Matemáticas Aplicadas CS I ECUACIONES Y SISTEMAS U.D. 4 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I SISTEMAS CUADRÁTICOS U.D. 4.5 * 1º BCS @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I SISTEMAS DE 2º GRADO Un sistema de dos o más ecuaciones con dos o más incógnitas es de segundo grado si al menos una de las ecuaciones es de segundo grado. Ejemplos x2 – 3x = y + 5 x2 – 3y2 – 3x = y + 5 3x + 2y = 7 x2 + 5x = 4y + 5 x – 3y = 5 x2 + 2xy – 3y2 = 7 3x + 2xy = 4 3x2 + 7y2 – 3x = y + 5 Véase que el monomio “2xy” presente es de segundo grado, lo que hace que la ecuación correspondiente sea también de segundo grado, y por extensión el sistema del que forma parte también sea de segundo grado. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I M. de SUSTITUCIÓN en sistemas cuadráticos Sea el sistema: x2 + y2 = 10 (1) x + y = 4 (2) De la ecuación (2) se despeja la incógnita “x” : x = 4 – y Y se sustituye su expresión en la ecuación (1) : (4 – y)2 + y2 = 10 Operando queda : 2 y2 – 8y + 6 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola … y = 3 , y = 1 1 2 Llevando ese valor a la ecuación ( 2 bis), tenemos … x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – 1 = 3 , o sea x = 1 , x = 3 1 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I M. de IGUALACIÓN en sistemas cuadráticos Sea el sistema: y2 – x = 8 (1) x + y = 4 (2) De ambas ecuaciones se despeja la incógnita “x” : x = y2 – 8 (1) x = 4 – y (2) Se igualan ambas expresiones: y2 – 8 = 4 – y  y2 + y – 12 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado, que resolviéndola … y = 3 , y = – 4 1 2 Llevando ese valor a la ecuación (2), tenemos … x = 4 – 3 = 1 , x = 4 – (– 4) = 8 , o sea x = 1 , x = 8 1 2 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I M. de REDUCCIÓN en sistemas cuadráticos Sea el sistema: x2 + y2 - 2 x = 8 (1) x2 + y2 - y = 7 (2) Restando a la (1) la (2) , queda: x2 + y2 - 2 x - x2 - y2 + y = 8 - 7 , y – 2x = 1 (1) De la nueva ecuación (1) despejo “y”: y = 1 + 2x Y sustituyo en la (2), quedando: x2 + (1+2x)2 – 1 - 2x = 7  x2 + 1 + 4x + 4x2 – 1 – 2x = 7  5x2 + 2x – 7 = 0 Resulta una ecuación de 2º grado @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I Teníamos el sistema: y – 2x = 1 (1) x2 + y2 - y = 7 (2) ….  5x2 + 2x – 7 = 0 Resolviendo: - 2 +/- √[22 – 4.5.(-7)] - 2 +/- 12 1 x = ----------------------------- = ------------ = 2.5 10 - 7/5 De la (1): y = 2x + 1 y = 2.1 + 1 = 3 ; y = 2.(-7/5) + 1 = - 9 / 5 Solución_1: x1 = 1, y1 = 3 Solución_2: x2 = - 7/5, y2 = - 9/5 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 1 La suma de las áreas de dos terrenos cuadrados es de 100 Ha (1 Ha = 10000 m2). La suma de sus perímetros es de 5,60 km. Hallar el lado de cada terreno. RESOLUCIÓN Sea x = El lado de un terreno, en metros. Sea y = El lado del otro terreno, en metros. Según el enunciado: 4.x + 4.y = 5,60 km  4.x + 4.y = 5600 m  x + y = 1400 (1) x2 + y2 = 100 Ha  x2 + y2 = 100.10000 m2  x2 + y2 = 1000000 Despejando y de la primera ecuación: y = 1400 – x Sustituyendo en la 2ª ecuación: x2 + (1400 – x)2 = 1000000 Operando: x2 + 1960000 – 2800.x + x2 = 1000000 2.x2 – 2800.x + 960000 = 0  x2 – 1400.x + 480000 = 0 Resolviendo la ecuación: x = 800 m y x = 600 m y = 1400 – x = 1400 – 800 = 600 m e y = 1400 – 600 = 800 m Ambos terrenos miden 600 m y 800 m respectivamente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 Un informático prevé ganar 1000 € por la reparación de un determinado número de ordenadores. Pero comprueba que dos equipos no tienen posible arreglo, por lo cual decide cobrar 25€ más por la reparación de cada uno de los restantes, al objeto de ganar lo mismo. ¿Cuántos equipos son y cuál era el coste inicial de reparación de cada uno?. RESOLUCIÓN Sea x = El número de equipos en total. Sea y = El coste de reparación inicial de cada uno. Según el enunciado: x.y = 1000  y = 1000 / x (x – 2).(y + 25) = 1000  x.y – 2.y + 25.x – 50 = 1000 Sustituyendo: 1000 – 2.(1000 / x) + 25.x – 50 = 1000 – 2.(1000 / x) + 25.x – 50 = 0 Operando, para lo cual multiplico todo por x: – 2000 + 25.x2 – 50.x = 0 25.x2 – 50.x – 2000 = 0  x2 – 2.x – 80 = 0 Resolviendo la ecuación: x = 10 y x = – 8 (que no vale por negativa) x = equipos iniciales, de los cuales 2 sin posible reparación. y = 1000 / x = 1000 / 10 = 100 € cada reparación inicialmente. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I OFERTA Y DEMANDA En Economía aparecen las funciones de oferta y de demanda. La función de demanda, fd, para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades de producto en función del precio p (por unidad) que los consumidores están dispuestos a comprar. La relación puede ser lineal o cuadrática. fd = mp + n con m<0 fd = ap2 + bp + c con a<0. La función de oferta, fo, para cualquier producto, es la función que nos da el número de unidades que la empresa está dispuesta a producir en función del precio (por unidad) del producto. fo = kp + v con k>0 fo = dp2 + ep + f con d>0. El equilibrio del mercado se produce cuando el número de unidades que se fabrican coincide con el número de unidades que se demandan. El precio por unidad de producto en este caso se denomina "precio de equilibrio". @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I OFERTA Y DEMANDA DEMANDA: Al aumentar el precio de un bien, los usuarios adquieren menos cantidad. OFERTA: Al aumentar el precio de un bien, el fabricante produce más unidades. fd fo 100 200 300 400 500 600 Número de unidades Precio de equilibrio 10 20 30 40 50 60 70 80 90 Precio unitario @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I OFERTA Y DEMANDA fd fd fo fo Número de unidades Número de unidades Precio de equilibrio Precio unitario Precio unitario fd fo fd fo Número de unidades Número de unidades Precio unitario Precio unitario @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 1 La función de demanda, fd, de un determinado producto para un precio entre 90 y 120 € es: fd = -2.p2 + 400.p + 2000 La función de oferta, fo, del mismo producto, para los mismos márgenes de precio es: fo = 3p2 + 20p – 10000 Calcula el precio de equilibrio y las unidades demandadas y ofertadas en este caso. Resolución El "precio de equilibrio” para este determinado producto sería: -2.p2 + 400.p + 2000 = 3p2 + 20p – 10000 Operando queda: p2 – 76.p – 2400 = 0 Resolviendo: p = 100 y p = - 24 (que no vale) Las unidades demandadas serían: xd = – 2.1002 + 400.100 + 2000 = – 20000 + 40000 + 2000 = 22000 Las unidades ofertadas serían: xo = 3.1002 + 20.100 - 10000 = 30000 + 2000 – 10000 = 22000 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I

Matemáticas Aplicadas CS I EJEMPLO 2 Las funciones de demanda y de oferta correspondientes al mercado de MP4 en cierto momento son: xd = – 0,05.p2 + 0,50.p + 150 xo = 0,25.p2 – 10.p + 150 Calcula el precio de equilibrio y las unidades demandadas y ofertadas en este caso. RESOLUCIÓN El "precio de equilibrio” para este determinado producto sería: – 0,05.p2 + 0,50.p + 150 = 0,25.p2 – 10.p + 150 Operando queda: 0,30.p2 – 10,50.p = 0  p = 35 Las unidades demandadas serían: xd = – 0,05.352 + 0,50.35 + 150 = – 61,25 + 17,50 + 150 = 106 Las unidades ofertadas serían: xo = 0,25.352 – 10.35 + 150 = 306,25 – 350 + 150 = 106 @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I