Fundamentos de Control Realimentado Clase 29 Versión 1 - 2015 Autor: Mario A. Jordán NOTA: Esta Copia de Power-Point es para uso exclusivo del Alumnado de FCR, 2do. Cuatrimestre 2015. Contiene los conceptos fundamentales en el marco de la Bibliografía disponible y es una contribución didáctica para el Curso. Esta versión está sujeta a futuras mejoras y extensiones. Este es un Power Point Show realizado en Power Point Professional Plus 2007

Criterio de Estabilidad de Nyquist Contenido: Otros Métodos de Diseño de un SC en la frecuencia Compensadores dinámicos de adelanto Compensadores dinámicos de atraso

Compensaciones Dinámicas en el Compensadores de adelanto de fase Dominio Frecuencial Método de Diseño II Compensadores de adelanto de fase

Compensador Dinámico por Adelanto de Fase Frente al Controlador PD visto, es conveniente emplear Compensadores Dinámicos de Adelanto (lead) cuando el problema de ruido del sensor es significativo (típicamente en bandas de altas frecuencias, más altas que la última frecuencia de corte de la planta). También se emplea para ganar mayor margen de fase y alejar el sistema de control de la inestabilidad. Así, la estructura de un compensador lead obedece a: 1-a a 1/T -1/T -1/aT s w p z con 1>a>0 Ejemplo con =0.1 Ejemplo con =0.1 1/a

Características propias de la Compensación Lead La fase del compensador es: Derivando f respecto a w e igualando a 0: (d[atan()]/d=1/(1+2)) wmax= T a 1 1000 2000 3000 4000 5000 6000 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 atan(T) atan(T) - atan(T) wmax  = arcsen 1/a -1 1/a +1 , y reemplazando wmax en f queda: La relación normal entre el polo p y el cero z es de 1/a entre 5 y 10 mucho efecto de filtrado de ruido en altas frecuencias. Además distorsiona la ganancia, incrementándola en altas frecuencias. Pues si la separación entre p y z es alta ( 1 a 1/a >>1) el polo no tiene Contrariamente, si p y z se juntan (a=1) no hay un adelantamiento de fase significativo (se compensan sus efectos por cancelación de p y z!)

Método de diseño II y justificación Idea central Si una planta no tiene suficiente Margen de Fase, y se desea aumentarlo para especificar por ejemplo un menor Mp del SCLC, entonces se debe adelantar la fase justo en la frecuencia de cruce por cero c de la planta G La forma de elegir el cero-polo del compensador en adelanto es sencilla. La idea central consiste en sumar una fase adicional con el compensador Al margen de fase que ya tiene la planta, es decir G(c)+Lead (c), para alcanzar el valor de margen de fase deseado Por conveniencia, el aporte de fase del lead se elige igual a su fase máxima en c, quedando definida la posición relativa entre el cero y el polo del lead. Por último el cálculo definitivo de ellos se logra imponiendo un valor 1/ apropiado, el cual puede estar entre 5 y 10 El compensador tiene todavía una variable más que es la ganancia K. La misma puede elegirse para satisfacer condiciones del estado estacionario, por ejemplo disminuir el error de control a largo plazo

Método de diseño II – Especificaciones El diseño del compensador por adelanto comienza estableciendo 2 especificaciones del SCLC: 1) El sobrepico Mp máximo deseado en la respuesta al escalón 2) Un máximo error permitido ess del estado estacionario Para diseñar un compensador que satisfaga las 2 condiciones se utiliza la siguiente gráfica: 1/ (relación de polo sobre cero) MF lead 1ra Gráfica de Diseño Sólo para LEAD Con una relación 101/a5 se desprende que el margen de fase máximo que puede aportar el compensador cumple 40º MF 55º. Por último, el cumplimiento de un error máximo permitido ess se logra aumentando K apropiadamente

Interpretación de la compensación en adelanto K(T+1) T+1 G (jw) Planta y compensador Lead G (jw) Planta Re(s) Plano s -1 Im(s) Circunferencia unitaria Diagrama de Nyquist del compensador w=0+ w= wc Planta 1/ w= 1 w=0 T+1 T+1 30º w= K/ K w=0 T+1 K(T+1) Se baja la ganancia K 30º /G(wc)/=1 wc El compensador aporta 30º más a la fase de la planta en c, es decir, en la frecuencia de cruce por cero de la planta. Frecuencia de cruce por 0dB /KDG(wc)/=1 wc Con ello, la planta compensada y realimentada se aleja del límite de estabilidad al adquirir un mayor margen de fase igual a: /DG(wc)/ wc Planta compensada G(wc)+max(wc)

Interpretación en DB de la compensación en adelanto (sT/+1) s K (sT+1) e-sTd KDG(s)= FTLA: s e-sTd G(s)= Planta: -20 20 -270 -180 -90 -40 10 -1 1 2 cero polo K<1 K=1 Planta compensada Planta MF deseado Planta MF MF max c

Ejemplo: Diseño II para una Antena Satelital Se desea controlar un sistema de rastreo de una antena satelital: 1 s(s+1) G(s)= Especificaciones: Especificación 1: 1/Kv menor a 0.1 Especificación 2: Mp inferior o igual al 22% Solución: Se usa un compensador lead para satisfacer ambas especificaciones. Es sabido que la realimentación proporcional de este sistema no puede ofrecer un adecuado amortiguamiento s (verificar con LR!) y por ende los ts son prolongados y/o tr pequeños (notar que: ts=4.6/s, tr=1.8/wn y s =zwn) Por ello probamos con un compensador lead para mejorar la fase del SCLA (desplazándola hacia arriba en el DB de fase) y proveer un mayor margen de fase (ver Diagrama de Bode completo)

Continúa Ejemplo de Diseño II El error de estado estacionario del sistema tipo I es: Para D(s) un compensador lead y R(s)=1/s2 se obtiene: ess = 1 / KD’(0)G’(0) = 1/Kv  0.1 Se elige K=10 , la cual con D’G’(0)=1, se verifica la 1ra. especificación. 2da Gráfica de Diseño Ahora falta cumplir la condición de Mp. MF Sobrepico rta al escalón Mp Sobrepico de resonancia Mr Como se sabe que el SCLC tendrá dos polos complejos conjugados, se emplea la figura de diseño como aproximación. Se nota que un Mp de alrededor de 22% se logra con un MF de 45° Observamos además un Mr de 1.2 en la frecuencia de resonancia.

Fin del Diseño II para ejemplo de Antena satelital Primero se sube la curva de ganancia con K=10=20dB para lograr ess=1/Kv=1/K=0.1 1 Continúa Ejemplo de Diseño Se nota que la planta sola, incorpora 18° de MF. Un compensador debería aportar por lo menos 27° más (en total 45º) en la frecuencia de cruce w=3 rad/s de KG para lograr el Mp requerido de 22% como máximo 2 Fin del Diseño II para ejemplo de Antena satelital Con 1/a=5 buscamos ahora la posición del cero a través de: 4 = 3 rad/s. wmax= T a 1 1/T = 2.17 y 1/aT = 10.87. Adoptamos el cero en -2 y polo en -10 Sin embargo sabemos que debido al cambio de ganancia, la frecuencia de corte se desplaza a la derecha y con ella el fmax. Por ello elegimos wmax=5 y de aquí sale: Sin embargo pedir un max de 27º significa juntar demasiado el cero y el polo del compensador. Notar en la tabla que 1/ nos da un valor de 2.6, el cual es inadmisible. Entonces tomamos el menor posible que es 1/=5. 3 El aumento de K es de 6dB=2, y ahora Kv=20. En realidad la nueva frecuencia para medir el MF se corrió a la derecha, pues el compensador aumenta la ganancia. Si medimos en esa frecuencia vemos que el aporte del compensador es de 41º y la planta en ese punto tiene sólo 12º 5 El diseño puede finalizar en este paso, o refinar el Mp al valor máximo solicitado. Se puede proceder iterativamente con max junto a 1/ o seguir el camino más fácil de aumentar levemente la ganancia K para disminuir el MF a 45º . Esto a su vez disminuye más el ess. 7 El MF total queda de 53º el cual produce un Mp menor del especificado igual a 15%. También el pico de resonancia es levemente superior a 0dB. 6 s(s+1)(s/10+1) 10 (s/2+1) KDG(s)= 20 (s/2+1) KDG(s)= s(s+1)(s/10+1) 10 s(s+1) KG(s)= 1 s(s+1) G(s)= -80 -60 -40 -20 20 40 -180 -135 -90 10 -1 1 2 K=10 Integrador planta 18º 12º Polo planta MF Sobrepico rta al escalón Mp Sobrepico de resonancia Mr 1/ (relación de polo sobre cero) MF lead Cero compensador Polo compensador Nos da en exceso un aporte de 40º . Faltan 27º de aporte del Comp. aporte de 41º 41º MF total 53º 45º Diseño final 3x100

Respuesta Temporal del Sistema Antena Controlado Respuesta del sistema de lazo cerrado al escalón 1.4 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.6 1.8 Tiempo s Mp es levemente diferente al indicado de 22%. Esta respuesta corresponde a un de MF=53° 0.58s 20% 1,03s 0.21s 5% NOTA: las curvas de Mp vs. MF son válidas para un sistema subamortiguado puro. Aquí el sistema SCLC posee además un cero en s=-2.

Respuesta Temporal del Sistema Antena Controlado Respuesta al escalón del sistema de lazo cerrado 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 Tiempo (seg) s(s+1)(s/10+1) 10 (s/2+1) KDG(s)= MF=45º s(s+1)(s/10+1) 20 (s/2+1) KDG(s)= MF=53º

Diseño resultante visto en Lugar de las Raíces -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 2 4 6 8 =MF/100=0.45 Planta realimentada y compensada Polo y cero del compensador de adelanto (=26º) Planta realimentada con K pero no compensada

Resumen del Método de Diseño II Se requiere cumplir especificaciones de Kv y Mp. Se elige Comp. Lead Determinar la ganancia K en el DB tal que el error de estado estacionario ess esté dentro de los límites de la especificación Graficar el Diagrama de Bode para KG y extraer frecuencia de cruce Leer para esta frecuencia el MF y el aporte necesario de fase para cumplir el Mp pedido (Gráfica de Diseño Mp vs. MF). Este aporte lo provee el fmax. Como la curva de ganancia sube un factor 1/, la frecuencia de cruce se correrá. Se elige una nueva frecuencia de cruce a la derecha Con este nuevo max se entra a la Gráfica de Diseño 1/ vs. MF y se elige 1/a Con la expresión wmax=1/ Ta1/2 igual a la frecuencia de cruce de KG se halla 1/T y 1/Ta , y se recalcula fmax con fmax =arcsin((a-1- 1)/(a-1+1)) Graficando Bode de KDG se verifica el MF. Si es menor o mayor se incre- menta 1/a o se disminuye para dar con el valor correcto iterativamente El camino alternativo y más sencillo es subir la ganancia hasta dar con el MF. Esto mejora también el error de estado estacionario.

Resumen del Método de Diseño II Parámetros especificados en el Método de Diseño La ganancia de baja frecuencia K que determina el ess (ó Kv) EL sobrepico Mp la que determina la performance del SC Parámetros auxiliares del Método de Diseño El margen de fase MF que determina el sobrepico Mp y con él el amortiguamiento z El factor 1/ y wmax que determinan la posición del cero y del polo del compensador de adelanto Verificación de la justeza del método de diseño con el ploteo de la respuesta al escalón del SC.

