Propiedades de las Desigualdades y los Intervalos

Objetivos: Conocer los símbolos de desigualdad. Conocer las propiedades básicas de las desigualdades. Expresar una desigualdad en forma de intervalo. Expresar una desigualdad en forma gráfica.

Los símbolos de desigualdad Veremos en esta sección algunos conceptos básicos que son de utilidad en la solución de desigualdades lineales y compuestas. Los símbolos de desigualdad

Definición Sean a y b dos números reales. Se dice que a es menor que b, si b - a es un número positivo. En tal caso escribimos a < b. Esto significa que a está a la izquierda de b en la recta numérica. a b Ejemplos: 1. 3 < 5 2. -6 < -3 a < b es lo mismo que b > a

Para los números reales a y b, Propiedades de las desigualdades 1. La propiedad de tricotomía Para los números reales a y b, sólo una de las siguientes es cierta: a < b a = b a > b

2. La Propiedad no negativa Si a es un número real entonces, Todo número elevado al cuadrado es positivo o cero.

3. La propiedad transitiva para las desigualdades Si a < b y b < c, entonces a < c. Si a > b y b > c, entonces a > c.

4. La propiedad aditiva de las desigualdades Si a < b, y entonces a + c < b + c. Si a > b, y entonces a + c > b + c.

5. La propiedad multiplicativa de las desigualdades Si a < b y c > 0, entonces ac < bc. Si a < b y c < 0, entonces ac > bc. Si a > b y c > 0, entonces ac > bc. Si a > b y c < 0, entonces ac < bc. Aclaración: Si se multiplica o divide en ambos lados de una desigualdad por un número negativo el sentido o dirección del signo de la desigualdad cambia.

Intervalos Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el intervalo cerrado ab por [a, b] y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b. [ ] x a b [a, b]=

2. Si a y b son dos números reales tal que a < b 2. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el intervalo abierto ab por (a, b), y se define como el conjunto de todos los reales x tal que a < x < b. ( ) a b (a, b) =

3. Si a y b son dos números reales tal que a < b 3. Si a y b son dos números reales tal que a < b. Se denota el intervalo semi abierto o semi cerrado ab por (a, b], y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b. ( ] x a b (a, b] =

4. Sean a y b dos números reales tal que a < b 4. Sean a y b dos números reales tal que a < b. Denotamos el intervalo semi abierto o semi cerrado ab por [a, b), y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que a < x < b. [ ) x a b [a, b) =

5. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los números mayores o iguales que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x > a. [ x a

6. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los números mayores que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x > a. ( x a

7. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los números menores que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x < a. ) x a

8. Si a es un número real. Se denota el intervalo de los números menores o iguales que a por y se define como el conjunto de todos los números reales x tal que x < a. ] x a

R

Ejemplo: Escriba el conjunto de soluciones de la desigualdad -3 < x < 2 usando notación de intervalo y en forma gráfica. Intervalo = [ ) 2 -3

[a, b] [a, b) (a, b] Resumen de intervalos: Intervalo Notación de Conjuntos Forma gráfica [a, b] [a, b) (a, b]