Valor promedio de una función Trabajo Otras aplicaciones de la integral definida

Valor promedio de una función A menudo nos encontramos con el problema de encontrar un valor promedio. Sabemos cómo hacer esto cuando tenemos un número finito de datos: sumamos todos los datos, lo dividimos por la cantidad de ellos y listo. Pero si tenemos que encontrar el valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo [a;b], nuestro problema es que ahora no tenemos una cantidad finita de datos. Para hallar el promedio en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (b-a)/n, y tomamos el valor de la función en algún punto xi* de cada subintervalo. Sumamos los valores y lo dividimos por n. De esta manera tendremos un valor aproximado para el promedio de la función, ya que tomamos un número finito de datos.

Si despejamos ahora, de la expresión Δx = (b-a)/n, que n = (b-a)/ Δx y lo introducimos en la expresión que antecede, tendremos lo siguiente. Para obtener el valor exacto del promedio, tomamos el límite cuando n tiende a infinito:

Definición Llamamos valor promedio de una función continua f(x) en un intervalo [a;b] a la integral:

Ejemplo 1 Determinar el valor promedio de la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1].

Teorema (del valor medio para integrales) Sea una función continua f(x) en un intervalo [a;b]. Entonces existe un punto c en [a;b] para el cual se verifica: O, lo que es lo mismo:

Ejemplo 2 Dada la función 1/(x2 + 1) en el intervalo [0;1] que vimos en nuestro primer ejemplo, el teorema anterior nos asegura que habrá un punto dentro de ese intervalo donde la función alcance el valor promedio. En efecto:

Trabajo de una fuerza variable En Física se estudia el concepto de trabajo. Para una fuerza constante de módulo F aplicada a un cuerpo a lo largo de una distancia d (pongamos, en un intervalo [x0, xf]) se define: W = Fxd = Fx (xf - x0) Donde Fx es la componente de la fuerza sobre la dirección de movimiento. Pero ¿qué ocurre si una fuerza no es constante? En tal caso su módulo variará a lo largo del intervalo según una ley F(x). Para hallar el trabajo en esta nueva situación, dividimos el intervalo en n subintervalos [xi-1, xi] de amplitud Δx = (xf - x0)/n, y tomamos el valor del módulo de la fuerza en algún punto xi* de cada subintervalo y lo multiplicamos por la longitud de ese subintervalo. Sumamos los valores y de esta manera tendremos un valor aproximado para el trabajo realizado, ya la fuerza no era constante en cada subintervalo.

El valor exacto del trabajo se obtendrá cuando el número de subintervalos que tomemos tienda a infinito, pues en ese caso se tornará irrelevante la variación del módulo de la fuerza dentro de ese subintervalo. Tendremos así:

Ejemplo La ley de los gases ideales establece que PV = nRT, donde P es la presión ejercida por n moles de gas confinados en un volumen V a una temperatura T, y R es una constante tabulada en la literatura técnica. Dado el siguiente esquema de n moles de gas ideal contenidos en un cilindro con un pistón de diámetro D, determinar el trabajo que se debe efectuar sobre el pistón para que este avance desde una posición x0 hasta una posición xf dentro del cilindro. Recordar que la fuerza ejercida por un fluido sobre un área A es PA. x0 xf

Solución Si x es la distancia medida desde el fondo del cilindro en un momento dado, podemos obtener el volumen en ese instante, y aplicando la ley de los gases ideales despejar la presión: x La fuerza del gas es Fg=PA, pero la fuerza que se debe hacer sobre el pistón es del mismo módulo pero sentido contrario, así que:

Solución (cont.) x0 xf Ya tenemos la fuerza en función de la posición. Para hallar el trabajo tendremos que integrar, entonces, entre la posición inicial y la final: