Derivada de una función. Aplicaciones

. Definir la derivada de una función. Habilidades: . Definir la derivada de una función. . Interpretar geométricamente la derivada de una función. . Determinar los puntos críticos de una función. . Determinar los extremos absolutos de una función continua en un intervalo cerrado. . Describir el concepto de punto de inflexión de una gráfica. . Analizar la concavidad de una función a través de su segunda derivada. . Resolver problemas de máximos y mínimos de una función en una variable.

La Pendiente de una Curva ¿Una curva tiene pendiente? Entenderemos por pendiente de una curva a la pendiente de la recta que mas se asemeja (ajusta) a la curva. ¿y cuál es esta recta?

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Tangente!!!

La Pendiente de una Curva y x

La Pendiente de una Curva Es el límite de un cociente de incrementos Si h = x

Ejemplo Determina la ecuación de la recta tangente a la curva que tiene por ecuación, en el punto de abscisa y x

Definición de Derivada La derivada de una función f con respecto a la variable x es la función cuyo valor en x es: siempre que el límite exista Nota 1: f es una función definida en un intervalo abierto que incluye a x.

Observación La derivada de una función es un límite. Nota 2: Para calcular ese límite se requiere que la función esté definida en el punto.

REGLAS DE DERIVACIÓN 4. Si f es derivable y c constante, se tiene: 1. Sea f(x) = k, entonces: D (c) = 0 x 2. Sea f(x) = x, entonces: 3. Sea f(x) = xn, entonces: 4. Si f es derivable y c constante, se tiene:

Reglas de Derivación 5. Si f y g son funciones derivables y a y b son constantes se tiene que: 6. Si f y g son funciones derivables, entonces la derivada del producto es:

Reglas de Derivación 7. Si f y g son funciones derivables y no es cero, entonces la derivada del cociente es: 8. Si y , entonces la regla de la cadena se define por:

Observación Sea y = f(u) donde u = g(x) Si todas las derivadas involucradas existen, entonces otra forma de definir la REGLA DE LA CADENA es:

La función exponecial y=ex y la función logaritmo natural y= ln x 1 y = ex y = ln x x y

Definición: Teorema Si x es cualquier número real, entonces ln y = x si y sólo si ex = y Teorema Si p y q son números reales y r es un número racional, entonces i) ii) iii)

Derivadas de funciones EXP y LOG Derivada de funciones exponenciales i) ii) Derivada de funciones logarítmicas