CONCEPTOS BÁSICOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Definición Una ecuación es una igualdad entre dos expresión algebraicas. P = Q Algunas ecuaciones que se han trabajado a lo largo de nuestro estudio del calculo son. 2𝑥+3𝑦=24 Ecuación lineal con dos variables 2 𝑥 2 +3𝑥=12 Ecuación cuadrática ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Definición 3 2𝑥+1 = 4 3𝑥−4 Ecuación exponencial 2𝑆𝑒𝑛2𝑥+𝐶𝑜𝑠𝑥=0 Ecuación trigonométrica 𝑥+2 2𝑥+4 =4 Ecuación radical log 2 2𝑥+1 − log 2 𝑥+3 = 3 Ecuación logarítmica ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C ¿ Que será una ecuación diferencial? ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Una ecuación diferencial es una ecuación en la que aparecen las derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes 𝒅𝒚 𝒅𝒙 −𝟑𝒚+𝟒=𝟎 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅 𝒙 𝟐 + 𝒅𝒚 𝒅𝒙 −𝟑𝒚=𝟒𝒙+ 𝒆 𝟐𝒙 𝒅𝒚 𝒅𝒙 𝟐 +𝟐𝒙𝒚+𝟒=𝟎 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

Otra manera de expresar las ecuaciones diferenciales es Sabemos que 𝒅𝒚 𝒅𝒙 = 𝒚 / 𝒅 𝟐 𝒚 𝒅 𝒙 𝟐 = 𝒚 // 𝒅 𝒏 𝒚 𝒅 𝒙 𝒏 = 𝒚 (𝒏) Otra manera de expresar las ecuaciones diferenciales es 𝟑𝒚 / −𝟓𝒚=𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙 𝟐𝒚 // −𝟓 𝒚 / +𝒚=𝟓𝒙+𝑺𝒆𝒏𝟐𝒙 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

Escriba tres ejemplos de ecuaciones diferenciales Comparta sus ejemplos con el grupo ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Ecuaciones Diferenciales Ordinarias ( EDO) : Son aquellas ecuaciones diferenciales en las cuales aparecen derivadas ordinarias de una o mas variables dependientes con respecto a una sola variable independiente. Ecuaciones Diferenciales en Derivadas Parciales: Son aquellas ecuaciones diferenciales en las cuales aparecen derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes. ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

El orden de una ecuación diferencial corresponde al orden de la mayor derivada que aparece 𝑑 3 𝑦 𝑑 𝑥 3 +2 𝑑 2 𝑦 𝑑 𝑥 2 +3 𝑑𝑦 𝑑𝑥 −2𝑦=0 El grado de una ecuación diferencial es el exponente, si es un numero natural, al que esta elevada la derivada de mayor orden que aparezca en la ecuación diferencial 𝑦 // 3 +4 𝑦 / −5𝑦=2𝑥+3 Máxima Derivada Exponente máxima derivada ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Determine el orden y el grado de las siguientes ecuaciones diferenciales 𝒚 (𝟒) +𝟒 𝒚 // −𝟓𝒚=𝑪𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒚 (𝟒) 𝟐 +𝟒 𝒚 // −𝟓𝒚=𝑪𝒐𝒔𝟑𝒙 𝒚 (𝟑) 𝟓 +𝟒 𝒚 // −𝟓𝒚=𝑪𝒐𝒔𝟑𝒙 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Una ecuación diferencial se dice que es lineal si se puede escribir en la forma: O en la forma 𝒂 𝒏 𝒙 𝒚 𝒏 + 𝒂 𝒏−𝟏 𝒙 𝒚 𝒏−𝟏 +…..+ 𝒂 𝟏 𝒙 𝒚 / + 𝒂 𝟎 𝒙 𝒚=g(x) ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Es decir , la ecuación diferencial es lineal si se cumple que: 1) La variable dependiente y todas sus derivadas son de primer grado. 2) Cada coeficiente solo depende de la variable x, que es la variable independiente. 3) No aparecen productos de la variable dependiente y sus respectivas derivadas ordinarias. 4) No deben aparecer productos entre las derivadas ordinarias. 5) No aparecen funciones trascendentales de la variable dependiente. Como por ejemplo : Seny , Lny , ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Cuales de las siguientes ecuaciones diferenciales son lineales, en caso de no ser diga la razón por la cual no son lineales 𝟐 𝒚 // +𝟓 𝒚 / +𝟑𝒚=𝟐 𝟐𝒙 𝒚 // +(𝒙+𝟏) 𝒚 / +𝟑𝒚=𝟐𝒙 𝟐 𝒙𝒚 // +𝟓 𝒚 / +𝟑 𝒙 𝟐 𝒚=𝟐 𝟐 𝒚 // +𝟐𝒚 𝒚 / +𝟑𝒚=𝟎 𝟐 𝒚 // +𝟓 𝒚 / +𝟑 𝒚 𝟐 =𝟐 𝟐 𝒚 // 𝟐 +𝟓 𝒚 / +𝟑𝒚=𝟐 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Una ecuación diferencial se dice que es homogénea, cuando se encuentra igualada a cero 𝒚 // +𝟒𝒙 𝒚 / +𝒚=𝟎 Una ecuación diferencial se dice que es de coeficientes constantes cuando todos los 𝑎 𝑖 (𝑥) son constantes, 𝟑𝒚 // +𝟒 𝒚 / +𝒚=𝟎 Una ecuación diferencial se dice que es de coeficientes variables cuando algún 𝑎 𝑖 (𝑥) depende de la variable independiente. 𝒚 /// +𝟒𝒙 𝒚 // +𝟐 𝒚 / +𝒚=𝟎 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

