Técnicas de conteo: Combinaciones IIIº Medio 2015
Combinaciones Una combinación de r objetos tomados de entre n objetos diferentes es cualquier selección de un conjunto de r de estos n objetos. Si se tiene n objetos diferentes, ¿de cuántas maneras pueden seleccionarse r de ellos? O dicho de otra forma, ¿cuántas combinaciones con r objetos pueden hacerse si se dispone de n objetos diferentes?
Combinaciones Denotemos por nCr al número de combinaciones posibles de “r” objetos de un total de “n” Luego si estas son las maneras de seleccionar esa cantidad de objetos, si ahora los ordenamos tendríamos una permutación, entonces: nCr r! = nPr .
Combinaciones Así, 𝑛𝐶𝑟= 𝑛𝑃𝑟 𝑟! = 𝑛! 𝑛−𝑟 ! 𝑟! = 𝑛! 𝑛−𝑟 !𝑟! Notación: 𝑛 𝑟 = 𝑛! 𝑛−𝑟 !𝑟! y se lee “n sobre r”
Combinaciones Asi,
Ejemplos Un examen consta de 10 preguntas, de las cuales los alumnos deben responder 7. ¿De cuántas maneras puede un alumno seleccionar estas 7 preguntas? 10C7 = 10 7 = 10! 10−7 ! 7! = 1098 321 =120
Ejemplos ¿De cuántas maneras puede un alumno seleccionar estas 7 preguntas si las dos primeras son obligatorias? En este caso sólo debe seleccionar 5 preguntas de entre las 8 últimas, lo que puede hacer de 8C5 maneras y 8C5 =56
Ejemplos ¿De cuántas maneras puede un alumno seleccionar estas 7 preguntas si debe responder 3 de entre las 5 primeras y 4 de las 5 últimas? El total de maneras de seleccionar las 7 preguntas es: 5C3 5C4 = 10 5 =50
Ejercicios Se debe seleccionar un grupo formado por cuatro de los once integrantes de un equipo de debate para que participen en una competencia. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse? Pueden seleccionarse de 11 4 =330 maneras
Ejercicios Juan y Amelia pertenecen al equipo de debate. ¿De cuántas maneras puede seleccionarse el grupo de cuatro si Juan y Amelia deben estar en él? 9C2 = 36 maneras (se deben seleccionar los restantes dos integrantes para el grupo)
Ejercicios ¿De cuántas maneras puede seleccionarse el grupo de cuatro si Juan y Amelia no deben estar en él? 9C4=126 (se deben seleccionar los 4 del grupo entre los 9 seleccionables)
Ejercicios De cuántas maneras puede seleccionarse el grupo de cuatro si Juan debe ser seleccionado y Amelia no? 1C1 9C3 = 84 (selecciono a Juan y elimino a Amelia (y también a Juan) de los elegibles para seleccionar a los otros tres para el grupo)
Ejercicios ¿De cuántas maneras puede seleccionarse el grupo de cuatro si Juan y Amelia no pueden quedar juntos en él? Hay tres posibilidades: ninguno de los dos es seleccionado, es seleccionado Juan y no Amelia, es seleccionada Amelia y no Juan. Así el total de maneras en que puede formarse el grupo en este caso es: 9C4+ 9C3+ 9C3 =276 Nótese que este resultado corresponde al total de maneras en que pueden elegirse 4 de entre los 11 integrantes menos el número de maneras en que pueden elegirse los 4 si Juan y Amelia son ambos elegidos.
Ejercicios Un grupo de 4 amigos se encuentran después de mucho tiempo. Si cada uno se saluda con los demás con un abrazo. ¿Cuántos abrazos se dan en total? Un condominio tiene 4 edificios rotulados A, B, C y D. ¿De cuántas maneras se pueden agrupar 3 de ellos para pintarles la fachada? Si tengo 5pantalones de distinto color, ¿de cuántas maneras puedo escoger 3 de ellos para ponerlos en la maleta?
Ejercicios En un grupo de 7 personas, 3 son hombres y 4 son mujeres. ¿De cuántas maneras se puede formar una comisión de 4 personas? ¿Cuál es la probabilidad de que la comisión esté formada solo por mujeres? Si la comisión es solo de 3 personas, ¿cuántas comisiones distintas pueden existir? ¿Cuál es la probabilidad de que la comisión sea solo de hombres? ¿Cuántas comisiones distintas se pueden hacer de exactamente 2 hombres y 2 mujeres?
Ejercicios Respuestas: 1 35 6 4 10 18 35