Inecuación cuadrática con una incógnita Dirección de Formación Básica

Inecuación cuadrática con una incógnita Habilidades a desarrollar: Al terminar el presente tema, usted estará en la capacidad de: Resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita. Modelar inecuaciones cuadráticas con una incógnita en situaciones de contexto real.

Inecuación cuadrática con una incógnita Problema motivador Un peluquero tiene un promedio de 120 clientes semanales a un costo actual de $8 por corte de cabello. Por cada incremento de 75¢ en el precio, el peluquero perderá 10 clientes. Calcule el precio máximo que puede cobrarse de modo que los ingresos semanales no sean menores que los actuales.

Inecuación cuadrática con una incógnita Se llama inecuación cuadrática con una incógnita a una expresión de cualquiera de los siguientes tipos: 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 > 0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 ≥ 0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 < 0 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 ≤ 0 donde 𝑎, 𝑏 y 𝑐 son números reales, pero con 𝑎≠0.

Inecuación cuadrática con una incógnita ¿Cómo resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita? Teorema 1. Si la expresión cuadrática 𝐸=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 tiene ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐>0, entonces la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 posee dos raíces reales diferentes: 𝑟 1 y 𝑟 2 , con 𝑟 1 < 𝑟 2 . + − + Si 𝑎>0: −∞ +∞ 𝑟 1 𝑟 2 − + − Si 𝑎<0: −∞ +∞ 𝑟 1 𝑟 2

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 1 del Teorema 1. Resuelva 𝑥 2 >25 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐>0. Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real. -5 5 −∞ +∞ En nuestro caso: 𝑥 2 >25 entonces 𝑥 2 −25>0 Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E= 𝑥 2 −25, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. En nuestro caso: 𝑥 2 −25=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 =−5 𝑟 2 =5 + − + -5 5 −∞ +∞ Ahora bien, como 𝑥 2 −25>0 se concluye que 𝐶.𝑆= −∞; −5 ∪ 5; +∞

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 2 del Teorema 1. Resuelva 3 𝑥 2 ≤2𝑥 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐≤0. Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real. 2/3 −∞ +∞ En nuestro caso: 3𝑥 2 ≤2𝑥 entonces 3𝑥 2 −2𝑥≤0 Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E= 3𝑥 2 −2𝑥, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + − + En nuestro caso: 3𝑥 2 −2𝑥=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 =0 𝑟 2 = 2 3 2/3 −∞ +∞ Ahora bien, como 3𝑥 2 −2𝑥≤0 se concluye que 𝐶.𝑆= 0; 2 3

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 3 del Teorema 1. Resuelva 2 𝑥 2 −1≥𝑥 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐≥0. Paso 3. Ubicamos las raíces de la cuadrática en la recta real. -1/2 1 −∞ +∞ En nuestro caso: 2𝑥 2 −1≥𝑥 entonces 2 𝑥 2 −𝑥−1≥0 Paso 4. Usando el Teorema 1 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E=2 𝑥 2 −𝑥−1, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + − + En nuestro caso: 2 𝑥 2 −𝑥−1=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 =− 1 2 𝑟 2 =1 -1/2 1 −∞ +∞ Ahora bien, como 2 𝑥 2 −𝑥−1≥0 se concluye que 𝐶.𝑆= −∞;−1/2 ∪ 1; +∞

Inecuación cuadrática con una incógnita Teorema 2. Si la expresión cuadrática 𝐸=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 tiene ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐=0, entonces la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0 tiene multiplicidad de raíces, es decir 𝑟 1 = 𝑟 2 . + + Si 𝑎>0: −∞ +∞ 𝑟 1 − − Si 𝑎<0: −∞ +∞ 𝑟 1

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 1 del Teorema 2. Resuelva 𝑥 2 −4𝑥≥−4 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐≥0. Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real. 2 −∞ +∞ En nuestro caso: 𝑥 2 −4𝑥≥−4 entonces 𝑥 2 −4𝑥+4≥0 Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E= 𝑥 2 −4𝑥+4, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + + En nuestro caso: 𝑥 2 −4𝑥+4=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 =2 𝑟 2 =2 2 −∞ +∞ Ahora bien, como 𝑥 2 −4𝑥+4≥0 se concluye que 𝐶.𝑆= −∞; +∞

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 2 del Teorema 2. Resuelva 4 𝑥 2 +12𝑥>−9 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐>0. Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real. -3/2 −∞ +∞ En nuestro caso: 4𝑥 2 +12𝑥>−9 entonces 4𝑥 2 +12𝑥+9>0 Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E= 4𝑥 2 +12𝑥+9, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + + En nuestro caso: 4𝑥 2 +12𝑥+9=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 =− 3 2 𝑟 2 =− 3 2 -3/2 −∞ +∞ Ahora bien, como 4𝑥 2 +12𝑥+9>0 se concluye que 𝐶.𝑆= −∞; +∞ − −3/2

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 3 del Teorema 2. Resuelva 9 𝑥 2 ≤6𝑥−1 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐≤0. Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real. 1/3 −∞ +∞ En nuestro caso: 9 𝑥 2 ≤6𝑥−1 entonces 9 𝑥 2 −6𝑥+1≤0 Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E=9 𝑥 2 −6𝑥+1, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + + En nuestro caso: 9 𝑥 2 −6𝑥+1=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 = 1 3 𝑟 2 = 1 3 1/3 −∞ +∞ Ahora bien, como 9𝑥 2 −6𝑥+1≤0 se concluye que 𝐶.𝑆= 1/3

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 4 del Teorema 2. Resuelva 𝑥 2 +1<−2𝑥 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐<0. Paso 3. Ubicamos la raíz de la cuadrática en la recta real. −1 −∞ +∞ En nuestro caso: 𝑥 2 +1<−2𝑥 entonces 𝑥 2 +2𝑥+1<0 Paso 4. Usando el Teorema 2 y seleccionando la solución. La expresión cuadrática es E= 𝑥 2 +2𝑥+1, con ello: Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. + + En nuestro caso: 𝑥 2 +2𝑥+1=0 entonces las raíces de la cuadrática son 𝑟 1 =−1 𝑟 2 =−1 −1 −∞ +∞ Ahora bien, como 𝑥 2 +2𝑥+1<0 se concluye que 𝐶.𝑆=𝜙

Inecuación cuadrática con una incógnita Teorema 3. Si la expresión cuadrática 𝐸=𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐 tiene ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0, entonces la ecuación cuadrática no tiene una sola raíz real, por tanto: Si 𝑎>0 y 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐>0 entonces 𝐶𝑆=ℝ Si 𝑎>0 y 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐<0 entonces 𝐶𝑆=𝜙

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 1 del Teorema 3. Resuelva 3 𝑥 2 +𝑥<−7 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐<0. Paso 3. Concluyendo Como ∆<0 y además se tiene que 𝑎>0 y 3 𝑥 2 +𝑥+7<0, entonces 𝐶.𝑆=𝜙 En nuestro caso: 3 𝑥 2 +𝑥<−7 entonces 3 𝑥 2 +𝑥+7<0 Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. En nuestro caso: 3 𝑥 2 +𝑥+7=0 no tiene raíces reales, ya que ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 2 del Teorema 3. Resuelva 𝑥 2 −2𝑥>−5 Resolución Paso 1. Expresarlo a la forma de la inecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐>0. Paso 3. Concluyendo. Como ∆<0 y además se tiene que 𝑎>0 y 𝑥 2 −2𝑥+5>0, entonces 𝐶.𝑆=ℝ En nuestro caso: 𝑥 2 −2𝑥>−5 entonces 𝑥 2 −2𝑥+5>0 Paso 2. Obtenemos las raíces de la ecuación cuadrática 𝑎 𝑥 2 +𝑏𝑥+𝑐=0. En nuestro caso: 𝑥 2 −2𝑥+5=0 no tiene raíces reales, ya que ∆= 𝑏 2 −4𝑎𝑐<0

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 1. Si 𝑥 árboles producen (80 – 𝑥) frutos cada uno. Calcule cuántos árboles habrán de plantarse para que la próxima cosecha supere los 1 500 frutos. Resolución La cosecha 𝐶 se define como 𝐶 = Árboles plantados ∙ Frutos de cada árbol Con ello 𝐶=(𝑥)(80−𝑥) 𝐶=80𝑥− 𝑥 2 Piden hallar 𝑥 de tal manera que la cosecha supere los 1500 frutos, es decir 𝐶>1500 80𝑥− 𝑥 2 >1500 Escribiendo la inecuación cuadrática − 𝑥 2 +80𝑥−1500>0 𝑥 2 −80𝑥+1500<0 Las raíces de la cuadrática son: 𝑥 1 =30 𝑥 2 =50 Ubicando las raíces en la recta real: 30 50 − + −∞ +∞ Concluiremos que: se deben de plantar entre 31 a 49 árboles.

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 2. Si el precio 𝑝 (en dólares) de cierto artículo depende de la cantidad demanda 𝑞 y está dada por 𝑝=150−3𝑞. Obtenga las unidades que deben demandarse para obtener ingresos de al menos $1800. Resolución Recuerde que el ingreso 𝐼 se define como 𝐼= Precio unitario de ventas ∙ Cantidades vendidas Con ello 𝐼=(𝑝)(𝑞) 𝐼= 150−3𝑞 𝑞 𝐼=150𝑞−3 𝑞 2 Piden hallar 𝑞 de tal manera que el ingreso sea de al menos $1800 frutos, es decir 𝐼≥1800 150𝑞−3 𝑞 2 ≥1800 Escribiendo la inecuación cuadrática − 3𝑞 2 +150𝑞−1800≥0 𝑞 2 −50𝑞+600≤0 Las raíces de la cuadrática son: 𝑥 1 =20 𝑥 2 =30 Ubicando las raíces en la recta real: 20 30 − + −∞ +∞ Concluiremos que: se deben de vender de 20 a 30 artículos.

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 3. El costo de producir 𝑥 lámparas está dada por 𝐶=200+80𝑥+ 𝑥 2 . Si éstas se pueden vender a S/.160. Calcule la cantidad de lámparas que se deben de producir y vender para obtener utilidades semanales de al menos S/.1000. Resolución 𝑈≥1000 − 𝑥 2 +80𝑥−200≥1000 Escribiendo la inecuación cuadrática − 𝑥 2 +80𝑥−1200≥0 𝑥 2 −80𝑥+1200≤0 Las raíces de la cuadrática son: 𝑥 1 =20 𝑥 2 =60 Ubicando las raíces en la recta real: Sea 𝑥 las lámparas producidas y vendidas. El ingreso 𝐼 estará dada por 𝐼=160𝑥 Con ello, la utilidad 𝑈 es 𝑈=𝐼−𝐶 𝑈=160𝑥−(200+80𝑥+ 𝑥 2 ) 𝑈=− 𝑥 2 +80𝑥−200 Piden hallar 𝑥 de tal manera que la Utilidad sea del menos S/. 1 000, es decir: 20 60 − + −∞ +∞ Concluiremos que: se deben de vender de 20 a 60 lámparas.

Inecuación cuadrática con una incógnita Ejemplo 4. Un vendedor de periódicos atiende en promedio a 120 clientes a la semana, cobrándoles 4 soles por el servicio a domicilio. Por cada incremento de 0,5 soles en el precio, el vendedor pierde 8 clientes. Calcule el precio máximo que deberá fijar para obtener ingresos semanales de al menos 520 soles. Resolución Sea 𝑥 la cantidad de veces que se incremento el precio en S/.0,5, entonces el ingreso por la ventas de periódicos es 𝐼=(𝑝)(𝑞) 𝐼=(4+0,5𝑥)(120−8𝑥) 𝐼=−4 𝑥 2 +28𝑥+480 Vamos a hallar los valores de 𝑥 de tal manera que el ingreso sea de al menos S/.520, es decir 𝐼≥520 −4 𝑥 2 +28𝑥+480≥520 Escribiendo la inecuación cuadrática − 4𝑥 2 +28𝑥−40≥0 𝑥 2 −7𝑥+10≤0 Las raíces de la cuadrática son: 𝑥 1 =2 𝑥 2 =5 Ubicando las raíces en la recta real: 2 5 − + −∞ +∞ Es decir: 2≤𝑥≤5 Ahora bien, el precio máximo que deberá fijar es: 𝑝=4+0,5 5 =6,5 nuevos soles.

Inecuación cuadrática con una incógnita Conclusiones Para resolver una inecuación cuadrática, primero se tiene que llevar a una de las formas conocidas. Debemos de mantener al número que multiplica al 𝑥 2 con signo positivo. Se deben de hallar las raíces reales de la ecuación cuadrática y posteriormente usar el teorema 1 o 2, dependiente de las raíces encontradas. Si no hay raíces reales, usar el teorema 3. Concluir adecuadamente.

Inecuación cuadrática con una incógnita Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación. Bibliografía [1] Arya, Jagdish C. (2009) Matemática aplicada a la Administración. Ed 5. México, D.F. Pearson. [2] Haeussler, Ernest F. (2008). Matemática para Administración y Economía. Ed 12. Pearson Educación.