Clasifica la siguiente ecuación diferencial 𝟑 𝒚 /// 𝟒 +𝟐 𝒚 // −𝟒 𝒚 / +𝒚= 𝒆 𝟐𝒙 Ecuación diferencial ordinaria No homogénea De coeficientes constantes De orden 3 Grado 4 No lineal ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

Clasifica las siguientes ecuaciones diferenciales ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

SOLUCION DE UNA ECUACION DIFERENCIAL. Se llama solución de una ecuación diferencial a toda función 𝑦=𝑓 𝑥 que satisface dicha ecuación diferencial. Es decir al sustituir en la ecuación diferencial a 𝑦=𝑓 𝑥 , y todas las derivadas que aparezcan en ella se obtiene una identidad. ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

Diga si la función 𝒚=𝑺𝒆𝒏𝒙 es solución de la ecuación diferencial 𝒚 // + 𝒚 / +𝒚=𝟎 Como en la ecuacion diferencial, aparecen la primera y la segunda derivada, entonces derivamos dos veces la funcon dada 𝒚 / =𝑪𝒐𝒔𝒙 𝒚 // =−𝑺𝒆𝒏𝒙 Reemplazando en la ecuación diferencial dada 𝒚 // + 𝒚 / +𝒚=𝟎 −𝑺𝒆𝒏𝒙+𝑪𝒐𝒔𝒙+𝑺𝒆𝒏𝒙=𝟎 𝑪𝒐𝒔𝒙=𝟎 Como no se obtuvo una igualdad ,entonces la función dada NO es solución de la ecuación diferencial ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Determine si cada función dada es solución de la ecuación diferencial correspondiente FUNCION ECUACION DIFERENCIAL 𝑦=𝐴𝐶𝑜𝑠𝑥 SOLUCION DE LA 𝑦 / +𝑦𝑇𝑎𝑛𝑥=0 𝑦=2 𝑒 3𝑥 −5 𝑒 4𝑥 𝑦 // −7 𝑦 / +12𝑦=0 𝑦=𝐶𝑜𝑠𝑥−𝑆𝑒𝑛𝑥 𝑦 // + 𝑦 / =𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑦= 𝑒 𝑥 − 1 3 𝑦 // +2 𝑦 / −3𝑦=1 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Un problema de valores iniciales es aquel en el que se busca determinar una solución ( particular) a una ecuación diferencial, sujeta a condiciones sobre la función desconocida y sus derivadas, dadas para un valor de la variable independiente. Tales condiciones se denominan condiciones iniciales. 𝑦 𝑥 0 = 𝑦 0 𝑦 / 𝑥 0 = 𝑦 1 𝑦 // 𝑥 0 = 𝑦 2 𝑦 (𝑛−1) 𝑥 0 = 𝑦 𝑛 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Un problema con valores de frontera es un problema que busca determinar una solución particular a una ecuación diferencial sujeta a condiciones de la función desconocida especificadas en dos o mas valores de la variable independiente, Tales condiciones se llaman condiciones de frontera 𝑦 𝑥 0 = 𝑦 0 𝑦 / 𝑥 1 = 𝑦 1 𝑦 // 𝑥 2 = 𝑦 2 𝑦 (𝑛−1) 𝑥 𝑛 = 𝑦 𝑛 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C

TEOREMA DE EXISTENCIA Y UNICIDAD ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C Sea 𝑅= 𝑎,𝑏 × 𝑐,𝑑 un rectángulo en el plano que contiene al punto 𝑥 0 , 𝑦 0 en su interior. Si las funciones son continuas en R, entonces existe un intervalo I con centro en 𝑥 0 y una única función 𝑦 𝑥 =𝜑(𝑥) definida en I que satisface el problema de valor inicial definido por 𝑦 / =𝑓(𝑥,𝑦) 𝑦 𝑥 0 = 𝑦 0 ESP. MAESTRANTE. DANIEL SAENZ C