100= 120=

1. Escribe el Mínimo Común Múltiplo(M.C.M ) de los siguientes números. 15 primeros números M.C (8 y 10) = {40, 80, 120,… } M.C.M ( 8 y 10) = { 40 } M6 = { 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, 78,84, 90} M12 = { } M.C (6 y 12) = { } M.C.M ( 6 y 12 )= { } M7 = { 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98,105} M5 = { 5,10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60,65, 70, 75… } M.C( 3 y 5 ) = { 35 , 70 } M.C.M( 3 y 5 ) = { 35 } Actividad 12, 24,36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, 132, 144,156, 168, 180 12, 24,36, 48, 60, 72, 84 12

2. Escribe el Máximo Común Divisor( M.C.D) de los siguientes números. D.C (48 y 24) = {1, 2, 3, 4, 6, 8,12, 24 } M.C.D( 48 y 24) = { 24 } D30 = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 } D40 = { 1, 2, 4, 5, 8,10, 20, 40 } D.C (30 y 40 = { 1, 2, 5, 10, } M.C.D ( 30 y 40 )= { 10 } D50 = { 1, 2, 5, 10, 25, 50 } D60= {1, 2, 3, 4, 5, 6,10,12,15, 20, 30, 60 } D.C( 50 y 60 ) = {1, 2, 5, 10 } M.C.D( 50 y 60 ) = { 10 }

3. Descompone en sus factores primos los siguientes números: 44 2 36 2 60 2 50 2 22 2 18 2 30 2 25 5 11 11 9 3 15 3 5 5 1 3 3 5 5 1 1 1 44= 2x2x11 36= 2x2 x3x3 60= 2x2x3x5 50= 2x5x5 44= 22 x 11 36= 22 x 32 60= 22 x 3x5 50= 2 x 52 200 2 80 2 100 2 120 2 100 2 40 2 50 2 60 2 50 2 20 2 25 5 30 2 25 5 10 2 5 5 15 3 5 5 5 5 1 5 5 1 1 1 200 = 2x2x2x5x5 80= 2x2x2x2x5 100= 2x2x5 120= 2x2x2x3x5 200= 23 x 52 80= 24 x 5 100= 22 x 52 120= 23 x 3 x 5

Calculemos el Mínimo Común Múltiplo(M. C Calculemos el Mínimo Común Múltiplo(M.C.M) Por descomposición en Factores Primos de 36 y 48 1. Empecemos por el menor de los factores Primos : el 2 luego el 3, a continuación el 5 y así sucesivamente. 36= 2 X 2 X 3 X 3 = 22 X 32 48 = 2 X 2 X 2 X 2 X 3 = 24 X 3 36 2 48 2 18 2 24 2 9 3 12 2 3 3 6 2 3 1 3 1 2º - Expresamos cada número como un producto de potencias de factores primos 36 = 2 · 3 2 48 = 2 · 3 4 3º Buscamos los factores comunes con el mayor exponente. 4º Como en este caso no hay más que factores comunes, hemos terminado Por lo tanto el M.C.M (36 y 48) = 24 · 32 = 16 · 9= 144 EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS ES EL PRODUCTO DE LOS FACTORES COMUNES CON EL MAYOR EXPONENTE y DE LOS FACTORES NO COMUNES TAMBIÉN CON EL MAYOR EXPONENTE

Por lo tanto el M.C.M (36 y 48) = 24 · 32 · 5= 720 Actividad : Calculemos el Mínimo Común Múltiplo( M.C.M) de 36 , 48 y 10 1º Descomponemos los tres números en factores primos. 36 = 48 = 10 = 36 2 48 2 10 2 18 2 24 2 5 5 9 3 12 2 1 3 3 6 2 3 1 3 1 2º - Expresamos cada número como un producto de factores primos 36 = 2 · 3 2 48 = 2 · 3 4 10 = 2 · 5 3º Buscamos los factores comunes con el mayor exponente. 4º Buscamos los factores no comunes Por lo tanto el M.C.M (36 y 48) = 24 · 32 · 5= 720 EL MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO DE DOS O MÁS NÚMEROS ES EL PRODUCTO DE LOS FACTORES COMUNES CON EL MAYOR EXPONENTE y DE LOS FACTORES NO COMUNES TAMBIÉN CON EL MAYOR EXPONENTE

Cálculo de MCD y MCM con el método con factores primos. EXPLICACIÓN: Este método es fácil de entender: En el caso del MÁXIMO COMÚN DIVISOR (MCD) se le va sacando mitades o terceras o quintas, etc… pero a todos los números y luego los resultados se multiplican. En cambio en el MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO (MCM) se sacan igual que MCD pero se dejan todos en 1.

Ejemplos de MCD y MCM. (Método Abreviado) 1. Halla MCD de 180 y 60 180 60 2 90 30 2 45 15 3 15 5 5 3 1 MCD= 2 x 2 x 3 x 5 MCD= 60 2. Hallar MCM de 60, 100 y 28 60 100 28 2 30 50 14 2 15 25 7 5 3 5 7 3 1 5 7 5 1 1 7 7 1 1 1 MCM= 2 x 2 x 5 x 3 x 5 x 7 MCM= 2100 EXPLICACIÓN: Este método es fácil de entender: En el caso del MCD se le va sacando mitades o terceras o quintas, etc… pero a todos los números y luego los resultados se multiplican. En cambio el MCM se sacan igual que MCD pero se dejan todos en 1.

DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN SUS FACTORES PRIMOS Para descomponer un número en sus factores primos, realizamos una división, utilizando los números Primos(factores primos). Empezando por el menor de los factores Primos: El 2 luego el 3, a continuación el 5 y así sucesivamente. Cuando el resultado de 1 se termina la descomposición 12 = 2 X 2 X 3 8 = 2 X 2 X 2 20 = 2 X 2 X 5 12 = 2 22 X 3 8 = 23 20 = 22 X 5 24 es múltiplo de 6 Los factores son divisores del producto. 4 es divisor de 24 6 es divisor de 24

MÉTODOS PARA CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR(M. C MÉTODOS PARA CALCULAR EL MÁXIMO COMÚN DIVISOR(M.C.D) POR DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS MCM(40, 78, 85)=2 . 2 . 2 . 3 . 3 . 5 . 13 = 4680 MCM(40, 78, 85)= 23. 32.5.13 = 4680