Fundamentos para el Cálculo Unidad 4: FUNCIONES Y SUS GRÁFICAS Clase 4.1: Límite de una función Límites laterales FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 2014-1

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO ¡Reflexión! Suponga que la función costo promedio unitario, en dólares por tonelada, al producir q toneladas de arroz está dado por ¿A qué valor se acerca el costo promedio unitario cuando se produce cada vez menos, cercano a cero toneladas? FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Veamos el comportamiento de la función g(x) = 2x + 1 para valores de x próximos a 2. x g(x) 2,1 5,2 2,01 5,02 2,001 5,002 2,0001 5,0002  2  5 x g(x) 1,9 4,8 1,99 4,98 1,999 4,998 1,9999 4,9998  2  5 Observe que a medida que el valor de x se acerca a 2, el valor g(x) se acerca a 5. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO 3

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Definición Si f (x) se acerca más y más al número L cuando x se aproxima cada vez más a a, entonces L es el límite f (x) cuando x tiende a a. Este comportamiento se expresa: x→ a ←x L f (x) ↓ ↑ x y FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Ejercicio 1: Determine el límite mediante aproximaciones. a. b. FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Límites laterales Consideremos la función f definida por: Cuando x se aproxima a 3 con valores mayores a 3, se dice que x se aproxima a 3 por la derecha. Vemos que f (x) tiende a 4. Esto se simboliza por: x FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Límites laterales Cuando x se aproxima a 3 con valores menores a 3, se dice que x se aproxima a 3 por la izquierda. Vemos que f (x) tiende a 4. Esto se simboliza por: x FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Límites laterales Si realizamos ambas aproximaciones a la vez vemos que f (x) tiende a 4 y se simboliza por x Se aprecia que cuando x 3 ya sea por la izquierda o por la derecha, f (x)  4 Decimos que existe si y sólo si FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Veamos el comportamiento de la función g cuando x se aproxima a 3 ¿qué ocurre con el valor de g (x) cuando x  3 ? Se aprecia que x Por lo tanto FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Ejercicio 2: (a) De la gráfica de la función f, determine el límite de f (x) cuando x tiende a: −4, − 3, − 2, 0, 2, 3, 4, 5. 1 2 3 4 5 x −1 −2 −3 −4 −5 −6 y f FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Fórmulas de limites 1. 2. 2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

Propiedades de los limites Si y existen, entonces 1. 2. 3. Si f es una función polinomial, entonces 2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

Propiedades de los limites Si y existen, entonces 4. 5. 2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO

FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO Ejercicio 3: Calcule los siguientes límites, si existen: a. b. c. d. e. f. 2015-1 FUNDAMENTOS PARA EL CÁLCULO