GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA U.D. 12 * 1º BCT GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT U.D. 12.7 * 1º BCT LUGARES GEOMÉTRICOS @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LUGAR GEOMÉTRICO LUGAR GEOMÉTRICO Lugar geométrico del plano es el conjunto de todos los puntos que cumplen una misma propiedad. MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO Dado un segmento de extremos A y B se denomina mediatriz de dicho segmento a la recta r que es perpendicular a dicho segmento y pasa por su punto medio M. La mediatriz de un segmento de extremos A y B es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de A y de B A P PA M r PB B @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

CÁLCULO DE LA MEDIATRIZ 1.- Por la igualdad de distancias: d (P, A) = d (P, b)   √ [ (x – x1) 2 + (y – y1) 2 ] = √ [ (x – x2) 2 + (y – y2) 2 ] Se eleva todo al cuadrado, se reducen términos semejantes y el resultado es la recta r, la mediatriz. 2.- Por la perpendicularidad con el segmento Se calcula el punto medio del segmento AB, que es M. Se halla la ecuación de la recta AB Se halla la recta perpendicular a AB y que pasa por su punto medio. Dicha recta será la mediatriz. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, -1) y B(3, 5) Por la igualdad de distancias: d (P, A) = d (P, b)   √ [ (x – 2) 2 + (y + 1) 2 ] = √ [ (x – 3) 2 + (y – 5) 2 ] Se eleva todo al cuadrado:  (x – 2) 2 + (y + 1) 2 = (x – 3) 2 + (y – 5) 2  x2 – 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = x2 – 6x + 9 + y2 – 10y + 25 Se reducen términos semejantes:  – 4x + 4 + 2y + 1 = – 6x + 9 – 10y + 25  2x + 12y – 29 = 0 2.- Por la perpendicularidad con el segmento Se calcula el punto medio M: xm=(2+3)/2=2’5 ,, ym=(-1+5)/2=2 Ecuación de la recta AB: (y – 5)=[(5+1)/(3-2)](x – 3)  y = 6x – 13 Perpendicular a AB por M: y – 2 = -1/6 (x – 2,5) 6y – 12 = - x + 2,5  x + 6y – 14,5 = 0  2x + 12y – 29 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 2 Hallar la ecuación de la mediatriz del segmento de extremos A(2, 0) y B(0,- 3) Por la igualdad de distancias: d (P, A) = d (P, b)   √ [ (x – 2)2 + y2 ] = √ [ x2 + (y + 3)2 ] Se eleva todo al cuadrado:  (x – 2)2 + y2 = x2 + (y + 3)2  x2 – 4x + 4 + y2 = x2 + y2 + 6y + 9 Se reducen términos semejantes:  – 4x + 4 = 6y + 9  4x + 6y + 5 = 0 2.- Por la perpendicularidad con el segmento Se calcula el punto medio M: xm=(2+0)/2=1 ,, ym=(0 - 3)/2= - 1’5 Ecuación de la recta AB: (y + 3)=[(- 3 – 0)/(0-2)]. x  y = 1,5.x – 3 Perpendicular a AB por M: y + 1’5 = - 2/3 (x – 1) 3y + 4’5 = - 2x + 2  2x + 3y + 2,5 = 0  4x + 6y + 5 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT LUGAR GEOMÉTRICO LUGAR GEOMÉTRICO Lugar geométrico del plano es el conjunto de todos los puntos que cumplen una misma propiedad. BISECTRIZ DE DOS RECTAS Dadas dos rectas, r y s, se denomina bisectrices de dichas rectas a las rectas b1 y b2 que dividen a los ángulos determinados por r y s en dos partes iguales. Las bisectrices de dos rectas r y s es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de r y de s P d d α/2 b1 r α/2 β/2 β/2 s b2 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

