Ingeniería Industrial. Estadística III Henry Lamos Díaz DISEÑOS FACTORIALES Ingeniería Industrial. Estadística III Henry Lamos Díaz

BLOQUES ALEATORIZADOS, CUADRADOS LATINOS Y DISEÑOS RELACIONADOS

BLOQUES COMPLETOS ALEATORIZADOS En cualquier experimento, la variabilidad que surge de un factor perturbador puede afectar los resultados. Factor perturbador: Factor de diseño que probablemente tenga un efecto sobre la respuesta, pero en el que no existe interés. Se controla con aleatorización. Desconocido y no controlable Conocido pero no controlable Y se puede controlar Deben analizarse. Se controla con BLOQUES Diseño por bloques

Hacer que el error experimental sea tan pequeño como sea posible. ¿QUÉ ES? El diseño por bloques completos y aleatorizados es un diseño en el que las unidades (unidades de experimentación) a las que se aplican los tratamientos son subdivididas en grupos homogéneos llamados bloques, de tal manera que el número de unidades de experimentación en un bloque es igual al número (o a un múltiplo del mismo) de tratamientos en estudio. OBJETIVO Hacer que el error experimental sea tan pequeño como sea posible. Y reducir el error residual del experimento al eliminar la variabilidad Para ello el experimentador prueba cada nivel del factor en cada uno de los ejemplares de prueba. Diseño por bloques

UTILIDIDAD DE BLOQUEAR Los bloques o ejemplares de prueba forman una unidad experimental más homogénea. Unidades de experimentación: maquinaria. Lotes de materia prima, personas, tiempo. Combinaciones de factores no controlables. Probar la robustez de la variable deseada frente a las condiciones que no se pueden controlar. Diseño por bloques

Un ejemplo Parte de un cuestionario se elaboró con el propósito de permitir a un grupo de jueces la evaluación de cuatro ciudades diferentes. A los jueces, elegidos entre los grupos de ejecutivos de la compañía, se les pidió su opinión acerca de la accesibilidad de los sitios a los mercados primario, facilidades de transporte, reglamentos de la ciudad para las empresas y calidad de la vida en las zonas cercanas a esos lugares. Sus respuestas fueron analizadas y codificadas en una escala de 0 a 20. Los datos obtenidos aparecen en la tabla.   Jueces Lugares 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 12 16 11 14 El propósito principal de este experimento fue la comparación de las diferentes ciudades. Determine el tipo de diseño utilizado en el experimento. Justifique la respuesta. Haga un análisis de varianza de los datos. ¿Proporcionan los datos suficiente evidencia que indique diferencia entre las calificaciones codificadas promedio asociadas a las cuatro ciudades, Diseño Factorial

sigue ¿puede afirmarse que el cuestionario detectó una diferencia en preferencia para las distintas ciudades? Diseño Factorial

ANÁLISIS ESTADÍSTICO PARA DBA Bloque 𝑌 𝑎1 … 𝑌 21 𝑌 11 𝑌 12 𝑌 22 𝑌 𝑎2 𝑌 1𝑏 𝑌 2𝑏 𝑌 𝑎𝑏 Hay una observación por tratamiento en cada bloque, el orden en que se corren los tratamientos en los bloques se determina al azar. Modelo para los datos Modelo de los Efectos Supóngase que hay a tratamientos y b bloques Diseño por bloques

Media global. Efecto del tratamiento i-ésimo. Efecto del tratamiento bloque j-ésimo. Término del error. Hipótesis El interés se encuentra en aceptar o rechazar la igualdad de las medias. Diseño por bloques

Para un análisis asumiendo el modelo con efectos fijos Total de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo en el bloque j Promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo. Total de las observaciones bajo el bloque j-ésimo. Promedio de las observaciones bajo el bloque j-ésimo. Gran total de todas las observaciones. Promedio de todas las observaciones. Diseño por bloques

SST = SSTRATAMIENTOS + SSBLOQUES + SSE ANÁLISIS DE VARIANZA Suma de cuadrados total corregida y su partición: Grados de Libertad SST = SSTRATAMIENTOS + SSBLOQUES + SSE Diseño por bloques

Diseño por bloques

Los grados de libertad para las sumas cuadradas en Son : Cada suma de cuadrados dividida por sus Grados de Libertad es un cuadrado medio. SST = SSTRATAMIENTOS + SSBLOQUES + SSE Diseño por bloques

Los valores esperados de los cuadrados medios son: Estadístico de Prueba Se tienen dos estadísticos de prueba los cuales se obtienen dividiendo el cuadrado medio correspondiente por el cuadrado medio del error. Diseño por bloques

