Apuntes Matemáticas 2º ESO TEMA 12.4 PIRÁMIDES @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO PIRÁMIDE Una pirámide es un poliedro limitado por una base y caras laterales triangulares que confluyen en un punto ( vértice ). Se pueden clasificar por su base: Hay tantas pirámides como lados del polígono que forma la base. PIRÁMIDE CUADRADA, RECTANGULAR Y EXAGONAL @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Una pirámide puede ser recta u oblicua, según su altura corte o no al centro geométrico de la base. Altura de una pirámide es la recta que partiendo del vértice se proyecta verticalmente sobre la base. También se dice que una pirámide es o no recta si todos sus triángulos laterales son o no isósceles. h h PIRÁMIDES OBLICUAS DE BASE CUADRADA @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Desarrollo de la pirámide @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO APOTEMA de la PIRÁMIDE Normalmente el polígono que forma la base de la pirámide es regular (triángulo equilátero, cuadrado, pentágono, hexágono) y al tener todos los lados iguales las caras laterales también son todas iguales y su forma es de triángulo isósceles. La apotema de la pirámide, Apo, es la altura del triángulo isósceles lateral de la misma. La apotema es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la altura, h, y la mitad del lado de la base, l/2. Luego Apo = √ [ (l/2)2 + h2 ] Apo h l l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

ARISTA LATERAL de la PIRÁMIDE En una pirámide existen dos tipos diferentes de aristas: Las aristas de la base, que son los lados del polígono que la forman. Las aristas laterales, que son los lados oblicuos de los triángulos isósceles que forman las caras laterales. La arista lateral de la pirámide es hipotenusa del triángulo rectángulo cuyos catetos son la apotema de la cara y la mitad de la base de dicha cara. al = √ [(l/2)2 + Apo2)] al h Apo l l / 2 @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_1 Una pirámide cuadrada presenta una altura de 4 cm y un lado de la base de 6 cm. Hallar el perímetro de la base, la apotema y la arista lateral. Perímetro: P = 4.l = 4.4 = 16 cm Apotema: Por Pitágoras: Apo = √ [ (l/2)2 + h2) Apo = √ [ (6/2)2 + 42 ] = √ 25 = 5 cm Arista lateral: a = √ [ (l/2)2 + apo2) = √ 9 + 25 = = √ 34 cm h apo l l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO Ejemplo_2 Una pirámide hexagonal presenta una apotema de 10 cm y un lado de la base de 6 cm. Hallar la altura. Apotema de la base: apo= l.√3 / 2 = 6.√3 / 2 = 5,20 cm Apotema: Por Pitágoras: Apo2 = (apo)2 + h2 102 = 5,202 + h2 ] 100 = 27 + h2 h2 = 100 – 27  h2 = 73 Luego h = 8,54 cm h Apo l apo l l l/2 apo l @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO

Apuntes Matemáticas 2º ESO TRONCO DE PIRÁMIDE Tronco de pirámide es el espacio de la misma existente entre la base y un plano paralelo que la corta. Ambas bases son siempre SEMEJANTES y las caras laterales son trapecios isósceles si la pirámide original es recta. apo APO b = l h = APO - apo B = L TRONCO DE PIRÁMIDE con una de sus caras laterales resaltadas @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 2º ESO