CÁLCULO DE LAS BISECTRICES 1.- Por la igualdad de distancias: Sean las rectas r: Ax+By+C=0 y s: A’x+B’y+C’=0 Sea P(x,y) un punto de la bisectriz/es a hallar. Del punto P a r dista lo mismo que de P a s. d (P, r) = d (P, s)  |Ax + By + C| |A’x + B’y + C’|  ----------------------- = --------------------- √(A2+B2) √(A’2+B’2) Eliminando los valores absolutos, queda: Ax + By + C A’x + B’y + C’  ------------------- = ± --------------------- √(A2+B2) √(A’2+B’2) Con el signo + obtenemos una bisectriz, y con el signo – la otra. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT Ejemplo 1 Hallar las ecuaciones de las bisectrices de las rectas: r: x + y – 2 = 0 y s: x – y + 5 = 0 Por la igualdad de distancias: x + y – 2 x – y + 5 --------------- = ± --------------- √(12+12) √(12+12) Con el signo + obtenemos una bisectriz, y con el signo – la otra. x + y – 2 = x – y + 5  2y – 7 = 0  Recta horizontal x + y – 2 = – x + y – 5  2x + 3 = 0  Recta vertical Ejemplo 2 r: 3x + 4y – 10 = 0 y s: 8x – 6y + 5 = 0 3x + 4y – 10 8x – 6y + 5 ------------------- = ± ----------------- √(32+42) √(82+62) 10.(3x + 4y – 10) = 5.(8x – 6y + 5)  2x – 14y + 25 = 0 10.(3x + 4y – 10) = – 5.(8x – 6y + 5)  14x – 2y – 25 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT RECTA DE EULER En un triángulo cualquiera, el baricentro (corte de las tres medianas), ortocentro (corte de las tres alturas) y circuncentro (corte de las tres mediatrices) están alineados. La recta que determinan se llama recta de Euler. @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJERCICIO RESUELTO Hallar la recta de Euler en el triángulo de vértices A(0, 6), B(4, 2) y C(0, 0) 1.- Hallamos los puntos medios de los tres lados: 0 + 4 6 + 2 Lado AB x = ----------- = 2 , y = ----------- = 4  Pm(2 , 4) 2 2 4 + 0 2 + 0 Lado BC x = ----------- = 2 , y = ----------- = 1  Pm(2 , 1) 0 + 0 0 + 6 Lado CA x = ----------- = 0 , y = ----------- = 3  Pm(0 , 3) 2.- Hallamos la ecuación de dos medianas cualesquiera de las tres: r: mediana del vértice A(0,6) y que pasa por el Pm(2,1) de BC x – 2 y – 1 r: ------------ = ------------  r: 5.x = – 2.y + 2  r: 5.x + 2.y – 2 = 0 0 – 2 6 – 1 s: mediana del vértice B(4,2) y que pasa por el Pm(0, 3) de CA x – 0 y – 3 s: ------------ = ------------  s: – 1.x = 4.y – 12  s: x + 4.y – 12 = 0 4 – 0 2 – 3 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJERCICIO RESUELTO Hallar la recta de Euler en el triángulo de vértices A(0, 6), B(4, 2) y C(0, 0) 3.- Hallamos el corte de las dos medianas (baricentro): r: 5.x + 2.y – 2 = 0 s: x + 4.y – 12 = 0  x = 12 – 4.y Sustituyendo: 5.(12 – 4y)+2y – 2 = 0 60 – 20y + 2y – 2 = 0  58 = 18y  y = 58/18 = 29/9  x = – 8/9 El baricentro es: G(– 8/9 , 29/9) 4.- Hallamos la ecuación de dos lados cualesquiera de los tres: x – 0 y – 0 BC: ------------ = ------------  BC: 2.x = 4.y  BC: x – 2.y = 0 4 – 0 2 – 0 Pendiente: m = ½  Pendiente de la mediatriz: m’ = – 2 CA: ------------ = ------------  CA: 6.x = 0  CA: x = 0 0 – 0 6 – 0 Pendiente: m = oo  Pendiente de la mediatriz: m’ = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT

Apuntes 1º Bachillerato CT EJERCICIO RESUELTO Hallar la recta de Euler en el triángulo de vértices A(0, 6), B(4, 2) y C(0, 0) 5.- Hallamos la ecuación de dos mediatrices: La mediatriz del lado BC (m’ = – 2) pasa por Pm(2,1) Ecuación: y – 1 = – 2.(x – 2)  2.x + y – 5 = 0 La mediatriz del lado CA (m’ = 0) pasa por Pm(0,3) Ecuación: y – 3 = 0.(x – 0)  y – 3 = 0 6.- Hallamos el corte de las mediatrices (circuncentro): 2.x + y – 5 = 0 y – 3 = 0  y = 3 Sustituyendo: 2.x + 3 – 5 = 0  2.x = 2  x = 1  T(1, 3) 7.- La recta de Euler unirá baricentro, C, con circuncentro, T: Teníamos: G(– 8/9 , 29/9) y T(1, 3) x – 1 y – 3 Recta de Euler: ---------- = ------------ ; (2/9).x – 2/9 = (-17/9).y + 51/9 -8/9 – 1 29/9 – 3 Recta de Euler: 2.x – 2 = – 17.y + 51  2.x + 17.y – 53 = 0 @ Angel Prieto Benito Apuntes 1º Bachillerato CT