Anova La Hipótesis Nula deberá rechazarse si: Fuente de variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio F0 Tratamientos SSTRATAMIENTOS a-1 MSTRATAMIENTOS MSE Bloques SSBLOQUES b-1 MSBLOQUES Error SSE (a-1)(b-1) Total SST N-1 La Hipótesis Nula deberá rechazarse si: Diseño por bloques

Cálculos Manuales Diseño por bloques

Ejemplo Objetivo de la investigación En ciertas situaciones, las pruebas de nitrato en los tejidos de la espiga de trigo predecían una mayor cantidad de nitrógeno, Se desea evaluar el efecto de varios programas de fertilización sobre esas cantidades de nitrógeno y sobre la producción de trigo, El propósito es poder refinar las recomendaciones del procedimiento.

Selección de tratamientos: Se eligen seis programas diferentes de aplicación de nitrógeno que podrían proporcionar el intervalo de condiciones necesarias para evaluar el proceso. Para la comparación se incluyó un tratamiento sin nitrógeno al igual que la recomendación normal vigente. Diseño del experimento: el experimento se llevó a cabo en un campo irrigado, con un gradiente de agua en dirección del área de parcelas experimentales. Como las respuestas de las plantas dependían de la humedad disponible, las parcelas se agruparon en bloques de seis de manera que cada bloque se encontraba en partes con el mismo gradiente de agua, de manera que cualesquiera diferencias en las respuestas de las plantas causadas por el gradiente de agua podía asociarse con los bloques. El diseño de experimento resultante fue un diseño de bloques completo aleatorizado, con 4 bloques de seis parcelas a las que se asignaron al azar los tratamientos de nitrógeno.

Permutaciones 2 5 4 1 6 3 Bloque 1 Bloque 2 Bloque 3 Bloque 4 40.89 37.99 37.18 34.98 34.89 42.07 41,22 49.92 45.85 50.15 41.99 46.69 44.57 52.68 37.61 36.94 46.65 40.23 41.90 39.20 43.29 40.45 42.91 39.97 1 3 4 6 5 2 Permutaciones 6 3 5 1 2 4 2 4 6 5 3 1 Asignación de tratamientos a las unidades experimentales en un bloque completo Permutación 2 5 4 1 6 3 Tratamientos B E D A F C

Diseño por bloques

Diseño por bloques

ESTIMACIÓN DE LOS PARÁMETROS DEL MODELO Estimadores de los parámetros Residual Diseño por bloques

3. FORMACIÓN DE BLOQUES EN UN DISEÑO FACTORIAL La presencia de un factor perturbador puede hacer necesario que el experimento se corra en bloques. Se corre cada una de las n réplicas utilizando un lote o bloque separado, que representa una restricción sobre la aleatorización. Dentro del bloque el orden en que se corren las combinaciones de los tratamientos está completamente aleatorizado. Diseño Factorial

Modelo de los Efectos Donde τi representa el efecto del Factor A, βj representa el efecto del Factor B, (τβ)ij es la interacción, δk es el efecto del bloque y ɛijk es el componente NID (0, σ²) del error. Se supone que la interacción entre los bloques y los tratamientos es insignificante. Incluye el efecto del bloque k-ésimo Diseño Factorial

Anova Diseño Factorial

Ejemplo Un ingeniero estudia los métodos para mejorar la capacidad de detectar objetivos en el campo de acción de una radar. Dos factores que el ingeniero considera importantes son la cantidad de ruido de fondo, o “desorden del terreno”, en el campo de acción del radar y el tipo de filtro colocado sobre la pantalla. Se diseña un experimento usando tres niveles (A) y dos para B. El experimento consiste en seleccionar una combinación de los tratamientos e introduciendo después una señal que representa el objetivo en el campo de acción del radar. La intensidad de este objetivo se incrementa hasta que el operador lo observa. Los operadores difieren en su habilidad y capacidad para operar el sistema. Diseño Factorial

Ejemplo… Operadores (Bloques) Tipo de Filtro Desorden del Terreno Bajo Medio Alto Tabla 10. Del ejemplo el nivel de intensidad al detectarse el objetivo. DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS

Anova del ejemplo Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio Fuente de Variación Suma de Cuadrados Grados de Libertad Cuadrado Medio P valor Desorden del Terreno (G) Tipo de Filtro (F) GF Bloques Error Total Tabla 9. Análisis de varianza del ejemplo. DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS