Cálculo diferencial e integral de una variable 1 Las derivadas en el análisis de funciones.

Cálculo diferencial e integral de una variable 2 Habilidades 1.Describe el comportamiento de una función a partir de su primera derivada. 2.Explica el concepto de concavidad de una gráfica. 3.Explica el concepto de punto de inflexión. 4.Traza la gráfica, analizando todos los elementos.

Cálculo diferencial e integral de una variable 3 Funciones crecientes y decrecientes Función creciente en un intervalo I: Función decreciente en un intervalo I: f(x 1 ) < f(x 2 ) siempre que x 1 < x 2 f(x 1 ) > f(x 2 ) siempre que x 1 < x 2 y x x2x2 x1x1 f(x1)f(x1) f(x2)f(x2) y x x2x2 x1x1 f(x1)f(x1) f(x2)f(x2)

Cálculo diferencial e integral de una variable 4 Prueba creciente - decreciente Sipara todaentonces f escreciente en I Sipara todaentonces f esdecreciente en I

Cálculo diferencial e integral de una variable 5 comportamiento gráfico de las funciones

Cálculo diferencial e integral de una variable 6 Prueba de la primera derivada Sea f continua y c un punto crítico de f cambia de f tiene máximo local en c + a -en c cambia de f tiene mínimo local en c - a +en c no cambia de signo en c f no tiene extremo local en c y x c y x c y x c y x c

Cálculo diferencial e integral de una variable 7 Determine la monotonía y los puntos de extremos de la función f cuya regla de correspondencia es : Ejemplo

Cálculo diferencial e integral de una variable 8 Concavidad de la gráfica de una función Si la gráfica de f está por encima de sus rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que la gráfica es cóncava hacia arriba en ese intervalo Si la gráfica de f está por debajo de sus rectas tangentes en un intervalo I, entonces se dice que la gráfica es cóncava hacia abajo en ese intervalo

Cálculo diferencial e integral de una variable 9 Prueba de concavidad y x y x Sipara toda entonces la gráfica de f es cóncava hacia arriba en I Sipara toda entonces la gráfica de f es cóncava hacia abajo en I

Cálculo diferencial e integral de una variable 10 Punto de inflexión Un punto P de una curva se llama punto de inflexión si se cumplen las tres condiciones siguientes: La curva es continua en P 1 La curva posee recta tangente en P 2 La curva cambia de concavidad a ambos lados de c. 3 y x P y x PP y x P y x

Cálculo diferencial e integral de una variable 11 Prueba de la segunda derivada Sea f ” continua en una vecindad de c. y x c y x c Si y entonces f tiene un mínimo local en c Si y entonces f tiene un máximo local en c

Cálculo diferencial e integral de una variable 12 Ejemplo

Cálculo diferencial e integral de una variable 13 Ejemplo

Cálculo diferencial e integral de una variable 14 Determine la monotonía, los puntos de extremos, la concavidad y los puntos de inflexión de la función f cuya regla de correspondencia es : Ejemplo

Cálculo diferencial e integral de una variable 15 gráficas de funciones algebraicas y trascendentes

Cálculo diferencial e integral de una variable 16 Bibliografía “Cálculo de una variable” Cuarta edición James Stewart Sección 4.3 Ejercicios 4.3 pág 302: 2, 6, 14, 18, 20, 26, 28, 40, 42, 44, 46, 48.