FUNCIONES POLINÓMICAS Y RACIONALES. INTERPOLACIÓN.

1. Funciones cuyas gráficas son rectas. Las funciones polinómicas de grado cero o uno tienen por gráfica una línea recta. Función constante. Su gráfica es una línea recta paralela al eje de abscisas y su ecuación es y = b Función lineal. Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas y su ecuación es y = mx. m pendiente Función afín. Su gráfica es una recta que no pasa por el origen de coordenadas y su ecuación es y = mx + b b ordenada en el origen

Propiedades. Dominio: Recorrido: (excepto en las funciones constantes cuyo recorrido es el valor de la constante). Monotonía: creciente (m positivo) o decreciente (m negativo) No tiene ni máximos ni mínimos. No están acotadas ni superior ni inferiormente (salvo funciones constantes)

2. Funciones cuadráticas. Las funciones polinómicas de grado dos se llaman funciones cuadráticas. Las gráficas de estas funciones son parábolas de eje paralelo al eje de ordenadas. Su vértice está en el punto Sus ramas van hacia arriba si a es positivo y van hacia abajo si a es negativo.

Propiedades. Dominio: Recorrido: Desde el vértice hasta (a positivo) Desde hasta el vértice (a negativo) Monotonía: es creciente en un intervalo y decreciente en otro Tiene un máximo o mínimo (a positivo o negativo) Están acotadas superior o inferiormente (a negativo o positivo)

Representación gráfica. Se calculan las coordenadas del vértice. Se considera el eje de simetría. Estudiamos la orientación según el signo de a. (hacia arriba si a > 0 y hacia abajo si a < 0) Se calculan los puntos de corte con los ejes. x = 0 y = ? y = 0 x = ? Se hace una tabla de valores.

3. Funciones de proporcionalidad inversa. Tienen la expresión Sus gráficas son hipérbolas equiláteras cuyas asíntotas son los ejes coordenados. Según el signo de k la gráfica de adopta la forma:

Propiedades. Dominio: Recorrido: Monotonía: estrictamente crecientes si k es negativo estrictamente decrecientes si k es positivo No tiene extremos relativos No están acotadas ni superior ni inferiormente Tienen una asíntota vertical y una horizontal (los ejes de coordenadas)

4. Funciones de la forma Sus gráficas son hipérbolas equiláteras, que poseen las siguientes asíntotas: - Asíntota horizontal de ecuación - Asíntota vertical de ecuación

5. Interpolación. En las funciones definidas por tablas a veces es necesario calcular el valor de la función para un valor de la variable que no aparece en la tabla. El procedimiento general consiste en encontrar una función, que se ajuste a los puntos que se tienen como datos. Es la función de interpolación.

Interpolar un valor a comprendido entre dos valores es obtener el correspondiente valor f(a), siendo f la función de interpolación. Extrapolar un valor a que está fuera del intervalo determinado por los valores conocidos, es obtener el correspondiente valor f(a).

Obtención de funciones de interpolación. Tomaremos como función de interpolación la más sencilla, un polinomio. Dados n+1 puntos , , , . . . , con , existe una única función polinómica de grado igual o inferior a n, y sólo una, que pasa por los n+1 puntos.

Ejemplo. Encontrar el polinomio interpolador que pasa por los puntos (-1,0), (0,2), (1,0) y (3,8). Interpola el valor a = 2 y extrapola a = -1,2 El polinomio será de grado 3 ya que tenemos 4 puntos

Resolviendo el sistema que hemos obtenido resulta: es el polinomio interpolador. Interpolamos a = 2 (2 está entre los valores -1 y 3) Extrapolamos a = -1,2 (-1,2 no está entre los valores -1 y 3)

Interpolación lineal. Llamamos interpolación lineal a las situaciones en las que conocemos dos puntos y La función interpoladora es de primer grado, es decir La función interpoladora coincide con la recta que pasa por esos dos puntos:

Interpolación cuadrática. El polinomio interpolador que pasa por tres puntos es Estos coeficientes a0, a1 y a2 los calculamos resolviendo el sistema que queda al sustituir los puntos dados en la ecuación general.