Compensaciones Dinámicas en el Propiedades de estado estacionario Dominio Frecuencial Método de Diseño III Compensador PI Propiedades de estado estacionario

Diseño de un Compensador PI 1 s KD(s)= s + TI Sea el compensador PI: w (log10 w) /KD/, db PI -20db/dec La ganancia es muy alta para bajas frecuencias ( para w=0), y debido a esto, la fase de KDG(jw) puede verse comprometida en la frecuencia de cruce wc de la planta, pues la fase de KD(jw) arranca con -90°. 1/TI wc w (log10 w) q [°] 0° -90° -180° 1/TI wc Por ello el Criterio de Diseño es por un lado elegir 1/TI que aporte fase en la la frecuencia de cruce wc de la planta Por otro lado, de ser necesario, se aumenta la ganancia K para proveer un error de estado estacionario bajo (por Ej. ess<0.01). Veamos un ejemplo en Matlab.

Ejemplo de Diseño III de un PI - MATLAB MATLAB >> G=tf([4],conv([20 1],[25 10 1])) Transfer function: 4 --------------------------------------- 500 s^3 + 225 s^2 + 30 s + 1 >> roots([500 225 30 1]) ans = -0.2000 -0.0500 >> rlocus(G) >> bode(G) >> PI=tf(0.005*[1/0.005 1],[1 0]) Transfer function: s + 0.005 -------------- s >> hold on >> bode(PI*G) >> >> close all >> rlocus(G) >> rlocus(PI*G)

Ejemplo de Diseño III de un PI - MATLAB Magnitud (dB) 10 -4 -3 -2 -1 1 Fase (grados) Diagrama de Bode Frecuencia (rad/seg) -150 -100 -50 50 -270 -180 -90 Planta compensada Se amplifica con K=6dB=2 Así el ess=0.01 (a una rampa) Planta Planta Planta compensada El PI modifica el margen de fase c En este caso se puede correr la frec. del cero más a la derecha y esto mejora tanto el MF como el ess Con la elección del cero se logró no modificar el margen de fase La freuencia de cruce se desplaza un poco a la derecha

Ejemplo de Diseño III de un PI - MATLAB -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 Lugar de las Raíces Eje real Eje imaginario -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 Lugar de las Raíces Eje real Eje imaginario Planta compensada Planta Ambos LRs se asemejan significativamente. La diferencia esta en la nueva rama que aparece en KDG, la cual comprende al cero/integrador del PI (bajas frecuencias)

Compensaciones Dinámicas en el Compensador de Atraso de Fase (lag) Dominio Frecuencial Compensador de Atraso de Fase (lag) Método de Diseño IV

Compensador Dinámico por Atraso de Fase Frente al Controlador PI visto, es conveniente emplear Compensadores Dinámicos de Atraso (lag) para mejorar el estado estacionario en una situación donde problema de margen de fase es crítico. Así un PI aporta -90º en bajas frecuencias y un compensador lag sólo unos pocos grados negativos. De esta manera el ess puede bajarse mientras el MF no decae tanto como con un PI. Pero acá el sistema queda de Tipo 0 si la planta no tiene integrador. Así, la estructura de un compensador lag obedece a: -1/aT -1/T s w z p a D(s) = Ts+1 aTs + 1 con a>1 ganancia fase

Diseño de un Compensador con Atraso de Fase Un compensador con atraso de fase provee esencialmente suficiente ganancia en bajas frecuencias (ganancia finita en w=0) como para disminuir el error de estado estacionario ess Por ello conserva la propiedad fundamental de un PI. Sin embargo, el aporte de fase negativa no es tan grande como en este controlador Notar que en un compensador con atraso de fase se cumple que: a D(s) = Ts+1 aTs + 1 con D(0) = a y D()=1, z/p=a>1 (ganancia de alta frecuencia) es decir, el compensador provee un aumento de la ganancia estática en la proporción D(0)=a>1. Sabemos que el papel fundamental de este compensador es colocar el polo y el cero (a la izquierda), ambos muy cercanamente del eje imaginario, pero de tal manera que la fase de KG(jw) no sea alterada En frecuencias medias y altas. Supongamos que el MF ya fue logrado previamente variando K en KG.

Método de Diseño IV con Compensador de Atraso Pasos de diseño Determinar la Ganancia de Lazo Abierto K de KG que cumpliría los requerimientos de un MF deseado en wcruce. Dar un poco más MF, pues la fase del compensador lag retrasa en wcruce y disminuirá el MF real Dibujar en Diagrama de Bode de KG con esa ganancia del paso anterior y evaluar la ganancia de baja frecuencia para cumplir ess deseado Determinar la ganancia a para lograr el error de estado estacionario ess deseado, por ejemplo en sistemas tipo 1 ess=1/ KG(0) Elegir la frecuencia de quiebre w=1/T del cero de D(s) de tal manera que quede a una década o dos octavas a la izquierda de wcruce La otra frecuencia del polo w=1/aT ya queda establecida con a Como el MF disminuye con DKG, Iterar el procedimiento alterando levemente las ganancias K y a hasta lograr el MF!

Ejemplo de Diseño con Lag para un Sistema Térmico Sea la planta: Sistema térmico Especificaciones de Diseño IV: SCLC con un ess no mayor a 10% y con un MF mayor o igual a 40° 2 4 6 8 10 12 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tiempo en s y(t) u(t) Planta no compensada con K=1

Ejemplo de Diseño con C. Lag para un Sistema Térmico Se empleara un compensador de atraso pues existe un requerimiento de estado estacionario. Claramente, ni la planta y ni el compensador tienen un integrador, entonces el sistema es de tipo cero y por ende el SCLC tendrá un ess al escalón Por definición: Kp = lim KD(s)G(s) s 0 Adicionalmente: e () = lim s s 0 1 1+KD(0)G(0) = 1/(1+Kp)=1/10 = 0.1 (10%) ess= Entonces Kp = KDG(0) = K = 9 (o mayor) Investigamos ahora el comportamiento frecuencial de KG mediante un Diagrama de Bode. Ajustamos K para lograr para lograr MF entre 40° y 55º .

Continúa Ejemplo de Diseño con C. Lag Diagrama de Bode 3DG Magnitud (db) Fase (°) -40 -20 20 10 -2 -1 1 2 -270 -225 -180 -135 -90 -45 -3 3G D G wcruce=0.89 rad/s -127° MFinicial=53° wcruce=0.89 rad/s MFfinal=45° Fijamos la wquiebre del polo al menos una década a la izq. de wcruce: 1/aT=10-1 0.891/15 El resultado es un Compensador Lag: 3*(5s+1)/(15s+1). Luego corremos la wquiebre del cero 2 octavas del polo: 22*1/T1/3 y trazamos D(jw) La curva compensada 3DG cumple con un MF de 45° y un Kp=9. No se itera más. Subimos /G/ en el valor de 9.54 db=3 justo en cruce=0.89 rad/s Esto impone un a=3 para el compensador lag. Damos un MF inicial mayor de 40°, por ej. 53° y encontramos un wcruce=0.89 rad/s Como pedimos un Kp=9 esto se logra con Kp=a*3G(0)=a*3 Construimos el Diagrama de Bode para G(jw)

Respuesta Temporal de la Planta y de la Planta Controlada 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Mp=0.25 ess=0.1 y(t) del sistema controlado en el diseño final MF Sobrepico rta al escalón Mp Sobrepico de resonancia Mr y(t) de la planta SISTEMA TÉRMICO MF=45º

Fin del Curso FCR 2do. Cuatrimestre 2015